Mathematische Beschreibung von Strömungen

1. Mathematische Beschreibung von Strömungen

2. Themen: - Klassische Verfahren / Numerische Simulation - kurzer historischer Überblick - Fluide - Viskosität - Laminare & turbulente Strömungen (Reynolds-Zahl) - Navier-Stokes-Gliechungen - Randbedingungen - Herleitung a) Kontinuitätsgleichung b) Impulsgleichung

3. Klassische Verfahren und numerische Simulation

4. a) Praktischer Ansatz Beim Praktischen Ansatz wird mit Hilfe von Experimenten versucht durch Beobachtung unsere Umwelt besser zu verstehen. Hierzu werden Messreihen unter Einsatz verschiedenster Messapparaturen und Messtechniken erstellt. Aus den Messergebnissen wird dann versucht physikalische Gesetzmäßigkeiten zu ermitteln. aus Demtröder Experimentalphysik 1 S. 2 Springer Verlag 4. Auflage Als Begründer der experimentellen Physik gilt Galileo Galilei, der mit Beschleunigungsexperimenten an der schiefen Ebene und nicht mit Fall- experimenten vom Schiefen Turm von Pisa die ersten physikalischen Versuche anstellte.

5. b) Theoretischer Ansatz Die Geburtsstunde des theoretischen Ansatzes in der Physik liegt in den Überlegungen der Naturphilosophen der Antike. Jedoch waren diese Gedanken rein spekulativer Natur, die weder durch experimentelle noch durch mathematische Untersuchen gestützt wurden. Daher wird allgemein die Geburt der theoretischen Physik mit Isaac Newton‘s Philosophiae Naturalis Principia Mathematica angegeben, in der erstmals die Gesetze der Mechanik in mathematischen Formeln angegeben wurden. aus Demtröder Experimentalphysik 1 S. 7 Springer Verlag 4. Auflage Diese „Mathematisierung“ der Physik ermöglicht es heutzutage aus der Lösung rein mathematischer Probleme neue physikalische Erkenntnisse zu gewinnen.

6. c) Numerische Simulation Durch den Einsatz von Computern in der naturwissenschaftlichen Forschung kann man theoretischen und praktischen Ansatz im Verfahren der numerischen Simulation vereinen. Das kontinuierliche Modell des theoretischen Ansatzes muss durch Auswahl einer endlichen Anzahl von Punkten für die numerische Simulation diskretisiert werden. Je mehr Punkte dabei ausgewählt werden, desto wirklichkeitsgetreuer ist die Simulation. Dadurch können „virtuell“ Experimente durchgeführt werden können, die in Realität zu teuer, zu aufwendig oder zu gefährlich währen. Außerdem können durch Änderung von nur wenigen Parametern gleiche Ergebnisse erzielt werden, die bei realen Experimenten umfangreiche Umbauten erfordern würden. Dies hilft insbesondere bei der Optimierung von Materialien und Geometrien.

7. Anforderungen: Mathematisches Modell: Hardware: Lösungsverfahren: Ergebnisse: - gute Beschreibung der Realität - lösbar - diskretes Modell approximiert gut das kontinuierliches Modell - hohe Speicherkapazität (Punkteanzahl) - viel Rechenzeit - schnelle Lösungsverfahren (Mehrgitterverfahren, Multileveltechniken Parallelisierung) - Approximation (Adaptivität, lokale Fehlerschätzer) - Visualisierung der Daten / übersichtliche Darstellung - Überprüfung der Übereinstimmung mit der Realität

8. physikalischer Ablauf in der Realität Experiment Kontinuierliches mathe- matisches Modell Verbesserungdes Modells Verbesserung der Diskretisierung Diskretisierung Zeitabhängigkeit Behandlung nicht- linearer Anteile Parallelisierung lösen linearer Gleichungssysteme Fehlerschätzung Abschätzung der Approximation Neue Erkenntnisse

9. Kurzer geschichtlicher Überblick: 1933 erste Arbeiten zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen 1955 Verfahren zur Lösung parabolischer und elliptischer Probleme (ADI) 1965 Arbeiten von Harlow & Fromm sowie von Macagon sind der Beginn der numerischen Strömungssimulation (Marker-and-Cell-Verfahren kurz MAC) 1968 Verwendung mehrerer Fluide unter Berücksichtigung der Grenzschichten 1969 Verwendung von Gitterlinien nicht parallel zum Rand 1971 Verbesserung der Randbedingungen an der Oberfläche Verwendung von sich bewegenden Rändern 1972 Erweiterung auf 3 Dimensionen 1986 Simulation von Schiffswellen 1994 Simulation von Kunststoffspritzguss Weitere Verfahren: SIMPLE, QUICK

10. Strömungen

11. Definition: Fluide Fluide sind die Gesamtheit aller strömungsfähigen Substanzen, insbesondere also Flüssigkeiten und die Gase. Festkörper hingegen gehören nicht dazu. Allerdings gehören die Schmelze von Festkörper sehr wohl zu den Fluiden. Die Beschreibung von Strömungen basiert also auf der Beschreibung der Fluide genauer gesagt auf der Beschreibung der Wechselwirkung zwischen - den einzelnen Fluidmolekülen untereinander (innere Reibung) - unterschiedlichen Fluiden (z.B. Wasser/Luft bei Wellenbildung) - Fluid und ruhendem Festkörper (z.B. Strömungen in Rohren) - Fluid und bewegtem Festkörper (z.B. Tragflügel eines Flugzeugs) Die hierbei entstehenden Kräfte werden durch eine physikalische Eigenschaft der Fluide beschreiben, die sich Zähigkeitoder auch Viskositäthnennt.

12. Viskositäth Die Viskosität einer Flüssigkeit ist eigentlich ein Maß für die innere Reibung in einer Strömung. Hierzu denkt man sich das Fluid aufgebaut aus mehreren Schichten. Wirkt nun eine Kraft aufgrund der Strömung auf die oberste Fluidschicht, so wird aufgrund der Reibung zwischen den Schichten ein Teil dieser Kraft auf die darunter liegende Schicht übertragen. Diese überträgt wieder einen Teil ihrer Kraft auf die darunter liegende Schicht und so geht das weiter bis die Trägheitskräfte irgendwann größer sind als die weitergegebenen Kraftanteile oder bis die Randschicht erreicht wird.

13. Wovon hängt nun die zur Bewegung der ersten Schicht nötigen Kraft ab ? 1. Sicherlich von der zu erreichenden Strömungsgeschwindigkeit v 2. Von der Größe der Grenzfläche A zwischen zwei Flüssigkeitsschichten 3. Von der Schichtdicke d Messungen zeigen, dass man noch einen temperatur- und stoffabhängigen Proportionalitätsfaktor hinzunehmen muss um die richtigen Werte zu erhalten. Dies ist die Viskosität h. Die Formel für die innere Reibung lautet dann also Die Einheit der Viskosität ist

14. Einige Zahlenwerte nach Horst Kuchling Taschenbuch der Physik Fachbuchverlag Leipzig 17. Auflage

15. Laminare und turbulente Strömungen Das Modell der Flüssigkeitsschichten ermöglicht es uns nun zwei Arten von Strömungen zu unterscheiden: In laminaren Strömungen gleiten die Flüssigkeitsschichten aneinander vorbei ohne dass die Schichten sich vermischen. Die auftretenden Reibungskräfte sind vergleichsweise niedrig. Bei turbulenten Strömungen vermischen sich hingegen die Luftschichten. Für den Schichtübergang muss jedoch Energie aufgebracht werden. Diese Energie kann nur in Form höherer Reibungsarbeit erbracht werden, was sich in einer größeren Reibungskraft äußert. In Gasen muss zudem noch beachtet werden, dass die Strömungsge- schwindigkeit klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit in dem Gas ist, weil sonst noch Kompressionsvorgänge zu berücksichtigen sind. Laminare Strömungen gehen bei Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit in turbulente Strömungen über.

16. Der Übergangspunkt zwischen laminarer und turbulenter Strömung Der Punkt an den eine laminare Strömung in eine turbulente Strömung um- schlägt lässt sich berechnen. Die Kenngröße hierfür ist die nach dem englischen Physiker Osborne Reynolds benannte, dimensionslose Reynoldszahl Re. Hierbei ist v die Strömungsgeschwindigkeit r die Dichte h die Viskosität und L eine „charakteristische Länge“ des umströmten Körpers also beispielsweise der Durchmesser eines Rohres. Solange diese Größen kleiner sind als die maximale Reynoldszahl des umströmten Körpers ist die Strömung laminar anderenfalls wird sie turbulent. Typische Größenordnung für Rohre ist eine maximale Reynoldszahl von Re = 1000. Durch spezielle Behandlung der Rohre etwa für Pipelines kann sie bis auf etwa Re ≈ 20000 gesteigert werden.

17. Die Grenzschichten Die Schichttheorie ermöglicht es auch die Geschehnisse in den Rand- gebieten der Strömung zu verstehen. Laminaren Strömung: Da die einzelnen Schichten sich nicht vermischen, macht es für sie keinen Unterschied ob sie an einer anderen Fluidschicht oder an einer anderen Begrenzung wie beispielsweise einer Rohrwand vorbei gleiten. Turbulenten Strömungen: Durch die Vermischung der Fluidschichten macht eine feste Begrenzung sehr wohl etwas aus, da dort keine Vermischung mehr statt finden kann. Lösungsansatz: Ludwig Prandtl‘s Grenzschichttheorie Nach Prandtl ist die feste Begrenzung immer von einer laminaren Randschicht umgeben. Grund für diese Randschicht ist die Haftung des Fluids an der Begrenzung. Dadurch wird das Fluid in der näheren Umgebung des Rands abgebremst und somit die Reynoldszahl des Fluids in diesem Bereich verringert (Re ~ v). Sie bleibt daher unter Remax der Begrenzung.

18. Die Navier-Stokes-Gleichungen

19. Bei den Navier-Stokes-Gleichungen handelt es sich um ein System nicht- linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung, dass sich nur in Spezialfällen analytisch lösen lässt. Genauer gesagt ist bisher nicht einmal sicher, ob das System überhaupt eine allgemeine analytische Lösung besitzt. Es besteht aus zwei Teilgleichungssysteme 1. Impulsgleichung Sie geht aus dem Prinzip der Impulserhaltung hervor. 2. Kontinuitätsgleichung Sie leitet sich aus der Massenerhaltung ab. Der Name Navier-Stokes-Gleichungen geht auf den Franzosen Claude Louis Marie Henri Navier und den Briten George Gabriel Stokes zurück die beide unabhängig von einander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts die Impulsgleichung fanden. Die Navier-Stokes-Gleichungen werden verwendet um laminare Strömungen viskoser inkompressibler Fluide zu beschreiben.

20. Eine wichtige Näherung der Navier-Stokes-Gleichungen sind die nach Leonard Euler benannten Euler-Gleichungen. Es handelt sich hierbei um ein partielles Differentialgleichungssystem 1. Ordnung, das aus den Impulsgleichung der Navier-Stokes-Gleichungen hervorgeht, wenn man dort die Viskosität h = 0 setzt. Anwendung finden die Euler-Gleichungen hauptsächlich bei Strömungs- vorgängen in Gasen, da dort die Viskosität meist sehr klein ist. Man nennt solche Gase auch nicht-viskose Fluide. Klarer Vorteil der Euler-Gleichungen gegenüber den Navier-Stokes- Gleichungen liegt in der niedrigeren Ordnung des Differentialgleichung- systems und damit in der besseren mathematischen Handhabbarkeit. Eine vollständige Beschreibung der Strömung liefern zwar nur die Navier- Stokes-Gleichungen, aber eine etwas ungenaue Lösung der Euler- Gleichungen ist immer noch besser als keine Lösung von den Navier- Stokes-Gleichungen.

21. Mathematische Beschreibung Die Strömung des Fluids durch ein Gebiet W⊂ ℝN mit N ∈ {2 , 3} über die Zeit t ∈ [0 , T ] wird charakterisiert durch - ein Geschwindigkeitsfeld - den Druck - die Dichte

22. Navier-Stokes-Gleichugen (3-dimensinal) In einem so beschriebenen Strömungsfeld lauten die Navier-Stokes- Gleichungen im 3-dimensionalen Fall (Impulsgleichung) (Kontinuitätsgleichung) Mit Re ∈ℝ der Reynoldszahl und g ∈ℝN die Erdbeschleunigung. Zu beachten ist zudem, dass wir hier von einer konstanten Dichte r = const. ausgehen und der Druck p nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist.

23. Navier-Stokes-Gleichungen (2-dimensional) Bei der Navier-Stokes-Gleichung in zwei Dimensionen ist zu beachten, dass hier die 2-dimensionale Definition der Operatoren grad und div zu verwenden ist. Die Navier-Stokes-Gleichungen lauten dann (Impulsgleichung) (Kontinuitätsgleichung)

24. Strömungen – ein Anfangsrandwertproblem Wie bei jedem Differentialgleichungssystem können die Navier-Stokes- Gleichungen nur durch Angabe der Anfangsbedingungen exakt gelöst werden, was in unserem Fall die Strömungsgeschwindigkeit zum Zeit- punkt t = 0 ist. Zusätzlich ist auch noch zu jedem Zeitpunkt die Angabe der Verhältnisse am Gebietsrand erforderlich, so dass wir kein reines Anfangswertproblem, sondern ein Anfangsrandwertproblem erhalten. Für die Formulierung der Randbedingungen wollen wir uns auf den 2-dimensionalen Fall beschränken, da die Übertragung auf die dritte Dimension ohne großen Aufwand möglich ist. Um die Verhältnisse am Rand beschreiben zu können führen wir ein paar neue Bezeichnungen ein. jn Normalengeschwindigkeit senkrecht zum Rand jt Tangentialgeschwindigkeit parallel zum Rand Ableitung in Normalenrichtung

25. Randbedingungen - Haftbedingung (no-slip) Kein Fluid dringt durch die Wand, allerdings haftet das Fluid an der Wand. - Rutschbedingung (free-slip) Kein Fluid dringt durch die Wand, jedoch gleitet das Fluid reibungsfrei entlang der Wand. - Einströmbedingung (inflow) Das Fluid strömt mit konstanter Geschwindigkeit durch den Rand. • Ausströmbedingung (outflow) • Damit die Ausströmgeschwindigkeit konstant bleibt, darf sich die • Normalenableitung der Geschwindigkeitskomponenten nicht ändern.

26. - Periodische Randbedingung Bei einem periodischen Problem der Periodenlänge a in Achsrichtung kann man sich auf eine Periode beschränken, da die Geschwindigkeiten und der Druck am rechten und linken Gebietsrand identisch sind. Sind an allen Rändern die Geschwindigkeiten selbst und nicht die Normalen- ableitungen gegeben, so gilt zusätzlich wegen der Kontinuitätsgleichung und dem Gaußschen Integralsatz, dass das Randintegral über die Geschwindigkeiten senkrecht zum Rand Null ergibt, denn es gilt: Bei den Navier-Stokes-Gleichungen sind genau solche so genannten Dirichlet-Randbedingungen gegeben. Im Zweidimensionalen gibt es hier bis auf eine additive Konstante des Drucks eindeutige Lösung für alle Zeiten t. Im Dreidimensionalen muss man sich dagegen für die eindeutige Lösung auf ein Zeitintervall [0,T] beschränken.

27. Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen Wir haben bereits festgestellt, dass sich die Navier-Stokes-Gleichungen aus zwei Teilen zusammensetzt, der Kontinuitätsgleichung und der Impulsgleichung. Zur Herleitung der Kontinuitätsgleichung benötigen wir das Prinzip der Erhaltung der Masse, die Impulsgleichung lässt sich aus der Impuls-erhaltung ableiten. Wir wollen nun die Kontinuitätsgleichung herleiten, dazu ist es nötig sich zunächst einmal mit dem Prinzip der Massenerhaltung vertraut zu machen.

28. Was bedeutet nun Massenerhaltung ? Selbst bei so exotischen Erscheinungen wie Zerstrahlung und Paar- bildung, kann Masse nicht aus dem „Nichts“ gebildet werden, das gewährleistet uns das physikalische Grundprinzip der Energieerhaltung. (Bei Zerstrahlung und Paarbildung wird Masse durch Umwandlung in bzw. von Energie vernichtet bzw. erzeugt.) Sieht man von diesen Spezialfällen ab, so folgt aus der Energieerhaltung automatisch auch die Erhaltung der Masse, d.h. Masse kann nicht erzeugt oder vernichtet werden. Einfacher ausgedrückt bedeutet dies, dass die zeitliche Massenänderung Null ist. Massenerhaltung bedeutet jedoch nicht, dass bei einem homogenen Fluid am einen Rand keine Masse einströmen darf, es muss nur an einem anderen Rand die gleiche Masse abfließen.

29. Bevor wir diese Prinzip nun auf ein allgemeines Strömungsfeld anwenden, wollen wir zunächst die Strömung eines Fluids in einem Rohr betrachten. Wir betrachten ein Fluid, das in x-Richtung durch ein Rohr mit örtlich veränderlichen Querschnitt A fließt. Ein Flüssigkeitsvolumen dV hat dann die Masse dM = r‧dV = r‧A‧dx, weil der Rohrquerschnitt vorgegeben ist. Mit der Masseerhaltung folgt dann: Wobei u1 und u2 die Strömungsgeschwindigkeiten im jeweiligen Rohr- abschnitt sind. Für eine konstante Dichte erhält man dann die Gleichung, die in vielen Büchern auch Kontinuitätsgleichung heißt, jedoch nicht die von uns gesuchte Kontinuitätsgleichung ist.

30. Die eigentliche Kontinuitätsgleichung erhalten wir nun, indem wir ein allgemeines Volumen V mit beliebiger Oberfläche A betrachten. Während bei unserem Rohr durch die gesamte Oberfläche das Fluid ein- bzw. ausströmte dürfen wir dies im allgemeinen Fall nicht mehr annehmen. Wir können jedoch durch Betrachtung der Oberflächenelemente dA und anschließender Integration über die Gesamtoberfläche A unsere Formel für das Rohr auf den allgemeinen Fall übertragen. Sie lautet dann: Auf die rechte Seite der Gleichung können wir nun den Gaußschen Integral- satz anwenden und erhalten so:

31. Um nun endlich zum Ziel zu gelangen müssen wir noch die Masse durch die schon aus der Schule bekannte Beziehung ersetzen. Wir erhalten dann folgende Beziehung Ein Vergleich der Integranten liefert uns Für inkompressible Fluide ist r sowohl räumlich als auch zeitlich konstant was uns zur Kontinuitätsgleichung führt:

32. Die Impulsgleichung Die Impulserhaltung bedeutet Nun ist aber die zeitliche Ableitung des Impulses nach dem 2. Newtonschen Gesetz gleich der Kraft, daher kann man diese Beziehung unter Berücksichtigung der Masseerhaltung umschreiben zu In unserem Fall ist v nun die Strömungsgeschwindigkeit u die von dem Ort r und der Zeit t abhängt. Bei der Ableitung nach t ist nun zu beachten - die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit des Teilchens am Ort r - die Änderung der Geschwindigkeit des Teilchens aufgrund der Bewegung des Teilchens von r nach r + dr Für die x-Richtung würde dies beispielsweise bedeuten:

33. Betrachtet man alle 3 Richtungen ergibt sich also Fehlen also nur noch die wirkenden Kräfte. Diese setzen sich zusammen aus - der Gravitationskraft - der Druckkraft - der Reibungskraft Die Gravitationskraft ist wie schon aus der Schule bekannt durch F = mg gegeben. Auch die Reibungskraft haben wir bei der Definition der Viskosität h schon kennen gelernt. Um sie in die Kräftebilanz richtig mit einbeziehen zu können müssen wir sie jedoch auf ein infinitesimal kleines Volumenstück dV umschreiben.

34. Für die Reibungskraft betrachten wir also ein Volumenelement dV = dxdydz in einem Fluid, in der die Strömung in y-Richtung erfolgt und die ein Geschwindigkeitsgefälle in x-Richtung hat. aus Gerthsen Physik S. 110 Springer Verlag 22. Auflage Die auf die linke bzw. rechte Seite des Volumenelements dV wirkende Reibung unterscheidet sich durch die Richtung und durch das herrschende Geschwindigkeitsgefälle Um die resultierende Reibungskraft zu erhalten müssen wir nun das rechts- seitig Gefälle durch das linksseitige Gefälle ausdrücken unter Berücksichtigung der Änderung des Geschwindigkeitsgefälles im Bereich dx:

35. Die Reibungskräfte links bzw. rechts des Volumenelements dV lauten also: Somit erhalten wir als resultierende Kraft den Ausdruck Hat man ein Geschwindigkeitsgefälle in 3 Dimensionen, so erweitert sich diese Formel also zu Man sieht hier, dass bei nicht-viskosen Fluiden die Reibungsterme wegfallen, wie wir es eigentlich auch erwarten mussten, da nicht-viskose Fluide aufgrund der Definition von viskos keine innere Reibung besitzen dürfen.

36. Damit überhaupt eine resultierende Druckkraft vorliegt muss wegen p = F/A auf der einen Seite unseres Volumenelements dV ein größerer Druck herrschen als auf der gegenüberliegenden Seite. aus Gerthsen Physik S. 111 Springer Verlag 22. Auflage Wir haben also entlang einer Richtung x auf der Länge dx ein Druckgefälle dp/dx. Die resultierende Kraft ist also Verallgemeinert auf 3 Dimensionen gilt dann:

37. Wenn wir noch beachten, dass ist erhalten wir also folgende Gleichung Da wir von einer konstanten Dichte ausgehen können wir mit r kürzen. Wir betrachten zudem wieder nur die Integranten und finden nun: Diese Gleichung ähnelt schon sehr der zu Beginn vorgestellten Darstellung der Impulsgleichung. Um auf die gleiche Darstellung zu kommen müssen wir allerdings noch aus den physikalischen Größen dimensionslose Größen machen. Dies geschieht wie folgt:

38. Dabei müssen für die Vergleichsgrößen die folgenden Eigenschaften gelten - konstant für das Problem - im voraus bekannt - charakteristisch für das Problem In unserem Fall wählen wir Wobei L und v durch die Messanlage und das Modell vorgegeben sind und p0 die ganz zu Beginn angesprochene additive Konstante des Drucks beseitigt und in der *-ten Gleichung auch verschwindet wegen grad* p0 = 0.

39. Wenn wir die *-ten Größen jetzt einsetzen und beachten, das wir L,v und r als Konstanten vorziehen können erhalten wir: Nun multiplizieren wir beide Seiten mit L / v² und erhalten

40. Benutzen wir nun die Definition der Reynoldszahl Re = (Lvr)/h und führen noch g in g* über durch Definition von g* als So sind wir bei der Gleichung angelangt, die wir als Impulsgleichung kennen gelernt haben. Auch die Euler-Gleichung haben wir für h=0 so noch mitgeliefert bekommen. Wir können zudem noch eine interessante Folgerung ziehen aus der Tatsache das rechts nur dimensionslose „Parametergruppen“ stehen. Zwei Strömungen verhalten sich gleich, wenn die „Parametergruppen“ der ersten Strömung mit den „Parametergruppen“ der zweiten Strömung im Wert übereinstimmen. Dies ist auch bekannt als Reynolds‘sches Ähnlichkeitsprinzip.