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Entwurf superstabiler Regelkreise. Hauser Helmut. Betreuer Prof. A.Hofer Institut für Regelungstechnik. LTI , BIBO-stabil. w(k). e(k). G(z). Ausgangspunkt - L1-Theorie. Forderungen. Zusammenhänge. |w(k)| 1 für alle k ||e(k)|| möglichst klein.
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Entwurf superstabiler Regelkreise Hauser Helmut Betreuer Prof. A.Hofer Institut für Regelungstechnik
LTI , BIBO-stabil w(k) e(k) G(z) Ausgangspunkt - L1-Theorie Forderungen Zusammenhänge • |w(k)| 1 für alle k • ||e(k)|| möglichst klein
Grundidee der Diplomarbeit • Vorteile der L1-Theorie • Der Reglerentwurf findet direkt im Zeitbereich statt • Eine Robuste Regelung und Stellgrößenbeschränkung können berücksichtigt werden • Nachteile der L1-Theorie • Die Reglerordnung kann sehr hoch werden • von Anfangsbedingungen gleich Null wird ausgegangen Neuer Ansatz um Nachteile zu beseitigen und Vorteile zu übernehmen
Alte und neue Definition L1-Theorie Eine Strecke hat l1-Performance kleiner als l1 genau dann, wenn für die Zustandsgrößen zum Zeitpunkt Null x(0)=0 und für die Eingangsfolge |w(k)| 1 gilt, und der Betrag der Ausgangsfolge e(k) für alle Zeitpunkte k 0 unter der Schranke l1 bleibt. Equalized Performance Eine Strecke besitzt genau dann eine Equalized Performance kleiner als , wenn für die ersten n Werte der Ausgangsfolge |e(i)| gilt, und für die Eingangsfolge |w(j)| 1, j=0,1,... gilt, und die Ausgangsfolge auch weiterhin unter der Grenze bleibt |e(k)| für k n
Eingang w(k) Ausgang e(k) LTI Berechnung der Equalized Performance μ Zugehöriges ARMA Modell Abschätzungen: bzw.
Berechnung der Equalized Performance μ Definition der 1-Norm Equalized Performance
Superstabilität Superstabiles Polynom: Superstabiles Systeme: Wenn Nennerpolynom superstabil ist ! Idee für den Reglerentwurf: • superstabilisieren • minimieren
w(k) Strecke e(k) u(k) y(k) Regler Reglerentwurf
Reglerentwurf • 1.) Ziel des Reglers: • Auswirkung der Störung w(k) auf Ausgang e(k) optimal unterdrücken. 2.) Übertragungsfunktion von w(k) e(k) • Abhängigkeit der Koeffizienten des geschlossenen Kreises von den Reglerkoeffizienten 3.) Problem läßt sich mich LP lösen wird außerhalb von LP durch Intervallhalbierung optimiert
Reglerentwurf Verbale Problemformulierung: Wir suchen diejenigen Reglerkoeffizienten pi und qi , die unsere Übertragungsfunktion von w(k) e(k) superstabilisieren, und dabei die optimale Equalized Performance liefern. Mathematische Problemformulierung
Stellgrößenbeschränkung Idee: • Zusätzliche Beschränkung für die Reglerkoeffizienten Erforderliche Ordnungen werden höher sein Equalized Performance stellt eine Obergrenze für die Absolutwerte der Ausgangsfolge dar. • Übertragungsfunktion Gu mit Ausgang Stellgröße • zusätzliche Gleichungen • Ungleichungen
d‘(k) d(k) F(z) u(k) y(k) R(z) P(z) Beispiel mit u(k) Beschränkung • Beispiel der Form: Forderung: |u(k)| 80 !!
Vergleich: u(k) beschränkt und unbeschränkt u = unbeschränkt |u| 80
Resultate • Mit neuem Ansatz • Wenn Ordnung = 11 vorgegeben wird • mit = 0.04839902 • L1-Theorie • liefert Regler der Ordnung = 11 • mit = 0.04839902 Pole Nullstellen
Zusammenfassung - SISO • Liefert gute Ergebnisse im Störentwurf • Ordnung kann vorgegeben werden • Anfangszustände ungleich Null möglich • Lösung mit LP möglich • Vergleich mit L1-Theorie – niedere Ordnungen • Stellgrößenbeschränkung • Robustheitsforderungen
Erweiterung auf MIMO Abschätzungen Definition: ||A|| = q Maximal 1 Induktion
Superstabilität - MIMO |u(k)| = 0 |u(k)| 1 Bedingung: Equalized Performance
Reglerentwurf d(k) D1 D2 u(k) Strecke y(k) K Statische Regler
Reglerentwurf • Gleichungen, die Abhängigkeiten widerspiegeln • Ungleichungen Analoge Idee wie im SISO-Fall Wir suchen diejenige Reglermatrix K, welche die Ungleichung ||A+BKC||<1 erfüllt, und gleichzeitig die optimale Equalized Performance liefert. Für LP wird benötigt:
0.2 0 0 0.1 0 0 0 0 0 0 Ergebnisse 0.99016091508199 Equalized Performance 20.32709359303108
Zusammenfassung - MIMO • Wenige Systeme superstabilisierbar (auch mit Zustandsregelung) • Oft bis knapp über der Grenze von 1 • Große Systeme weiter weg von Superstabilität • Regler mit Koeffizienten = Null zusätzliche Beschränkung notwendig Stark eingeschränkt in seiner Anwendbarkeit