TRASLADO, INVERSIÓN Y DILATACIÓN

1. TRASLADO, INVERSIÓN Y DILATACIÓN Bloque III * Tema 107 Matemáticas Acceso a CFGS

2. TRASLACIÓN • En general cualquier función y=f(x) puede considerarse como traslación de las funciones elementales siguientes: • Función polinómica: y = xn • Función exponencial: y = ex , y = ax , y = a -x • Función logarítmica: y = log a x, y = log x, y = ln x • Funciones trigonométricas: y = sen x, y = cos x, y = tag x • Regla general: • Si f(x)  f(x – a) • y=f(x – a) es idéntica a y=f(x), pero trasladada a unidades a la derecha. • Si a es un valor negativo, el traslado es hacia la izquierda. • Si f(x)  f(x)+b • y=f(x)+b es idéntica a y=f(x), pero trasladada b unidades hacia arriba. • Si b es un valor negativo, el traslado es hacia abajo. Matemáticas Acceso a CFGS

3. y = x • Sea y = x • La función y = x + 2 será idéntica a y = x, aunque trasladada 2 unidades arriba. • La función y = x - 2 será idéntica a y = x, aunque trasladada 2 unidades abajo. y y = x 2 x -2 Matemáticas Acceso a CFGS

4. y = x2 y y = x2 • Sea y = x2 • La función y = x2 - 3 será idéntica a y = x2, aunque trasladada 3 unidades abajo. • La función y = (x – 2)2 será idéntica a y = x2, aunque trasladada 2 unidades a la derecha. x 0 2 -3 Matemáticas Acceso a CFGS

5. y = x3 y = x3 + 2 y = x3 y • Sea y = x3 • La función y = x3 + 2 será idéntica a y = x3, aunque trasladada 2 unidades arriba. • La función y = (x + 2)3 será idéntica a y = x3, aunque trasladada 2 unidades a la izquierda. 2 y = (x + 2)3 x 0 -2 Matemáticas Acceso a CFGS

6. y=log x y y = 2 + log x • Sea y = log x • La función y = 2 + log x será idéntica a y = log x aunque trasladada 2 unidades arriba. • La función y = log (x+2) será idéntica a y = log x aunque trasladada 2 unidades a la izquierda. y = log (x+2) 2 y = log x -2 -1 0 1 Matemáticas Acceso a CFGS

7. SIMETRÍA • En general cualquier función y=f(x) puede considerarse simétrica a otra función elemental respecto al eje X o al eje Y. • Regla general: • Si f(x)  f( – x) • y=f( – x) es idéntica a y=f(x), pero simétrica respecto al eje X. • Si f(x)  – f(x) • y= – f(x) es idéntica a y=f(x), pero simétrica respecto al eje Y. • Si f(x)  – f( – x) • y=– f( – x) es idéntica a y=f(x), pero ahora se ha producido una doble simetría, una respecto al eje X y otra respecto al eje Y. El resultado final es una simétrica respecto al origen de coordenadas. Matemáticas Acceso a CFGS

8. y=ln x y y = - ln x • Sea y = ln x • La función y = - ln x será idéntica a y = ln x pero invertidos sus valores. • La función y =-1– ln (x+2) será idéntica a y = ln x aunque trasladada 2 unidades a la izquierda, invertidos sus valores y trasladada 1 unidad abajo. 2 y = ln x -2 -1 0 1 y = - ln (x+2) y = - 1- ln (x+2) Matemáticas Acceso a CFGS

9. y = 2x y=2x • Sea y = 2x • La función y = 2x - 3 será idéntica a y = 2x, aunque trasladada 3 unidades abajo. • La función y = – 2(x - 1) será idéntica a y = 2x, aunque trasladada 1 unidad a la derecha e invertidos sus valores. y=2 (x – 1) y=2x - 3 y= – 2 (x – 1) Matemáticas Acceso a CFGS

10. y = 3x f(x) = 3 x- 2 y • Sea la función: f(x) = 3x-2 • Partimos de la función elemental • y = 3x (En color rojo). • Como x es ahora (x – 2) ello significa simplemente que la función es idéntica a la elemental, pero trasladada 2 unidades a la derecha. • El corte con el eje Y será (0, 3-2) • Al ser la base a=3 > 1  • La función es CRECIENTE. y = 3x 1 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x Matemáticas Acceso a CFGS

11. y = 3 – 2 – x f(x) = 2 - x y f(x) = 3 – 2 - x • Partimos de la función • y=2–x , que es equivalente a y=(1/2)x • Al ser la base 0<1/2<1 la función es decreciente (en rojo). • Pero al estar precedida por el signo “–” se vuelve creciente como se aprecia en la gráfica (en azul). • Finalmente el 3 sumando hace que tenga un desplazamiento vertical (en negro). 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x - 1 f(x) = – 2 - x Matemáticas Acceso a CFGS

12. DILATACIÓN • En general cualquier función y=f(x) puede considerarse como la deformación o dilatación de otra función elemental. • Regla general: • Sea f(x)  k.f(x) • Si k > 0 el signo de la función en los diferentes intervalos no varía. • Si k =1 las funciones sin idénticas en forma y posición. • Si k >1 la función f(x) se estrecha. • Si 0 < k < 1 la función f(x) se hace más ancha. • Si k < 0 el signo de la función en los diferentes intervalos varía, cambia. • Si k < - 1 la función f(x) se estrecha, cambiando los signos. • Si -1 < k < 0 la función f(x) se hace más ancha, cambiando los signos. • Advertencia: No es lo mismo k.f(x) que f(k.x) Matemáticas Acceso a CFGS

13. y=x2 f(x) = x2 y - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f(x) = - 0’5.x2 f(x) = - 2.x2 Matemáticas Acceso a CFGS

14. y=x2 y f(x) = 2.x2 f(x) = x2 f(x) = 0’5.x2 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Matemáticas Acceso a CFGS