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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID D epartamento de Fundamentos del Análisis Económico I. Microeconomía Superior I: Tema 7 (cont.) Rafael Salas enero 2005. La adopción de riesgo. Elección con incertidumbre y la toma de riesgo: Modelización de la demanda de seguros

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  1. UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I Microeconomía Superior I: Tema 7 (cont.) Rafael Salas enero 2005

  2. La adopción de riesgo... • Elección con incertidumbre y la toma de riesgo: • Modelización de la demanda de seguros • Modelo de inversión en cartera

  3. Demanda de seguros • Un consumidor posee inicialmente la dotación de un activo con riego • Valor de la riqueza ex-ante es W • Existe el riesgo de obtener una pérdida de L • Si la pérdida se produce, la riqueza es W– L • El consumidor puede comprar una póliza de seguros contra el riesgo de esa pérdida L (aseguramiento total) • El coste del seguro es K • En ambos estados la riqueza ex-post es W– K • Si se produce la pérdida, además recibe L de la compañía

  4. NI  U(W-K) 1-p AT  UE(AT) = U(W-K) I  U(W-K) p Cons  NI  U(W) 1-p  UE(NA) = (1-p)U(W)+pU(W-L) NA I  U(W-L) p Aseguramiento total Decisiones: AT, aseguramiento total (por la pérdida de L y paga K) y NA, no aseguramiento Estados: NI, no incendio e I, incendio (se produce la pérdida), con probabilidades 1-p y p, respectivamente .

  5. Aseguramineto parcial • El consumidor puede comprar una póliza de seguros por una cuantía X [0 , L] • El coste del seguro es kX. Si aseguramiento total: kL=K • En ambos estados la riqueza ex-post es W– kX • Si se produce la pérdida, además recibe X de la compañía

  6. U(W-kX) 1-p AP UE(AP) = (1-p)U(W-kX)+pU(W-L+(1-k)X)  NI I  U(W-L-kX+X) Cons  p Aseguramiento parcial Decisiones: AP, aseguramiento parcial (por X y paga kX) Nótese que AP es más general que la anterior: AP = AT si X=L AP = NA si X=0 .

  7. Gráficamente • Dotación W xI • Aseguramiento total en AT Improbable que se sitúe por aquí • AT W-K AP Improbable que se sitúe por aquí L-K • NA W - L K W-K xNI W

  8. Gráficamente • Dotación W xI • Aseguramiento total en AT • Aseguramiento parcial entre AT y NA • AT W-kL AP L-kL Pendiente en VA (1-k)/k • NA W - L kL W-kL xNI W

  9. Gráficamente xI • Aseguramiento parcial en P • Aseguramiento total en AT si X=L • Aseguramiento nulo en NA si X=0 Aseguramiento parcial • AT W-kL • P W-kX-L+X Pendiente en VA (1-k)/k • NA W - L W-kL W-kX xNI W

  10. Aseguramiento parcial óptimo Max UE(AP) = pU(W-kX)+(1-p)U(W-L+(1-k)X) X Solución de primer orden de tangencia: (1-p)U’(W-kX)/pU’(W-L+(1-k)X)=(1-k)/k .

  11. Solución: Solución de AT (X=L) si y sólo si: p = k (juego justo: cuando la prima es igual a las probabilidades o cuando el beneficio esperado es cero) Solución de AP (X<L) si y sólo si: p < k (cuando la prima es mayor que las probabilidades o cuando el beneficio esperado es positivo) .

  12. Solución AT (caso k=p) xI • Aseguramiento total en AT • Aseguramiento parcial entre AT y NA • AT AP W-kL L-kL Pendiente en VA (1-k)/k=(1-p)/p • NA W - L kL W-kL xNI W

  13. Solución AP (caso k>p) xI • Aseguramiento total en AT • Aseguramiento parcial entre AT y NA • AT • AP W-kX-L+X Pendiente en VA (1-k)/k < (1-p)/p L-kX • NA W - L kX W-kX xNI W

  14. Práctica (1): (1)En el mercado de seguros de accidentes de automóviles hay dos clases de conductores, los buenos conductores (que causan un accidente al año con probabilidad 0,1 y ningún accidente, con probabilidad 0,9) y los malos conductores (que causan un accidente con probabilidad 0,2 y ningún accidente, con probabilidad 0,8). Los costes de reparación de vehículos involucrados en los accidentes (en media) es de 200.000 ptas. La proporción de buenos y malos conductores es de 2 a 1. La utilidad de los conductores, que maximizan la utilidad esperada, es igual a U(W)=W1/2 y sus riquezas iniciales son de 500.000 ptas. • (a)Calcula la cuota mínima que las compañías de seguros estarían dispuestas a ofrecer, suponiendo que son neutrales con respecto al riesgo y que no pueden distinguir entre los dos tipos de conductores. • (b)¿Qué tipo de conductores subscribiría una póliza de seguros a la cuota del apartado (a)?¿Cuáles son las cuotas máximas que cada tipo de conductor está dispuesto a pagar? Represente los árboles de decisión. • (c)Calcula la cuota de equilibrio competitivo, suponiendo que las compañías ofrecen seguros a las cuotas mínimas (y no hay gastos administrativos ni otros gastos extras) y conocen qué tipo de conductores contratan las pólizas, aunque no puedan distinguir entre los dos tipos de conductores. ¿Qué tipo de conductores contratarán pólizas en equilibrio?¿Y si pudieran distinguir entre los dos tipos?

  15. Práctica (1) NAcc  U(500.000-K) 0,9 AT  UE(AT) = U(500.000-K) Acc  U(500.000-K) 0,1 B. C.  NAcc  U(500.000) 0,9  UE(NA) = 0,9U(500.000)+0,1U(300.000) NA Acc  U(300.000) 0,1 KB=22286,3 cuota máxima por asegurarse totalmente .

  16. Práctica (1) NAcc  U(500.000-K) 0,8 AT  UE(AT) = U(500.000-K) Acc  U(500.000-K) 0,2 M. C.  NAcc  U(500.000) 0,8  UE(NA) = 0,8U(500.000)+0,2U(300.000) NA Acc  U(300.000) 0,2 KM=44064,5 cuota máxima por asegurarse totalmente Por su parte, las compañías aseguraran a los conductores con una Kmin=26666,6 .

  17. ¿Quién contrata? UEB xAcc • Aseguramiento total en AT UEM • Aseguramiento parcial entre AT y NA • ATB • EB=0 • ATM • NA 300.000 Kmin = 26666,6 KB = 22286,3 KM = 44064,5 xNAcc 455.935,5 477.713,7 500.000

  18. Solución: sólo malos conductores xAcc • Aseguramiento total en AT UEM • Aseguramiento parcial entre AT y NA • EBM =0 • ATM • NA 300.000 Kmin = 40000 KM = 44064,5 xNAcc 455.935,5 500.000

  19. Práctica (2): • (2) Un consumidor se plantea invertir toda su riqueza W=100 en cada uno de los dos activos disponibles. Uno de renta fija, que proporciona un rendimiento seguro del 10%. El otro, de renta variable, proporciona un rendimiento del 20% con una probabilidad del 50% y un rendimiento del 5% con una probabilidad del 50%. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/3. • (a) determine en qué activo invertirá toda su riqueza. ¿Cuál es el equivalente de certeza y la prima de riesgo de la inversión en el activo de renta variable? • (b) le beneficiaría invertir la mitad de su riqueza en cada activo.

  20. AS  U(W(1+rs)) UE(AS) = U(W(1+rs)) Cons  B  U(W(1+rB)) 1-p  UE(AR) = (1-p)U(W(1+rB)) + pU(W(1+rM)) AR M  U(W(1+rM)) p Práctica (2): pista Decisiones: AS, activo seguro (rend. rs=0,1) y AR, activo con riesgo (rend. rB=0,2 y rM=0,05) Estados: B, bueno y M, malo, con probabilidades 1-p=0,5 y p=0,5, respectivamente .

  21. Práctica (2): solución AS  U(110) UE(AS) = 4,74 Cons  B  U(120) 0,5  UE(AR) = 0,5*4,93 + 0,5*4,72=4,825 AR M  U(105) 0,5 Invertirá en el activo con riesgo AR EC=4,8253=112,33; Ex=112,5 PR=0,166 (b) No, pues UE=4,8089

  22. Práctica (2): diversificación óptima B  U(W+XrB+(W-X)rS) U(W(1+rS)+X(rB-rS)) 0,5 Div Cons   M  U(W+XrM+(W-X)rS) U(W(1+rS)+X(rM-rS)) 0,5 (b) Max UE(Div)=0,5*(110+0,1X)1/3+0,5*(110-0,05X)1/3 X[0,100] δUE(Div)/ δ X=0 X*=833 X*=100(Todo en AR) .

  23. Solución gráfica: xM • Aseguramiento total en AT UEAR • Aseguramiento parcial entre AT y NA • EX • x AS 105 AR xB 110 112,33 112,5 120

  24. Práctica (3): (3) Un consumidor con una riqueza inicial de W=450 se enfrenta a la posibilidad de perder 400 u.m. con una probabilidad de 1/3. Una compañía de seguros le ofrece la posibilidad de asegurarse y le ofrece un contrato por el cual el individuo abona hoy la cantidad kX y en el caso de que se produzca la pérdida, la compañía le abona X. El consumidor maximiza la utilidad esperada, siendo la utilidad de la riqueza al final del periodo igual a U(W)=W1/2. (a) Calcule la cantidad de seguro X que contratará si k=1/2 y el beneficio de la empresa aseguradora. (b) La cuota mínima kmin que la compañía estaría dispuesta a cobrar. (c ) La cuota máxima kmax que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse totalmente (si las únicas alternativas fueran asegurarse totalmente o no asegurarse). (d) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, ¿ el individuo se aseguraría parcialmente a la kmax calculada en ( c)? (e) Si se le permitiese el aseguramiento parcial, calcule la cuota máxima kmax que el consumidor estaría dispuesto a pagar por asegurarse algo parcialmente (por encima de la cual no se asegura ni parcialmente).

  25. Pista práctica (3 a y b) xI • Aseguramiento total en AT • Aseguramiento parcial entre AT y NA Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2 • AT • AP W-kX-L+X L-kX Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1 • NA W - L kX W-kX EW xNI W

  26. Solución (3a y b): AP óptimo NI  U(W-kX) (450-0,5X)1/2 2/3 AP Cons   I  U(W-L-kX+X) (50+0,5X)1/2 1/3 (a)Max UE(AP)=2/3*(450-0,5X)1/2+1/3*(50+0,5X)1/2 X[0,400] δUE(AP)/ δ X=0 X*=100 (Aseguramos la cuarta parte de la pérdida) (b) Es kmin tal que(1-kmin)/kmin=2 kmin=1/3 .

  27. Pista práctica (3 c y d) Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2 xI • Aseguramiento total en AT • Aseguramiento parcial entre AT y NA Pendiente kmax en (c) en VA: (1-kmax)/kmax • AT AT • AP Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1 • NA W - L x EW xNI W

  28. Solución (3c y d): (c) Es kmax tal que(1-kmax)/kmax= tg α =(x-50)/(450- x) y donde x=272,22 kmax=0,44 Otra forma Kmax (mayúsculas)=450-272,77=177,77 kmax=177,77/400=0,44 (d) Obviamente si, véase el gráfico anterior .

  29. Pista práctica (3 e) Pendiente BE=0 en VA: (1-p)/p = 2 xI • Aseguramiento total en AT • Aseguramiento parcial entre AT y NA Pendiente kmax en (e) en VA: (1-kmax)/kmax • AT AT • AP Pendiente RP en VA: (1-k)/k = 1 • NA W - L x EW xNI W

  30. Solución (3e): (e) Es kmax tal que(1-kmax)/kmax= tg b = pendiente de UE en NA  tg b = kmax=0,6 .

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