Integrales definidas. Teoremas 2º Bachillerato

1. Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM) Integrales definidas. Teoremas 2º Bachillerato

2. Esquema

3. Área bajo una curva Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).

4. Sumas de Riemann Como la función es contínua en cada intervalo existen un mínimo y un máximo (Tª de Weiersstra) Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] Las sumas inferiores(suma de los rectángulos) s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 .  x2 + ... + mn .  xn Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] Las sumas superiores (suma de los rectángulos superiores) se expresan así S(f; Pn) = M1 .  x1 + M2 .  x2 + ... + Mn .  xn Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )

5. Cálculo de áreas • En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas. • Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante aproximaciones Error que se comete al tomar una por otra

6. Integral definida Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva) en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la partición Pn. Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] s(f; Pn) = m1 .  x1 + m2 .  x2 + ... + mn .  xn Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi] S(f; Pn) = M1 .  x1 + M2 .  x2 + ... + Mn .  xn

7. f(x) f(x) R Integral definida y área bajo una curva I f(x)  0 x[a, b] f(x)  0 x[a, b]

8. Integral definida y área bajo una curva II Si f(x) toma valores positivos y negativos en el intervalo [a, b], se calculan cada una por separado y se suman los resultados teniendo en cuenta los signos.

9. Propiedades de la integral definida

10. Propiedades de la integral definida

11. Función área o función integral Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:

12. Enunciado:Si f es continua existe c[a,b] en el que Teorema del valor medio: interpretación geométrica Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el áreadel recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c). Por tanto R1 = R2

13. Teorema del valor medio para integrales M m a b c ¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio. Demostración: área pequeña < A.curva < área grande

14. Y X x x+h Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b). Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x) áreapequeña < A.curva < área grande Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica

15. Dem.: a c b Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es laprimitiva de f, es decir F’(x) = f(x). Teorema fundamental del cálculo Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)

16. Regla de Barrow Demostración: • Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x) se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C. • Como F(a) = 0  C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a). • Para x = b, F(b) = G(b) – G(a). Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)

17. 69 x 8 ó dx = 30 Ejemplo: ô 2 2 ( 5 + x ) õ – 5  du = 2xdx Cambio u = 5 + x2 = g(x) g(–5) = 30 ; g(8) = 69 El método de «cambio de variable» para integrales definidas

18. f(x) R Y + + c e b d – – a X Área del recinto limitada por una función

19. Área del recinto limitado por dos funciones

20. y = x y = x3 – 6x2 + 9x R 0 4 2 4 ( ) ò + - x dx x3 +6x2-9x 2 Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 6x2 + 9x e y = x. Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo