ELEMENTE DE ALGEBRA MATRICEALA IN MATLAB

1. CURS 5 ELEMENTE DE ALGEBRA MATRICEALA IN MATLAB Comenzi de bază Raportul dintre cea mai mare valoare singulară nenulă şi cea mai mică valoare singulară nenulă ale matricei [A]se numeşte numărul de condiţionareîn raport cu inversarea matricei [A]. Dimensiunea unei matrice este (n,m) in care n = numarul de linii, m = numarul de coloane

2. - 0.500 - 0.3929 0.4286 - 0.500 - 0.1786 0.2857 0.500 0.2500 0 2 6 3 • Pseudo-inversamatricei [A]este o matrice [B] de aceeaşi dimensiune ca şi [A]T, care îndeplineşte următoarele condiţii: • A·B·A = A şi B·A·B = B, • A·B şi B·A sunt matrice hermitiene. • O matrice hermitiană este o matrice pătratică cu proprietatea că ea coincide cu transpusa conjugatei sale. APLICATIA 1 2 - 3 1 Se dau matricele: [A] =- 4 6 2si vectorul [B] = [1 3 1] 1 2 3 Să se determine: a)size(A);b)length (B);c)rank(A); d)det(A); e)inv(A);f)cond(A); g)trace(A);h)A’;B’;i)diag(A). In urma lansarii comenzilor de mai sus, marcate cu culoare albastra,programul MATLAB va afisa urmatoarele rezultate: REZULTATE OBTINUTE: a) 3 3 ; b) 3; c) 3; d) -28; e) ; f) 9.0643; g) 11; h) ; 2- 41 - 362 123 1 3 1 i)

3. Puteri de matrice Dacă [A] este o matrice pătratică şi p este un număr întreg pozitiv, atunci A^p multiplică pe A cu ea însăşi de p ori. Dacă [A] este pătratică şi nesingulară, atunci A^(-p) multiplică pe inv(A) cu ea însăşi de p ori. APLICATIA 2 1 1 1 1 2 3 1 3 6 Se da matricea [A] = . Sa se calculeze A2 si A-2. In MATLAB se lanseaza comanda A^2 si rezulta: 3 6 10 6 14 25 10 25 46 Daca se lanseaza comanda A^(-2) rezulta: 19.0000 -26.0000 10.0000 -26.0000 38.0000 -15.0000 10.0000 -15.0000 6.0000

4.    0.3333 0.6667 0.0000       1 4 7 2 5 8 3 6 5 - 23 14 - 3 22 - 16 6 - 3 6 - 3 A* 1 det(A) ; - 1.9167 1.1667 - 0.2500 [A]-1 = 1.8333 -1.3333 0.5000 - 0.2500 0.5000 - 0.2500 REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE SI NELINIARE Se activeaza in MATLAB comanda fsolve pentru aflarea solutiilor reale ale unui sistem de ecuatii liniar sau neliniar. Cu ajutorul comenzii \ se rezolva, prin metoda pivotarii Gauss, sistemele de ecuatii liniare de forma A·X = B. x + 2y + 3z = 1 4x + 5y + 6z = 2 7x + 8y + 5z = 3 APLICATIA 2 Sã se rezolve sistemul de ecuatii: Programul determina mai intai: det (A) = 12 [A]T = ; [A]* = [A]-1 = COMANDA: >>A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 5] ; >> B = [1 2 3]’; >> X = A\B sau X = inv(A)*B REZULTATE OBTINUTE: 0.3333 0.6667 0 {X} = [A]-1·{B} =

5.    APLICATIA 3 Sa se rezolve sistemul de ecuatii: a1 + a2 + a3 = 1 a1 + 1,21a2 + 1,4641a3 = 1,1 a1 + 1,44a2 + 2,0736a3 = 1,2 COMANDA: A = [1 1 1; 1 1.21 1.4641; 1 1.44 2.0736]; B = [1; 1.1; 1.2]; X = linsolve (A,B) REZULTATE OBTINUTE: X = 0.4099 0.6842 - 0.0941

6.   APLICATIA 4 Sa se rezolve sistemul neliniar: sin x + y2 + ln z = 7 3x + 2y – z3 = -1 x + y + z = 5  folosind functiafsolve, cu solutia de start x = 1, y = 1, z = 1. Se creeaza un fisier cu extensia “.m”, spre exemplu, system.m function q = f_name(p) x = p(1) ; y = p(2); z = p(3); q = zeros(3,1); q(1) = sin(x) + y.^2 + log(z) – 7; q(2) = 3*x + 2.^y – z.^3 +1; q(3) = x + y + z – 5; Se da apoi, in pagina principala, urmatoarea COMANDA: >> fsolve (‘system’, [1 1 1])% REZULTATE OBTINUTE: 0.5991 2.3959 2.0050