LES0407 Estatística Aplicada II

1. LES0407 Estatística Aplicada II Prof. Dr. Vitor Ozaki

2. Conceito • Informação e Incerteza • A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos biológicos. • Traduz-se por um número real compreendido entre 0 ( zero) e 1 ( um).

3. Conceito • ExperimentoAleatório • Processoestocástico (aleatório) emque o resultado final é incertodevidoaopróprioprocesso; • Quandotemos um experimentoaleatório, nãopodemosprever com certeza o resultado; • Podemos, no entanto, descrevertodosospossíveisresultadosdesteexperimento;

4. Exemplos • Lançar um dado e observar o númeroresultante. • Lançarduasmoedas e observar as faces voltadasparacima. • Lançartrêsmoedasjustas e observar as faces voltadasparacima. • Lançartrêsmoedasjustas e observar o número de caras.

5. Exemplos • Medir a produtividade de umaárea de cultura de sojaquerecebeuadubação; • Anotar as espécies de avesquesãocapturadasnumarede-neblina armada no sub-bosque de umaflorestanativa; • Medir a altura de umaárvoreescolhidaaoacaso de umaflorestanativa.

6. Importante! • A probabilidade: • de um evento qualquer é um número real não negativo; • de um evento certeza é igual a 1;

7. Espaço Amostral e Evento • Considere o experimento: proporção de sexo em 2 recém-nascidos; • Espaço amostral (S) • conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento; • S={MM,MF,FM,FF}

8. Espaço Amostral e Evento • Evento: • qualquer subconjunto do espaço amostral. • sãogeralmenterepresentadosporletrasmaiúsculas, comoA, B, C, …

9. Espaço Amostral e Evento • Exemplos: • A={MM, FF}, evento que denota 2 recém-nascidos do mesmo sexo; • B={MF , FM}, evento que denota 2 recém-nascidos de sexos diferentes;

10. Espaço Amostral e Evento • Ex. Lançamento de uma moeda (cara C ou coroa K); • Espaçoamostral S = {C, K}. • Evento: • A = cara; • B = coroa;

11. Espaço Amostral e Evento • Lançarduasmoedasjustas e observar as faces voltadasparacima (árvore de probabilidades). Lançamentos 1º 2º C K C C S = {CK, CC; KK; KC} K K K C

12. Espaço Amostral e Evento Lançamentos de trêsmoedas 3º 1º 2º C K K C K C C C K S = {CKK, CKC; CCK; CCC; KKK; KKC; KCK; KCC} C C C K KK K K C K C K K C C

13. Álgebra de Eventos • Considerando A, B e C eventos pertencentes a uma álgebra de eventos, pode-se considerar como verdadeiras as seguintes propriedades:

14. Álgebra de Eventos • Exemplo de relações derivadas das propriedades anteriores:

15. Álgebra de Eventos • Considere uma lista de eventos dada por A1, A2, ..., An,pertencentes um espaço de eventos; • Os eventos da lista A1, A2, ..., Ansão mutuamente exclusivos se: • Os eventos da lista A1, A2, ..., Ansão coletivamente exaustivos se:

16. Probabilidade de um Evento • Se um dado é lançado: • e o resultado é um elemento de A, diz-se que o evento A ocorre. • e o resultadonão for um elemento de A, diz-se que o evento A nãoocorre.

17. Probabilidade de um Evento • Ex. Considere o lançamento de um dado e as seguintespremissas: • Sópodemocorrerseis faces; • O dado é perfeitamenteequilibrado; • Dadasessasinformações, nota-se que a proporção de ocorrência de cada face é igual a 1/6;

18. Probabilidade de um Evento • O modeloprobabilísticoserá:

19. Probabilidade de um Evento • Se um evento ocorre de n maneiras igualmente possíveis e se, destas, exatamente m maneiras correspondem ao evento A, então a probabilidade do evento A é dada pela razão:

20. Probabilidade de um Evento • Princípio fundamental da contagem – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO: • Se uma tarefa pode ser executada em duas etapas, a primeira podendo ser realizada de p maneiras e a segunda de q maneiras, então as duas podem ser realizadas simultaneamente de pq maneiras.

21. Probabilidade de um Evento • Ex. Suponha que em um lote com 20 peças existem 5 defeituosas. Escolha 4 peças ao acaso, não importando a ordem das escolhas; • Assim: o núm. de amostras com 4 peças que podemos extrair é uma combinação de 20 peças, tomadas 4 a 4 (espaço amostral); • Seja o evento A = 2 peças defeituosas;

22. Probabilidade de um Evento • Segue que m = ou seja, 2 defeituosas e 2 não defeituosas simultaneamente de m maneiras; • Logo, Pr(A) =

23. Probabilidade de um Evento • Ex. Considere a megasena:

24. Probabilidade de um Evento • Possibilidades: • = 1/50.063.860 para a megasena; • / = 1 / 154.518 para a quina; • / = 1 / 2.332 para a quina; • Apostando 7 números: • / = 1 / 7.151.980 para a megasena;

25. Probabilidade de um Evento • Preços:

26. Probabilidade de um Evento • Com 7 números podemos formar: • = 7 jogos de 6 números – equivalência entre um jogo de 7 números ou 7 jogos com 6 números em termos de probabilidade; • Com 15 números podemos formar: • = 5.005 jogos de 6 números – equivalência entre um jogo de 15 números ou 5.005 jogos com 6 números em termos de probabilidade;

27. Axiomas de Probabilidade • O modeloprobabilísticoterásempreumacoerênciainternaqueresulta dos axiomas de probabilidade; • Se em (4), A1, A2, ..., Ansão mutuamente exclusivos;

28. Axiomas de Probabilidade • Resultados importantes derivados dos axiomas de probabilidade:

29. Axiomas de Probabilidade • Se os eventos forem mutuamente exclusivos, então: • A ∩ B = Ø → Pr(A ∩ B) = 0 • Se os eventos forem complementares, então: • A U B = S → Pr(A U B) = 1 • Ainda, Pr(A) + Pr(A) = 1

30. 1 2 3 4 5 6 S Probabilidade • Considere o seguinteespaçoamostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

31. Probabilidade • Os eventos A, B , C e Dserãodenotadospor: • A = números menores que 4; • {1, 2, 3} • B = números ímpares; • {1, 3, 5}

32. Probabilidade • C = números múltiplos de 7; • {Ø} • D = números maiores que 0; • {S}

33. Probabilidade • As probabilidadesassociadasaoseventos A, B , C e Dserão: • Pr(A) = 3/6 = ½; • Pr(B) = 3/6 = ½; • Pr(C) = 0; • Pr(D) = 6/6 = 1

34. Probabilidade • Ex. Considere um experimento aleatório e os eventos A e B, tais que Pr(A) = 1/2, Pr(B) = 1/3, P(A ∩ B) = 1/4. • Pr(A) = 1 – Pr(A) = 1/2; • Pr(B) = 1 – Pr(B) = 2/3; • Pr(A U B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A ∩ B) = 7/12; • Pr(A ∩ B) = Pr(A U B) = 1 – Pr(A U B) = 1 – 7/12 = 5/12; • Pr(A U B) = Pr(A ∩B) = 1 – Pr(A ∩B) = 1 – 1/4 = 3/4;

35. A B S Probabilidade - Diagramas de Venn ocorre A ou B ? ocorre somenteA ? ocorrem A e B simultaneamente? não ocorre nem A nemB ? não ocorrem A e B simultaneamente? não ocorre A?

36. Probabilidade • Ex.Uma urna contémduas bolas cinzas (C) e três verdes (V); • Duas bolassão sorteadas ao acaso, semreposição; • Aárvore de probabilidades será:

37. Probabilidade

38. Probabilidade • ? Árvoresde probabilidades

39. Árvore de Probabilidades 1/4 3/4 2/5 2/4 3/5 2/4

40. Probabilidade • Considere o evento: • A = bola cinzana segunda extração • Qual será a Pr(A)? • Pr(A) = Pr(CC) + Pr(VC) • Pr(A) = 2/20 + 6/20 = 2/5

41. Probabilidade • Considere o evento: • B = bola verde na segunda extração • Qual será a Pr(B)? • Pr(B) = Pr(CV) + Pr(VV) • P(A) = 6/20 + 6/20 = 3/5

42. Probabilidade • De forma geral, os resultados serão:

43. Probabilidade • Considere o evento: • C = bola verde na segunda extração dado que a bola extraída naprimeiraextraçãofoicinza. • Qual será a Pr(C)? • Pr(C) = Pr(Verde | Cinza)

44. Probabilidade • Pelaárvore de probabilidades, vemos que: • Pr(V | C) = 3/4 • Podemos calcular Pr(V | C) de outra forma: • Pr(V | C) = (3/5 x 2/4) / 2/5 • Pr(V | C) = 3/4

45. Probabilidade • Pr(V | C) = (3/5 x 2/4) / 2/5 P(C) P(V ∩ C) • Assim: • P(V | C) = P(V ∩ C) / P(C)