Matematyka…

1. Matematyka… Królowa Nauk

2. Tales z Miletu • Tales z Miletu - półlegendarny, archaiczny grecki filozof, matematyk, astronom, inżynier, polityk, podróżnik i kupiec, zaliczany do siedmiu mędrców starożytnej Grecji, uznawany za twórcę podstaw nauki i filozofii europejskiej. Odkrył, że magnetyt oraz potarty bursztyn mają własności przyciągania. Zaliczany do filozofów szkoły jońskiej. Jego uczniem był Anaksymander. • Talesowi z Miletu przypisuje się wiele twierdzeń z geometrii: • Średnica dzieli okrąg na połowy. • Dwa kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe. • Jeśli dwie linie przecinają się, to dwa kąty przeciwległe są równe. • Kąt wpisany na półokręgu jest kątem prostym. • Trójkąt jest określony, jeżeli dana jest jego podstawa i kąty przy podstawie • Potrafił też wykorzystać praktycznie swoją wiedzę - według Diogenesa Laertiosa przewidując wysokie zbiory oliwek wziął w dzierżawę wszystkie okoliczne tłocznie oliwy - dało to mu możliwość dyktowania cen za korzystanie z nich w okresie wysokiego zapotrzebowania.

3. Pitagoras • Pitagoras (gr. Πυθαγόρας, Pythagoras, VI wiek p.n.e.) – grecki matematyk, filozof, mistyk. • Ustalenie dokładnej daty urodzin i śmierci Pitagorasa jest zadaniem prawdopodobnie niemożliwym do rozwiązania, różnice w szacunkach sięgają 10 lat – z taką zatem dokładnością można przyjąć rok 580 p.n.e. jako rok jego urodzin i 500 p.n.e. jako rok śmierci. • Wydaje się, że Pitagoras przekazywał swe nauki w postaci maksym, z których część jest dziś dla nas zupełnie niezrozumiała, ze względu na nieznajomość kontekstu kulturowego, a część zachowuje swą aktualność do dziś. Oto kilka przykładów jego maksym: • Każde twierdzenie filozofa daje się zbić z taką samą łatwością, z jaką można go dowieść, nie wykluczając powyższego twierdzenia. • Kto mówi, sieje, kto słucha, zbiera. • Liczba jest istotą wszystkich rzeczy. • Muzyka budzi w sercu pragnienie dobrych czynów. • Tak długo jak człowiek będzie zabijał zwierzęta, ludzie będą zabijali się nawzajem. W istocie, ten kto zabija i zadaje ból, nie zazna radości i miłości. • Najkrótsze wyrazy "tak" i "nie" wymagają najdłuższego zastanowienia. • Nic w nadmiarze. • Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie. • Trzeba milczeć albo mówić rzeczy lepsze od milczenia. • Zły język zdradza złe serce

4. Twierdzenie Pitagorasa • Twierdzenie Pitagorasa st twierdzeniem geometrii euklidesowej, które w naszym (zachodnio-europejskim) kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni Egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii. • Teza • W dowolnym trójkącie prostokątnym, suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równa jest polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta.

5. Funkcje elementarne • Funkcje elementarne – funkcje, które z powodu swojej budowy wydają się "proste". Kategoria ta ma charakter porządkowy, a nie twórczy. Aby to uściślić, zauważmy, że dla funkcji liczbowych można określić w intuicyjny sposób cztery działania arytmetyczne, przy oczywistych zastrzeżeniach w przypadku dzielenia: jeśli f i g to dwie funkcje a * to działanie arytmetyczne na liczbach, definiujemy dla każdego argumentu x wartość funkcji f*g w nim jako [f(x)] * [g(x)]. Oprócz operacji arytmetycznych na funkcjach użyjemy też składanie funcji (gof)(x)=g(f(x)). Te operacje będziemy stosować do funcji stałych f(x)=c, identyczności i(x)=x, sinusa sin(x) i funkcji wykładniczej exp(x). Jakąkolwiek funkcję otrzymaną dzięki (być może wielokrotnemu) używaniu podanych tu konstrukcji zastosowanych do opisanych tu początkowych funkcji nazwiemy "funkcją elementarną".

6. Nie ma pełnej jednomyślności w przyjęciu tej nazwy. Niektórzy dopuszczają też operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niektórzy odrzucają funkcję wykładniczą ze składu początkowych cegiełek. • Nie ma jednak wątpliwości, że za funkcje elementarne można uważać: • wielomiany • funkcje wymierne • funkcje trygonometryczne • funkcje potęgowe • funkcje logarytmiczne • Wszystkie powstają z naszych funkcji "podstawowych" w opisany wyżej sposób (z użyciem operacji brania funkcji odwrotnej).

7. Figury Podobne • Figury podobne - dwie figury nazywamy podobnymi, gdy istnieje podobieństwo przekształcające jedną figurę na drugą. Figury podobne to również takie figury, które mają taki sam kształt, ale różnią się wielkością. Stosunek długości odcinków A1 i B1 jest równy stosunkowi odcinków A i B.

8. Wyrażenia algebraiczne • Przykładami wyrażeń algebraicznych są: • - liczba 3 • - suma a i b a + b • - różnica a i b a - b • - iloczyn a i b ab • - iloraz a przez b a : b • Litery wystepujące w wyrażeniach algebraicznych nazywamy zmiennymi i możemy je zastępować liczbami. Jednak nie zawsze możliwe jest podstawienie każdej liczby. Na przykład w wyrażeniu a : b nie możemy zamiast litery b podstawić 0, bo nie wolno dzielić przez zero. • Do wyrażeń algebraicznych możemy stosować działania, otrzymując następne bardziej skomplikowane wyrażenia. Jednak wtedy wyrażenia, na których wykonywujemy nowe działanie, bierzemy w nawias. Na przykład iloczyn sumy a i b przez różnicę x i y jest wyrażeniem • (a + b)(x - y), • a różnica tych wyrażeń jest wyrażeniem • a + b - (x - y). • W drugim przypadku wyrażenia a + b nie wzięliśmy w nawiasy, ponieważ nie zmieni to kolejności wykonywania działań. • Czasem mamy do czynienia z dwoma wyrażeniami połączonymi znakiem równości. Na przykład 2x + 3 = 7 lub a + b = b + a. Mówimy wtedy, że mamy do czynienia z równością wyrażeń algebraicznych albo po prostu z równością. • Równość algebraiczna nie musi być prawdziwa dla wszystkich wartości liczbowych zmiennych. Równość 3x + 4 = 10 jest prawdziwa tylko dla x = 2. Równość zapisaną w celu znalezienia tych wartości zmiennych, dla których jest ona prawdziwa, nazywamy równaniem, a poszukiwane wartości zmiennych rozwiązaniami tego równania. • Za pomocą równości algebraicznych zapisywaliśmy wcześniej różne prawa działań na liczbach. W takich wypadkach często się zdarza, że równość jest prawdziwa dla wartości liczb zmiennych. Na przykład równość a + b = b + a jest prawdziwa dla wszystkich wartości liczbowych zmiennych a i b i wyraża prawo przemienności dodawania.

9. Jednomiany • Iloczyn kilku czynników , z których każdy jest albo liczbą albo literą, nazywamy jednomianem. Przykładami jednomianów są : 5; 2,4 ; c2b. W szczególności liczba jest także jednomianem. Jednomiany na ogół przedstawia się w postaci jak najprostszej. Czynnosć tą nazywamy porządkowaniem jednomianu. W tym celu: • 1. Jeśli w jednomianie występuje kilka liczb, to zastępujemy je ich iloczynem i zapisujemy na pierwszym miejscu. Iloczyn ten nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu lub krótko współczynnikiem jednomianu. Zatem • 2a * 3b = 6ab , x * 4 = 4x ; (-2)x(-4)y = 8xy • Współczynnikami tych jednomianów są odpowiednio liczby 6, 4 oraz 8 • 2.Jeśli współczynnik jednomianu jest liczbą ujemną, to nie musimy ujmować go w nawiasy. Na przykład (-9)ac = -9ac. Zamiast współczynnika (-1) piszemy na początku jednomianu znak - . Na przykład, (-1)xyz = -xyz. Jeżeli w jednomianie nie występuje żadna liczba, to jego współczynnikiem jest 1. Na przykład a = 1a ; xy = 1xy. • 3. Jeśli w jednomianie występuje kilka czynników ze znakiem - , to korzystając z równości -x=(-1)x możemy jednomian przekształcić w taki sposób, aby żaden z czynników poza współczynnikiem jednomianu nie występował z tym znakiem . Wyjątkiem jest tutaj, omówiony w poprzednim punkcie, przypadek współczynnika -1. Na przykład a(-b)c(-d) = a(-1)bc(-1)d = 1abcd = abcd • 4.Iloczyn dwóch jednakowych czynników na przykład x * x, oznaczamy symbolem x2 oraz nazywamy drugą potęgą lub kwadratem x. Iloczyn x * x * x oznaczamy symbolem x3 i nazywamy trzecią potęgą lub sześcianem x. Podobnie iloczyn x * x * x* x oznaczamy symbolem x4 i nazywamy czwartą potęgą x itd. Korzystając z tego oznaczenia, możemy uprościć zapis jednomianu. Na przykład 6aaabb = 6a3b2 • Wyrażenie x nazywamy pierwszą potęgą i oznaczamy je wtedy x1 . Jednomian będący iloczynem litery przez liczbę, nazywamy jednomianem stopnia pierwszego. • 5.Zauważmy w końcu, że jeśli którykolwiek czynnik jednomianu jest zerem , to jednomian jest zerem ( jest równy liczbie zero ). Na przykład -0,2x * 0 * y =0 • Wartość liczbową jednomianu dla danych wartości liczbowych wszystkich liter jednomianu obliczam, podstawiając w miejsce liter te wartości. Na przykład jednomian 2xy ma dla x= -0,05 oraz y = -10 wartość 2xy = 2 * (-0,05) * (-10) = 1

10. Suma algebraiczna • Wyrażenia algebraiczne nazywamy sumami algebraicznymi, jeżeli są sumami lub różnicami jednomianów. Na przykład : • 2a + 3b +4c • jest sumą algebraiczną. Składniki sumy algebraicznej można przestawiać, ale łącznie ze znakami. Na przykład : • a- 2b +3c - 4d = a + 3c - 2b - 4d = 3c - 2b + a - 4d • Ponieważ odejmowanie jest tym samym co dodawanie liczby przciwnej a-b = a+ (-b) , więc sumę algebraiczną można zdefiniować następująco : • SUMĄ ALGEBRAICZNĄ NAZYWAMY SUMĘ JEDNOMIANÓW!!! • Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych • Aby dodać do danego wyrażenia sumę algebraiczną, dopisujemy do niego po kolei wszystkie wyrazy tej sumy. • Na przykład a + (b+c) = a+ b + c • Aby odjąć od pewnego wyrażenia sumę algebraiczną , dopisujemy do tego wyrażenia po kolei wszystkie wyrazy sumy ze zmienionymi znakami. • Na przykład a - (b-c - d +e) = a - b +c + d -e • Jeżeli przed nawiasem występuje znak + to opuszczamy nawias bez zmiany znaków wewnątrz nawiasu. • Na przykład a + b + (c- d) = a+ b +c -d • Jeżeli przed nawiasem zaś stoi znak - to opuszczając nawias zmieniamy znaki każdego wyrazu wewnątrz nawiasów. • Na przykład: a+ b - (c+ d - e) = a + b - c - d + e

11. Mnożenie sum algebraicznych przez liczbę • Według prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania (a + b) c = ac =bc zamiast mnożyć sumę (wynik dodawania) dwóch liczb przez trzecią liczbę, można każdy składnik sumy oddzielnie pomnożyć przez tę liczbę i otrzymane iloczyny dodać. • Na podstawie tej równości można przekształcić w podobny sposób iloczyn sumy algebraicznej przez liczbę. Na przykład w iloczynie (a + b - c) d można czynnik a + b - c potraktować jako sumę dwóch liczb (a +b ) i (-c) i zastosować prawo rozdzielności : • (a + b - c)d = [(a+b) + (-c)]d = (a+b) d + (-c)d = ad + bd - cd • Iloczyn sumy algebraicznej przez liczbę równa się sumie iloczynów wszystkich wyrazów sumy przez tą liczbę. • DZIELENIE SUMY ALGEBRAICZNEJ PRZEZ LICZBĘ • Aby podzielić sumę algebraiczną przez liczbę możemy • 1. pomnożyć tę sumę przez odwrotność liczby na przykład • (a +b) :2 = (a+ b ) * 1/2 = 1/2 (a+b) • 2. pomnożyć każdy składnik przez odwrotność tej liczby na przykład : • (a+b) :2 = 1/2 a + 1/2 b • 3.podzielić każdy składnik tej sumy przez tę liczbę na przykład : • (a+b) :2 = a:2 + b:2 • 4.dzielenie zapisywać za pomocą kreski ułamkowej

12. Mnożnie sum algebraicznych • Gdy dana jest pewna równość tożsamościowa np: ab =ba i podstawimy w niej zamiast b jakieś inne wyrażenie np. c - d, otrzymamy równość • a(c-d) = (c-d)a, która jest także tożsamością . Gdy bowiem nadamy w niej literom a,c ,d jakiekolwiek wartości liczbowe np. a=5, c=7 , d=3, otrzymamy tę samą równość prawdziwa, co przy podstawieniu a=5, b=7-3 do równości poprzedniej. • Napiszmy tożsamość • (a-b+c) m =am - bm +cm • i podstawmy w niej zamiast m wyrażenie d - e ; otrzymamy tożsamość • (a-b+c) (d - e ) = a(d - e) - b( d - e) + c (d - e) . • Podobną równość możemy napisać dla jakichkolwiek dwóch sum algebraicznych. Zatem : Iloczyn dwóch sum algebraicznych równa się sumie iloczynów jednej z danych sum przez poszczególne wyrazy drugiej z nich. Prawą stronę ostatniej równości możemy dalej przekształcić : • a(d-e ) - b(d- e) + c (d- e) = ad - ae - bd + be +cd -ce. • Z tej i z poprzedniej równości wynika, że : • (a - b +c)( d- e) = ad- ae - bd + be +cd - ce • ABY POMNOŻYĆ DWIE SUMY ALGEBRAICZNE, MNOŻYMY KAŻDY WYRAZ JEDNEJ SUMY PRZEZ KAŻDY WYRAZ DRUGIEJ I DODAJEMY OTRZYMANE ILOCZYNY!!!

13. Zagadki matematyczne • Masz otrzymać czas 15 minut przy użyciu 2 lontów. Możesz z nimi robić co chcesz przecinać, podpalać i gasić. • Wiadomo że każdy z lontów pali się dokładnie godzinę, ale nieproporcjonalnie do czasu- to znaczy, że pół lontu może się spalić w 10 min, a drugie pół w 50 min. Jak to zrobić? • Troje ludzi zostało skazanych na śmierć... tuż przed egzekucją szeryf wziął ich jednak do siebie i posadził na trzech krzesłach jedno za drugim. Pierwsza osoba nie widziała więc nikogo, druga osoba widziała tę osobę która siedziała przed nią a trzecia osoba widziała dwie pozostałe. Szeryf przyniósł też ze sobą pięć kapeluszy - trzy czarne i dwa białe. Nałożył skazańcom opaski na oczy, następnie losowo nałożył każdemu po jednym kapeluszu... W końcu tuż przed ściągnięciem opasek z oczu powiedział iż jeżeli którakolwiek z osób będzie w stanie powiedzieć jakiego koloru kapelusz ma na głowie - daruje całej trójce życie... Na prawidłową odpowiedź dał jedną minutę... po czym zdjął wszystkim osobom opaski... Nastało milczenie... (przerywane jedynie denerwującym dźwiękiem bzyczących much, które oddały się ulubionej zabawie w ganianego)... w końcu po 59 sekundach osoba siedząca z samego przodu krzyknęła nerwowo prawidłową odpowiedź... W jaki sposób mogła jej być pewna? i oczywiście jaka to była odpowiedź... • Oto równanie: • 0 + 0 + 0 = 3 • problem polega na tym, że mając do dyspozycji wszystkie działania matematyczne, trzeba sprawić by było ono prawdziwe.

14. Pewien człowiek mieszka na ostatnim piętrze bardzo wysokiego budynku. Każdego dnia idąc do pracy jedzie windą aż na parter, jednak wracając z pracy wyjeżdża windą tylko do połowy wysokości, a dalej idzie po schodach. Chyba, że pada deszcz - wtedy wyjeżdża windą na samą górę! Dlaczego? • Spotykają się na ulicy Kowalski z Malinowskim • K: Witam serdecznie kolegę! Dawno się nie widzieliśmy! Dużo się u mnie w międzyczasie zmieniło. Mam trzech synów. W sumie mają (tutaj podał liczbę) lat. Najmłodszy ma na imię Jaś. Ile każdy z nich ma lat? • M: Nie mam zielonego pojęcia. Mam za mało danych! • K: To podpowiem Ci, że najstarszy jest blondynem • M: Aaah, teraz to już wiem! • Ile każdy z nich ma lat? • Do pubu wszedł mężczyzna, usiadł przy barze i zaczął gawędzić z barmanem. Po pewnym czasie z rozmowy wynikło, że barman ma trzech synów. • -"Ile lat mają twoi synowie?" - zapytał mężczyzna. • -"Hmmm..." - powiedział barman - "jeśli pomnożysz przez siebie liczby ich lat otrzymasz 72.". • Mężczyzna zamyślił się, po czym rzekł: • -"Musisz powiedzieć mi trochę więcej". • -"Rzeczywiście" - odpowiedział barman - "jeśli wyjdziesz na zewnątrz i sprawdzisz numer budynku naprzeciw, to zobaczysz sumę ich lat". • Mężczyzna wyszedł, po chwili wrócił i powiedział: • -"Ciągle za mało wiem!". • Na to barman uśmiechnął się i dodał: • -"Powiem ci jeszcze, że najmłodszy wprost uwielbia lody truskawkowe". • Wtedy mężczyzna uśmiechnął się również. Ile lat mieli synowie?

15. Jest przepaść a nad przepaścią most. Jest noc i czworo śmiałków. Most jest tak wąski, że jednocześnie mogą iść dwie osoby. Wędrowcy dysponują jedną pochodnią, więc jedna osoba zawsze musi wrócić. Pierwsza osoba przechodzi most w ciągu minuty, druga w ciągu dwóch, trzecia w ciągu pięciu a czwarta w ciągu dziesięciu minut. Pokonać most w jak najkrótszym czasie. • Załóżmy, że Nowy York ma więcej mieszkańców, niż ma włosów na głowie jego dowolny mieszkaniec oraz, że żaden mieszkaniec Nowego Yorku nie jest zupełnie łysy. Czy wynika stąd koniecznie, że co najmniej dwaj mieszkańcy Nowego Yorku muszą mieć dokładnie tę samą liczbę włosów? • Na brzegu rzeki znajduje się 3 kanibali i 3 białych. Dysponują oni jedną dwuosobową łódką, przy czym kierować łódką potrafi dowolny biały oraz tylko jeden z kanibali. Należy przeprowadzić całą ekipę na drugi brzeg, przy założeniu, że jeśli po jednej stronie znajduje się więcej kanibali niż białych, to kanibale ich zjadają.