Problemas y dificultades en el aprendizaje de las matemáticas: una perspectiva cognitiva

1. Problemas y dificultades en elaprendizaje de las matemáticas: una perspectiva cognitiva • Marchesi, Alvaro; Coll, César; Palacios Jesús: Desarrollo psicológico y educación. T. III, Necesidades educativas especiales y aprendizaje escolar, Cap. 9, Alianza, Madrid, 1991, pp. 155 – 182

2. 1. Satisfacciones e insatisfacciones de la experiencia matemática. • Las matemáticas constituyen actualmente el<filtro selectivo> básico de todos los sistemas educativos. • La experiencia de las matemáticasescolares no es fuente de satisfacciones, sino de frustraciones y sentimientosautodepreciativos.

3. 2.- Niveles de rendimiento y actitudes hacia las matemáticas • Las experiencias que tienen muchos profesores de matemáticas de enseñanza primaria y secundaria: son -demasiados los estudiantes que encuentran grandes dificultades para alcanzar los objetivos educativos establecidos en los currícula

4. Cockroit(1985). • Entrevistaba a sujetos adultos para conocer sus necesidadesmatemáticas y las estrategias que empleaban para enfrentarse a ellas, se encontró quela mitad de las personas de la muestra se negaba a participar. • En esa investigación secomprobó que muchos adultos no poseían la competencia numérica funcional queantes definíamos como básica. • Las matemática, podía provocar sentimientosde ansiedad, impotencia, miedo e incluso culpabilidad en algunos de entrevistados.

5. Alteraciones neurológicas y dificultades matemáticas: • Concibiendo la dificultad específica de aprendizajecomo una <entidad> como algo que el niño <tiene>(en el mismo sentido en que sepuede decir que tiene una infección o una enfermedad) y que probablemente estécausado por alguna alteración neurológica, que suele etiquetarse como una –disfuncióncerebral mínima-. • En el campo específico de las matemáticas, se han propuesto diversas causas neurológicas para explicar las dificultades severas de aprendizaje que presentan algunas personas

6. Cohn (1961,1971) formuló la hipótesis de que las DAM formarían parte de una disfunción lingüística más general, producida por una falta de coordinación de diversos sistemas neurológicos complejos. • Slade y Russel (1971) y Money (1973) sugieren que la discalculia se relaciona con dificultades en funciones viso-espaciales dependientes de los lóbulos apriétales

7. Kose (1974), que llevó a cabo un estudio con un grupo de 68 niños con DAM. encontró que el 35% de ellos mostraban signos menores de transtorno neurológico(dificultades de orientación izquierda-derecha, agnosia digital, etc.) y sugirió que lo que él llamaba "discalculia evolutiva" se debería a una alteración genética o congénita de las zonas cerebrales que constituyen el substrato anatómico –fisiológico de la maduración de las capacidades matemáticas. • Weinstein (1978) los problemas en el aprendizaje de las matemáticas pueden relacionarse con ciertos desfases en el desarrollo de funciones dependientes del hemisferio cerebral izquierdo

8. No hay suficientes pruebas que demuestran que las dificultades matemáticas se deban necesariamente a una disfunción cerebral mínima • Las dificultades específicas de aprendizaje, la relación y los signos menores de trastornos neurológicos está sin demostrar. • Sin negarque pueda existir un grupo reducido de ellos con algún trastorno neurológicosubyacente, no hay pruebas para aceptar la idea de que éste se produce en todos losniños con dificultades específicas para el aprendizaje de las matemáticas.

9. 5. El enfoque cognitivo de las DAM • DAM pueden presentar dos tipos diferentes de perfiles cognitivos. • Niños que presentan dificultades para el aprendizaje de las matemáticas en un contexto más general caracterizado por problemas de lectura • Niños con DAM, cuyas habilidades delectura son normales, pero también sus bajos rendimientos en pruebas dearitmética suelen acompañarse de: 1. problemas de memoria a corto plazo, 2.dificultades de coordinación óculo-manual:, 3. lentitud en los trabajos escritos y, 4.puntuaciones bajas en el subtest de códigos de la prueba deWeschler.

10. Siconocemos, por ejemplo, los procesos mentales que se emplean para efectuar unaoperación de suma, o las estructuras intelectuales que debe poseer el alumno pararealizarla, podremos comprender mejor sus fallos y errores al sumar • Quizá haya niños con DAM que manejan mal susrecursos de atención. Esos recursos son necesarios para realizar procesos tales comorecuperar información de la memoria a largo plazo, o bien mantenerla guardada en lamemoria a corto plazo (como cuando hay que conservar el quince, en una especie de-almacén-después de sumar ocho y siete).

11. ¿No habrá niños que tengan dificultades enmatemáticas porque no realizan adecuadamente esas estrategias de almacenamiento orecuperación? •  de términos queforman parte del lenguaje habitual de la Psicología Cognitiva: • atención • Selectiva • memoria de trabajo • memoria a largo plazo, • distribución de recursos cognitivos (atención), • conocimientos previos

12. Diferencias entre el enfoque neuropsicológicoy el cognitivo: • 1.- El enfoque cognitivo no etiqueta al niño, sino más bien categoriza los procesosque realiza y los errores que comete que trata de comprender y explicar lo que hace: • los procesos y estrategias que emplea cuando asimila conceptos matemáticos. • 2.- El enfoque cognitivo es neutral con relación a la "etiología-última" de las DAM.

13. El enfoque cognitivo puede ayudar aprecisar la naturaleza fina de las funciones mentales que no van bien en los niños conDAM. favoreciendo así la búsqueda de las causas, pero no las establece por sí mismoson un terreno especialmente fértil para esta aproximación -puntillosa- a losmecanismos mentales, debido a varios factores: • 1.- tratan con materiales formales quese prestan más que otros a poner de relieve la forma y la organización de los procesosmentales. • 2.- facilitan la prestación de problemas con soluciones definidas ygeneralmente exactas ( a diferencia de lo que sucedo con los problemas mucho másdifusos que son característicos de otras áreas, como las ciencias sociales por ejemplo);

14. 3.- tienen una estructura jerárquica más clara que la de otros campos deconocimiento; • 4.- se organizan en algoritmos que acentúan la visibilidad de los –algoritmosde la mente-; • 5.- los errores en matemáticas son más netos y fáciles dedetectar que los de otros campos de conocimiento (esto es importante porque loserrores son como "ventanas" para conocer efuncionamiento mental);

15. 6.- paraalgunos psicólogos (como Piaget) las matemáticas definen una especie de –axiomáticadel pensamiento-- y son un producto de una abstracción reflexionante (Piaget, 1977)realizada a partir de las propias operaciones intelectuales (y no de los hechos), por loque las actividades matemáticas serían especialmente adecuadas para estudiar lasestructuras de operaciones que dañen la inteligencia.

16. la conversación sirve • 1.- como muestra de la insaciable curiosidad mentalistadel psicólogo cognitivo (que puede ser enormemente valiosa también para el profesorde matemáticas); • 2.- como base para formalizar el algoritmo de suma sugerido,empleando por ejemplo un --diagrama de flujo--como los que usan los que se dedicana la programación para ordenadores

17. hasta qué punto se basa el enfoquecognitivo en una serie desupuestos sobre la naturaleza de lamente: • presupone, por ejemplo, la existencia de un --procesador central--que coordina los procesos que sevan llevando a cabo. • También una memoria de trabajo, que está a disposición de esaunidad central de procesamiento, así como una memoria más permanente quealmacena cosas tales como listas de resultados de sumas (pre-aprendidas), esquemas yestrategias para sumar, restar, contar, etc. (qué complicada debe ser la organización deesa memoria).

18. Además el sistema va realizando ordenadamente (con arreglo a una --estrategia--definida) ciertos procesos. • En realidad es una especie de --máquina--(nomaterial) que suma. •  los alumnos no son máquinas y no conviene extremar la --metáfora del ordenador--cuando estudiamos su conducta o su experienciamatemática. • Por ejemplo, muchos de sus problemas se relacionan con factores demotivación o condiciones emocionales, que no son fáciles de encajar en laperspectivacognitiva a la que nos estamos refiriendo.

19. Afortunadamente, no son meros--aplicadores de algoritmos--sino seres capaces de emplear heurísticos inteligentes: • inventar atajos, --intuir– soluciones. • crear sus propios programas de resolución deproblemas, quizá menos rigurosos y formales que los de los ordenadores, perotambién más flexibles

20. el enfoque cognitivo, cuando no cae en elpeligro de extremar lametáfora del ordenador,tiene ventajas importantes: • 1. se basa en un análisis sutil delfuncionamiento mental de la persona que --hace matemáticas— • 2. establece unarelación profunda entre los errores y los procesos normales de aprendizaje yadquisición del conocimiento • 3.- se aplica a todos los alumnos (a diferencia delconcepto de discalculia o disfunción cerebral) • 4.- a los que concibe como sistemasactivos (y no receptores pasivos) de desarrollo del conocimiento

21. frecuentemente los errores no son ilógicos, sino que responden a la aplicación de ciertas reglas que,aunque no sean --correctas-- implican en sí mismas la posesión de una determinada competencialógico-matemática. • Dejando aparte errores sistemáticos (por fallos de atención,confusiones perceptivas, etc.) el examen de muchos procesos cognitivos subyacentesa errores demuestra que, muchas veces, los errores son sistemas o puntas de icebergde un determinado sistema: responden también a la aplicación dealgoritmos que producenerrores

22. 6. Los errores en el pensamiento matemático. • principio básico en el enfoque cognitivo: el • alumno no es un receptor pasivo, sino que se considera, en esta perspectiva, como un constructor activodel conocimiento(de modo que incluso los errores pueden considerarse en gran partecomo productos de una construcción activa, y frecuentemente de un intento debuscar significado y orden en las tareas). • Muchos errores son resultados deprocedimientos o algoritmos incorrectos que los niños inventan.

23. La cuestión es cómo llegan aesa invención y que significado y coherencia tiene ésta en función de las estructuras deconocimiento y los recursos cognitivos que los niños poseen.

24. En la resta, por ejemplo, se han identificado pautas sistemáticas de error como las que se. • 1. Menor de mayor: substraer el dígito menor del mayor en cada columna con independencia de que estén en minuendo o substraendo (253 - 118= 145). • 2. Pedir al cero: si hay que "llevarse" de una columna cuyo número superior es 0, se realiza correctamente la substracción en esa columna, pero no se añade uno al substraendo de la de su izquierda (103-45=158). • 3. Cero menos un número: igual a ese número: si el dígito superior de una columna es 0, el alumno responde con el inferior (140-21=121).

25. 4. Saltar sobre cero y pedir prestado: si hay que llevarse hasta una columna cuyo dígito superior es 0, el alumno -se salta--es columna, de modo que no añade 1 a su substraendo y "conserva el 1"- para la columna siguiente (304 - 75 = 139). • 5. Cero menos un número igual al número: si el dígito superior es 0, se responde con el inferior, que no se modifica aunque haya que --llevarse-- de la columna anterior, en cuyo caso se añade 1 al substraendo de la siguiente (304 - 75=179).

26. Las explicaciones de estos errores, desde una perspectiva cognitiva, se han centrado en dos factores. • 1. los requisitos de la resta podrían ser excesivos en cuanto a la carga de memoria de trabajo que exigen. • Muchas estrategias inductoras de errores serían intentos de emplear algoritmos gravososse debería, en muchos casos a una comprensión deficiente de principios básicos que definen la operación de restarno comprende realmente lo que es restar. • Su problema sería en un sentido profundo, un problema de conocimiento

27. 7.Conceptos informales, conocimientos previos y errores matemáticos. • Principio fundamental del enfoque cognitivo del aprendizaje matemático: éste no consiste en un proceso de incorporación de datos, reglas, etc. a una mente en blanco, sino que implica un diálogo(implícito o explícito) entre los conocimientos previos del alumno y los nuevos, que trata de enseñarle el profesor. • Si aceptamos la idea de que el aprendizaje matemático implica un diálogo entre los conocimientos previos y los nuevos, así como la importancia de los conceptos y número de casos, las DAM podrían relacionarse con desarrollos pobres e inadecuadosde los conocimientos y conceptos matemáticos informales.

28. Las raíces de las aptitudes matemáticas llegan hasta la época preescolar y el éxito de la enseñanza escolar se funda en este conocimiento aprendido de manera informal • Russell y Ginsburg (1984).- Los niños con dificultades específicas para el aprendizaje de las matemáticas son fundamentalmente normales, “la única excepción de la normalidad cognitiva esencial –dicen- parece referirse al pobre conocimiento de hechos numéricos. • Dificultad que quizá pueda comprenderse mejor investigando la memoria de los niños con DAM.

29. 8. El papel de la memoria y la atención en las destrezas y dificultades matemáticas. • La pobreza de su “conocimiento de hechos numéricos”, descrita por Rusell y Ginsburg (1984), ocurre al dificultarse la trasferencia de materiales numéricos desde la memoria de trabajo a la memoria a largo plazo. • El estudio de Siegel y Ryan (1989) supone un avance en la definición de las posibles funciones deficitarias en personas con DAM y sin problemas en otros aprendizajes. • Pero éstas forman sólo una pequeña parte de las personas con dificultades matemáticas.

30. “sistema cognitivo” que definíamos al comentar el diagrama de flujo capaz de sumar. • Decíamos, en otro momento, que ese sistema se componía, cuando menos, de un procesador central y dos memorias: una, más permanente, que almacenaba reglas, listas de hechos, etc. Y otra de corta duración, que servía de “memoria de trabajo” para el procesador central. • esta memoria de trabajo: el funcionamiento de tal memoria depende del tipo de materiales (por ejemplo, palabras, números, etc.) que debe almacenar temporalmente mientras el procesador hace otras tareas

31. Desde esta perspectiva es perfectamente posible que algunas personas sin problemas para conservar en su memoria materiales verbales, visuales, etc... si los tengan para mantener materiales numéricos numéricos • ¿No podrían explicarse así las dificultades matemáticas de algunos niños sin otros problemas? • Es atractiva la hipótesis de que estos niños podrían tener especiales dificultades para conservar información numérica en su memoria de trabajo.

32. Para someter a prueba esta hipótesis. Siegel y Ryan compararon a niños sin dificultades con tres grupos de niños con problemas de aprendizaje: • 1. niños con problemas de lectura. • 2. con un trastorno general de la atención y • 3. con DAM específicas y no acompañadas de alteraciones de atención ó lectura (los dos primeros grupos también tenían dificultades para el aprendizaje de las matemáticas, pero no específicas como las del tercero). A todos ellos les planteaban dos tareas de memoria:

33. a)una, de carácter verbal, que consistía en encontrar las palabras que faltaban en varias frases (por ejemplo, “en verano hace mucho....” “la gente va a ver animales al...”) y luego recordar, en el mismo orden, las palabras dadas previamente como respuestas (“calor, zoo, etc”) • b) otra, de carácter numérico, consistente en contar los puntos amarillos distribuidos al azar en unas tarjetas que contenían puntos azules y amarillos, recordando después ordenadamente el número de puntos amarillos de cada tarjeta.

34. Los resultados eran muy interesantes: mientras que los niños con alteraciones de lectura obtenían puntuaciones bajas en las dos tareas, los niños con dificultad específica para las matemáticas obtenían puntuaciones normales en la tarea de recuerdo verbal y bajas en la de recuerdo numérico. • Estos datos son favorables a la hipótesis de que los problemas de estos niños están relacionados con una dificultad específica para mantener información numérica en la memoria de trabajo.

35. relación entre los problemas de lecto-escritura y las DAM, Siegel y Heqven, 1986- • “es casi imposible encontrar niños, excepto de las edades inferiores... que tengan dificultades de lectura y obtengan buenas puntuaciones en pruebas escritas de aritmética”. • problemas de atención selectiva se reflejan en dificultades de aprendizaje matemático Siegel y Heaven, 1986).  

36. Ello se debe al hecho de que la realización de tareas matemáticas exige una distribución cuidadosa de los recursos de procesamiento mental y memoria, así como el empleo de estrategias ordenadas y jerarquizadas, que implican un encaje progresivo de unos procedimientos en otros • por ejemplo, en el procedimiento para sumar se incrustan otros procedimientos, como los de “contar”, “recodificar en la memoria de trabajo”, etc

37. 9. ¿Por qué son tan fáciles las matemáticas para tantos niños?: la lógica cognitiva de la pregunta vuelta del revés. • Cockcroft (1985): -Las matemáticas son una asignatura difícil de enseñar y de Aprender, debido a las "demandas" cognitivas que estas tienen.

38. Los <diez mandamientos cognitivos> de la escuela (adaptado de Riviere,1983) • I. Desvincularás gran parte de tu pensamiento de los propósitos e intencioneshumanas. • II Tendrás que descontextualizar progresivamente muchos de sus conceptos,haciéndolos cada vez más abstractos. • III Deberás asimilar realmente los contenidos generalizando los esquemas yestrategias no solo a tareas enseñadas sino a otras nuevas. • IV Dominarás rápidamente nuevos modos y códigos de representación.

39. V Dedicarás selectivamente tu atención a las tareas escolares • VI Tratarás de controlar la selección y empleo de tus recursos intelectuales y dememoria. • VII Emplearás al máximo tus recuerdos de competencia lógica y memoria de trabajo,cuando lo exijan la tarea y el profesor. • VIII Deberás desarrollar y emplear estrategias y procedimientos especializados(algoritmos) para el tratamiento de la información. • IX Deberás tener una actitud intencional de aprenderX Y, para colmo, deberás parecer un niño interesado y competente.

40. Centro Universitario de Ciencias de la Salud Departamento de Psicología Aplicada Aprendizaje, Desarrollo y Educación, PA121 • Coordinador: • Baudelio Lara García • Integrantes: • Martínez Endía Perla Primavera • Ceballos Peña Daniel Aurelio