Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“

1. VY_32_INOVACE__04_PVP_186_Kli Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5„EU peníze středním školám“

3. Aritmetický průměr

4. Aritmetický průměr • je nejčastěji užívanou charakteristikou polohy znaku. Úkol: Zjistěte průměrnou výšku žáků ve Vaší třídě. • 1) V lavici si se spolužákem řekněte, jaké údaje k tomu budete potřebovat. • 2) Zjistěte výšku spolužáků a vypočtěte průměrnou výšku. Jak jste ji zjistili? • 3) Formulujte slovně vzorec pro výpočet aritmetického průměru.

5. Výpočet aritmetického průměru Aritmetický průměr hodnot znaku xje součet hodnot znaku zjištěných u všech jednotek souboru dělený počtem všech jednotek souboru. Jsou-li naměřené hodnoty , označíme aritmetický průměr symbolem a vypočteme jej podle vzorce Pokud použijeme pro součet pomocný symbol (suma), můžeme také psát .

6. Příklady: • Student musí během pololetí vypracovat 5 písemných prací, které jsou bodovány v rozsahu 1 až 20 bodů. Již odevzdal 4 úkoly, ze kterých získal 15, 14, 10 a 16 bodů. • Jaký je průměrný počet získaných bodů na 1 test? • Kolik bodů by musel získat z posledního testu, aby byl ohodnocen známkou 1 (průměr 15 bodů a více). Řešení:

7. Aritmetický průměr a tabulka četností Příklad: Deset spolužáků porovnávalo, jak dlouho jim trvala příprava na vyučování (v minutách). Při výpočtu průměrného délky využili vzorec: Protože se některé hodnoty opakují, je vhodné sestavit tabulku četností: Výpočet z této tabulky:

8. Průměrná známka z matematiky ??? Úkol: Zamyslete se nad výpočtem průměrné známky z matematiky, jestliže krátké písemky mají váhu 2, čtvrtletní práce váhu 3 a domácí úkoly váhu 1. Příklad: Žák získal známky dané tabulkou: Kdybychom vypočítali průměr známek bez ohledu na jejich váhy, došli bychom k číslu 2,33. Při správném výpočtu však musíme vzít v úvahu důležitost jednotlivých známek vyjádřených jejich váhou.

9. Vážený průměr • Na předchozím příkladu jsme viděli, že ne vždy vystačíme s prostým aritmetickým průměrem. • Jsou-li hodnoty ohodnoceny váhami , počítáme vážený průměr a to podle vzorce Úkol: Vypočtěte znovu průměrnou známku z předchozího příkladu. Výsledek: 2,5 Úkol: Vypočtěte si nyní Vaši průměrnou známku z matematiky bez ohledu na váhy známek a poté s ohledem na ně.

10. Příklady: • Řidič autobusu jel prvních 60 km průměrnou rychlostí 50 km.h-1 , dalších 80 km průměrnou rychlostí 100 km.h-1 a posledních 40 km průměrnou rychlostí 60 km.h-1 . Jaká byla průměrná rychlost za celou jízdu? (74,4 km.h-1 ) • Podnik pěstuje obilí na 3 lokalitách. Průměrný hektarový výnos na první lokalitě o rozloze 16 ha je 4,58t na hektar, na druhé o rozloze 20 ha je 5,12t na hektar a na třetí o rozloze 12 ha je 4,98t na hektar. Určete průměrný hektarový výnos v podniku. (4,905 t) • V cukrárně nakupují na výrobu cukroví máslo. V měsíci září nakupovali máslo třikrát. Poprvé zakoupili 60 kg po 112 Kč, podruhé 30 kg po 120 Kč a potřetí v akci 80 kg po 88 Kč. Jaká byla průměrná cena másla, za kterou v tomto měsíci cukrárna nakupovala? (přibližně 102 Kč)

11. Poznámky na závěr • Vzorec pro vážený průměr se shoduje se vzorcem pro výpočet aritmetického průměru hodnot znaků uspořádaných do tabulky četností. Roli vah hrají pak četnosti. Definice váženého průměru je však obecnější, četnosti jsou pouze přirozená čísla, kdežto váhy mohou být i čísla desetinná, popřípadě záporná. • Aritmetický průměr ovlivňují velmi malé nebo velmi velké hodnoty, které přidáme k souboru nebo je odebereme. Porovnejte průměry následujících souborů: • Naopak někdy mají naprosto odlišné soubory stejný aritmetický průměr a ten je pak příliš necharakterizuje. Například

12. Použitá literatura: ROBOVÁ, Jarmila, HÁLA, Martin a CALDA, Emil. Komplexní čísla, kombinatorika, pravděpodobnost a statistika: matematika pro střední školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2013. 235 s. Učebnice pro střední školy. ISBN 978-80-7196-425-4. Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.