Lógica Proposicional

1. Lógica Proposicional Aula 5 - Cap. 7 Fundamentos da IA Mestrado – FEI

2. Resoluçao de problemas por busca • Conhecimento sobre resultados e ações permite a solução automática de problemas “complexos” • um agente reativo não conseguiria encontrar a rota entre Arad e Bucareste • Porém até agora este conhecimento é muito específico e inflexível • peça de xadrez pode estar em 2 lugares ao mesmo tempo ??

3. Agente baseado em conhecimento • pode combinar o conhecimento geral com percepções correntes para deduzir aspectos ocultos do estado atual antes de selecionar ações.

4. Agente baseado em conhecimento • pode combinar o conhecimento geral com percepções correntes para deduzir aspectos ocultos do estado atual antes de selecionar ações. • Grande parte das deduções humanas dependem do tratamento de incertezas • segunda parte do curso...

5. Agentes lógicos • Representam o mundo • Utilizam inferência para tirar conclusões sobre o mundo representado

6. Agentes lógicos • Conhecimento é representado como sentenças em uma linguagem de representação de conhecimento; • Um conjunto de sentenças forma a base de conhecimento (BC) do agente.

7. Informar e perguntar • Novas sentenças são adicionadas à base de conhecimento por meio da tarefa TELL; • Consultas à base de conhecimento são feitas pela tarefa ASK; • ambos processos podem envolver inferências • INFERÊNCIA: derivação de novas sentenças a partir de sentenças antigas.

8. Inferência clássica (dedução) • A resposta de uma pergunta (ASK) à base de conhecimento deve seguir o que foi informado anteriormente (TELL); • Nada é inventado à medida em que o processo de inferência se desenrola; • portanto, TELL é um processo não clássico (abdução)! • E aprendizagem também (indução).

9. Desempenho ouro +1000, morte-1000 passo -1 , flecha -10 Ambiente quadrados próximos ao wumpus fedem próximos ao poço: brisa quadrado do ouro: brilho uma flecha somente atirar mata wumpus se em frente Pegar ouro no quad., deixa ouro no quad. Sensores: [fedor, brisa, brilho, impacto, grito] Atuadores: esquerda, direita, pegar, deixar, atirar Mundo de Wumpus

10. Explorando o mundo de wumpus Primeira percepção: [nada, nada, nada, nada, nada] Deduz: [1,2] e [2,1] são seguros...

11. Explorando o mundo de wumpus Segunda percepção: [nada, brisa ,nada ,nada ,nada]

12. Explorando o mundo de wumpus Dedução: poço em [1,3] ou [2,2] quadrado vazio em [2,1]

13. Explorando o mundo de wumpus Nova percepção: [fedor , nada , nada , nada , nada] Nova dedução: wumpus em [3,1]

14. Explorando o mundo de wumpus Nova dedução: wumpus em [3,1] e poço em [1,3] (pois não havia fedor em [1,2], nem brisa em [2,1])

15. Nova dedução: wumpus em [3,1] e poço em [1,3] (pois não havia fedor em [2,2] nem brisa em [2,1]) • Esta é uma inferência difícil pois se baseia em informação obtida em diferentes instantes e lugares, e se baseia na falta de uma percepção... • Está além das habilidades da maioria dos animais, mas factível para um agente lógico

16. Propriedade do raciocínio lógico • As conclusões serão corretas se as informações disponíveis estiverem corretas!

17. Lógica -- sintaxe • ...base de conhecimento consiste de sentenças... • Sentenças são escritas com uma sintaxe; • Sintaxe especifica sentenças bem formadas • ex. em aritmética: X + Y = 4 • x2y+= : não é bem formada

18. Lógica -- semântica • Define o significado das sentenças; • em lógica: significado é a verdade de cada sentença em relação à interpretações possíveis. • Ex. x + y = 4, verdade na interpretação x=2 e y=2, falso na interpretação x=1 e y =1. • Em lógica clássica, as sentenças só podem ser verdadeiras ou falsas

19. Lógica -- semântica • Dizemos que “m é um modelo de ”: se  é verdade na interpretação m

20. Lógica -- semântica • Dada duas sentenças  e , se em todos as interpretações em que  é verdadeira,  também o é dizemos que  é consequência lógica de :  |=  “se  é verdadeira  também deve ser.”

21. Lógica -- semântica: wumpus • Situação após detectar nada em [1,1], mover à direita e brisa em [2,1] • Considerar as interpretações possíveis para poços

22. Lógica -- semântica: wumpus

23. Lógica -- semântica: wumpus • BC = regras do mundo de wumpus + observações

24. Lógica -- semântica: wumpus • BC = regras do mundo de wumpus + observações • 1 = "[1,2] é seguro", BC |= 1

25. Lógica -- semântica: wumpus • BC = regras do mundo de wumpus + observações •  2 = "[2,2] é seguro", BC |=2

26. Lógica -- semântica: wumpus • Em alguns modelos em que BC é verdadeira, 2 é falsa, logo não há como deduzir se há um poço em [2,2] nem se não há...

27. Este algoritmo de inferência é denominado: verificação de modelos pois enumera todos os modelos possíveis para verificar se  é verdadeira em todos os modelos em que BC é verdadeira

28. Derivação lógica • Se um algoritmo de inferência i pode derivar  de BC: BC |-i  • um algoritmo de inferência é “consistente” (correto) se deriva apenas sentenças permitidas (pertencentes ao modelo). • e completo se puder derivar qualquer sentença permitida.

29. Sound and completeness(correção e completeza) BC |= completeness soundness BC |-i 

30. Hipótese básica da IA “logiscista” • Se a BC representa fatos no mundo real, qualquer sentença  derivada de BC por um procedimento de inferência consistente também será verdadeira no mundo real

31. Hipótese básica da IA “logiscista” • ... portanto, embora a inferência opere sobre a sintaxe, o processo corresponde à conclusões verdadeiras no mundo real.

32. Como sabemos que a BC é verdadeira no mundo real?

33. Como sabemos que a BC é verdadeira no mundo real? • Os sensores do agente criam a conexão. • E se houver exceções? • E se a verdade for temporária? • E se houver regras gerais não previstas pelo engenheiro de conhecimento??

34. Lógica proposicional - sintaxe • Sentenças atômicas (elementos sintáticos indivisíveis): • um único símbolo proposicional; • cada símbolo é uma proposição que pode ser verdadeira ou falsa; • nomes em maiúsculas: A, B, W1,3... • Verdadeiro • Falso

35. LP- sintaxe- sentenças atômicas • se S é sentença, S é sentença (negação) • Um literal é uma sentença atômica negada ou não.

36. LP- sintaxe- sentenças complexas • se S1 e S2 são sentenças, tb o são: • S1 S2 (conjunção -- e) • S1 S2 (disjunção -- ou) • S1 S2 (implicação-se, então) • S1 S2 é sentença (bicondicional - se e somente se)

37. LP- sintaxe-- precedência • Utilize parênteses: • ((A  B)  C)) • Ou se apoie na ordem de precedência: • , , , e  •  P  Q  R  S equivale a: (( P)  (Q  R))  S

38. Lógica proposicional: semântica • Um modelo proposicional simplesmente fixa o valor verdade para todo símbolo proposicional de uma BC: E.g. P1,2 P2,2 P3,1 false true false • Verdadeiro é verdadeiro em todo modelo e Falso é falso em todo modelo; • O valor verdade de todos os outros símbolos proposicionais deve ser especificado diretamente no modelo.

39. Lógica proposicional: semântica • Regras para avaliar o valor verdade com respeito a um modelo m: • S é verdade sse S é falso • S1 S2 é verdade sse S1 é verdade eS2 é verdade • S1 S2 é verdade sse S1é verdade ou S2 é verdade • S1 S2 é verdade sse S1 é falso ou S2 é verdade • i.e., é falso sse S1 é verdade e S2 é falso • S1 S2 é verdade sse S1S2 é verdade e S2S1 é verdade

40. Tabela verdade Assim reduz-se a verdade de sentenças complexas à verdade de sentenças mais simples em um processo recursivo. E.g.: P1,2  (P2,2 P3,1) = true (true  false) = true true = true Obs. Cada linha da tabela é uma interpretação possível.

41. Tabela verdade

42. Enumere todas os modelos e verifique se é verdadeira em todo modelo em que BC é verdadeira.

43. Inferência por enumeração de modelos • A busca em profundidade para enumerar todos as interpretações para encontrar modelos é correta e completa. • Para n simbolos, complexidade temporal é O(2n), e espacial é O(n)

44. Equivalência lógica • Duas sentenças são logicamente equivalentes sse verdadeiras nos mesmos modelos:    sse  |=  e  |= :

45. Validade e satisfatibilidade Uma sentença é válida se verdadeira em todos os modelos, e.g., True, A A, A  A, (A  (A  B))  B • Tautologias Validade é ligada à inferência via o Teorema daDedução : KB |=  se e somente se (KB ) é valida Uma sentença é satisfatível se verdadeira em algum modelo e.g., A B, C Uma sentença é insatisfatível se verdadeira em nenhum modelo e.g., AA Satisfatibilidade é ligada à inferência via o seguinte: KB |=  se e somente se (KB  ) é insatisfatível Raciocinando por contraposição

46. Teorema da Dedução Validade é ligada à inferência via o Teorema daDedução : BC |=  se e somente se (BC ) é valida • Podemos imaginar o algoritmo anterior como a verificação da validade de BC  • Reciprocamente, toda sentença de implicação válida descreve uma inferência legítima.

47. Inferência como prova • Regras de inferência: • Modus ponens ,   • Eliminação-de-e ,   • Todas as equivalências anteriores podem ser usadas como regras de inferência.

48. Exemplo: BC mundo de wumpus Seja Pij verdade se existe um poço em [i, j]. Seja Bij verdade se há brisa em [i, j]. R1: P11 R2: B11 R3: B21 • "Poços causam brisas em quadrados adjacentes " R4: B11 (P12 P21) R5: B21 (P11 P22  P31)

49. Exemplo: Wumpus • Seja a base de conhecimento R1 -- R5, vamos provar P12: • Eliminação de bicondicional a R4: R6: (B11(P12  P21))((P12 P21)B11) • Eliminação-e em R6: R7:(B11(P12P21)) e R7`:((P12P21)B11) • Contraposição em R7`: R8: ( B11  (P12  P21)) • Modus ponens comR2 eR8: R9: (P12  P21))

50. Exemplo: Wumpus • Regra de de Morgan em R9: R10:P12P21 i.e. nem [1,2], nem [2,1] possui um poço! [obs. Erro no livro!]