Argomenti della 2a lezione

1. Argomenti della 2a lezione • Brevi cenni sul calcolo delle probabilità • Soluzione della sfida matematica e tabelle delle probabilità. • Due problemi di logica deduttiva. • Il Whist giocato in coppia

2. Richiami di calcolo delle probabilità Si chiama probabilitàP di un evento A il rapporto tra il numero Nf di casi favorevoli ed il numero Np di casi possibili (a condizione che i casi siano ugualmente possibili): P (A) = Nf / Np 0 ≤ P (A) ≤ 1 Si chiama frequenza relativan di un determinato evento osservato A il rapporto tra il numero di volte nA che tale evento si presenta ed il numero di prove effettuate n: n (A) = nA / n 0 ≤ n (A) ≤ 1 Legge empirica del caso: In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, la frequenza relativa con cui si presenta un certo evento è poco dissimile dalla sua probabilità; il divario tra questi valori diminuisce al crescere del numero di prove.

3. Verifica della legge empirica del caso N. lanci 1 2 3 4 5 6 7 6 0 1 2 3 5 7 6 5 4 3 0 1 8 2 4 6 8 7 3 5 1 18 9 0 2 49 73 72 93 74 75 98 97 96 95 92 47 91 89 88 87 86 85 84 94 50 64 53 61 69 71 68 67 66 65 83 63 62 70 51 60 59 58 57 56 55 54 52 82 90 80 10 16 25 13 27 37 44 43 28 42 40 39 38 41 36 34 33 29 30 11 31 12 14 79 78 77 76 48 32 46 81 17 24 23 22 21 20 19 18 16 26 15 45 35 99 100 12 31 18 15 9 10 11 57 13 14 15 17 19 30 20 21 22 23 24 33 32 55 54 34 40 42 41 37 39 38 36 35 25 44 52 45 46 47 48 49 50 51 53 43 26 16 28 81 92 79 68 78 61 62 64 65 66 67 63 69 74 77 70 76 60 73 59 72 98 96 29 56 75 58 80 82 83 84 27 85 86 87 88 89 90 91 93 94 95 97 71 99 100 4 98 97 96 95 94 93 92 89 80 88 87 86 85 84 83 82 81 58 56 90 79 91 75 68 74 73 72 71 70 69 62 67 66 65 64 63 61 60 78 59 77 76 55 57 31 54 35 53 52 51 49 48 47 46 50 42 41 40 39 38 44 37 36 22 45 34 43 32 29 28 27 26 25 24 23 21 30 33 19 18 17 16 15 14 13 12 11 20 99 100 78 98 97 96 95 94 93 92 91 90 77 88 86 85 84 83 82 81 80 79 76 87 75 70 73 51 71 69 68 62 67 66 65 64 72 89 63 61 60 59 58 57 55 54 53 52 74 56 50 49 11 25 47 45 44 43 42 41 40 39 38 46 36 35 28 29 27 31 32 33 34 26 37 24 30 22 2 21 20 19 18 16 15 14 13 12 10 17 9 48 17 8 6 5 23 4 3 1 0 99 100 96 43 94 93 92 91 90 89 88 87 71 86 84 100 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 85 97 83 98 72 95 68 66 65 64 63 62 61 60 59 58 57 44 55 67 53 54 56 69 45 46 70 48 49 50 51 47 52 99 100 76 77 80 73 27 25 75 0 29 74 66 82 71 70 69 68 67 81 83 64 1 72 2 17 4 13 26 24 23 22 21 20 19 18 92 3 16 14 28 12 11 10 17 9 7 6 5 15 98 78 96 35 34 33 32 31 45 46 47 48 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 36 49 62 39 95 94 93 91 84 90 89 88 87 86 85 65 63 30 38 97 44 43 42 41 40 37 79 99 100 67 68 69 71 79 72 73 74 75 76 77 57 78 61 58 16 29 27 26 62 25 66 65 64 63 90 83 84 85 86 87 88 89 92 91 24 81 94 95 96 97 98 82 80 60 70 59 93 22 17 20 52 51 50 49 48 31 46 45 44 47 32 34 42 41 40 39 38 37 36 21 33 53 54 35 43 55 18 56 15 14 13 12 11 10 9 17 19 6 5 4 3 2 1 0 28 23 30 9 99 100 7 6 5 1 3 2 37 4 8 13 10 11 12 50 40 39 38 35 9 15 28 17 36 16 0 33 32 31 30 29 34 27 25 24 23 22 21 20 19 18 26 14

4. Probabilità di un non-evento : P (non-evento) = 1 – P(evento) Probabilità totale:: Se due eventi sono esclusivi (cioè non possono avvenire simultaneamente) la probabilità che uno o l’altro avvenga è uguale alla somma delle probabilità che ciascun evento ha di avvenire separatamente. P (A o B) = P (A) + P (B) Probabilità composta: Se due eventi sono statisticamente indipen-denti (cioè se l’evento A è indipendente dal fatto che l’evento B sia o non sia avvenuto) la probabilità che entrambi (cioè l’uno el’altro) si verifichino è uguale al prodotto delle probabilità che ogni evento ha di verificarsi separatamente. P (A e B) = P (A ) x P(B)

5. Esempi di probabilità totale 1) Probabilità che una carta estratta da un mazzo di 52 carte sia un asso (evento A) oppure un due (evento B). P (A) = 4/52 P(B) = 4/52 P(A o B) = 4/52 + 4/52 = 15.38%

6. Esempi di probabilità totale 2) Probabilità che una carta estratta da un mazzo di 52 carte sia l’asso di picche (evento A) oppure un due (evento B). P (A) = 1/52 P(B) = 4/52 P(A o B) = 1/52 + 4/52 = 9.61%

7. Esempi di probabilità composta 3) Probabilità che due carte estratte da due mazzi di 52 carte siano entrambi un asso (evento A ed evento B). P (A) = 4/52 P(B) = 4/52 P(A e B) = 4/52 x 4/52 = 0.592 %

8. Esempi di probabilità composta 4) Probabilità che due carte estratte da un mazzo di 52 carte (senza rimettere la prima carta estratta) siano entrambi un asso (evento A ed evento B). P (A) = 4/52 P(B) = 3/51 P(A e B) = 4/52 x 3/51 = 0.452 %

9. Combinazione di probabilità composta e di probabilità totale 6) Probabilità che tre carte estratte da un mazzo di 52 carte siano tutte dello stesso seme, qualunque esso sia (eventi A , B , C). ♥ ♥ ♥ P (♥) = 13/52 P(♥) = 12/51 P(♥) = 11/50 P(♥ e ♥ e ♥) = 13/52 x 12/51 x 11/50 = 1.294 % Seme ♥ P [(♣ e ♣ e ♣) o (♦ e ♦ e ♦) o (♥ e ♥ e ♥) o (♠e ♠ e ♠)]= 4 x P(♥ e ♥ e ♥) = 5.176 % Qualsiasi seme

10. Combinazione di probabilità composta e di probabilità totale 6) Probabilità che tre carte estratte da un mazzo di 52 carte siano tutte di semi diversi (eventi A , B , C). ♣ ♦ ♥ P (♣) = 13/52 P(♦) = 13/51 P(♥) = 13/50 P(♣ e ♦ e ♥) = 13/52 x 13/51 13/50 = 1.657 % Numero di permutazioni possibili: N = 4 x 3 x 2 = 24 Ptotale = 24 x P(♣ e ♦ e ♥) = 39.77 %

11. Calcolo delle probabilità nel gioco del Whist Possiamo dare una risposta al quesito proposto ieri e riguardante il calcolo della probabilità di non fare (o di fare) una presa al primo giro del Whist giocato singolarmente (“Oh Hell”) Riprendiamo in esame la prima distribuzione di carte esaminata nella prima lezione.

12. 1a mano Nord distribuisce 1 carta ad ogni giocatore (in senso orario) e mostra la 5a carta che diventa l’atout. P = probabilità di non fare la presa N P = 83.3 % E O S

13. Probabilità di non fare la presa (da parte del 1° giocatore) Carta del 1° giocat. Gruppo B: Carte che fanno presa da parte degli avversari NB =22 Gruppo A: Carte che non fanno presa da parte degli avversari  NA = 28 Carta di trump (atout) B-A-A A-B-A A-A-B  P1 = 3 (22/50 x 28/49 x 27/48) = 42.4% B-B-A B-A-B A-B-B  P2 = 3 (22/50 x 21/49 x 28/48) = 33.0 % B-B-B  P3 = (22/50 x 21/49 x 20/48) = 7.9% Ptot =83.3%

14. Probabilità di non fare la presa (da parte del 1° giocatore) Carta del 1° giocat. Gruppo B: Carte che fanno presa da parte degli avversari NB =22 Gruppo A: Carte che non fanno presa da parte degli avversari  NA = 28 Carta di trump (atout) La probabilità può più semplicemente essere calcolata come: P1(no presa) = 1 – P2(no presa avversaria) P1 = 1- (28/50 x 27/49 x 26/48) Ptot =83.3%

15. Probabilità di non fare la presa (da parte del 1° giocatore) Carta del 1° giocatore Gruppo B: Carte che fanno presa da parte degli avversari  NB =12 Gruppo A: Carte che non fanno presa da parte degli avversari  NA = 38 Carta di trump B-A-A A-B-A A-A-B  P1 = 3 (12/50 x 38/49 x 37/48) = 43.04% B-B-A B-A-B A-B-B  P2 = 3 (12/50 x 11/49 x 38/48) = 12.80 % B-B-B  P3 = (12/50 x 11/49 x 10/48) = 1.12% Ptot = 57.0%

16. Primo a dichiarare P = Probabilità di non fare la presa C Carta di un seme diverso dal seme di trump C = Carta del seme di trump X = Carta di trump in tavola

17. Calcolo delle probabilità (per il secondo di mano) Per il secondo di mano il calcolo della probabilità presenta due diverse situazioni: A) Il calcolo viene fatto senza tener conto della dichia-razione del 1° giocatore. In questo caso si parla di probabilità a priori. B) Il calcolo viene fatto assumendo che la dichiarazio-ne del 1° giocatore sia stata fatta rispettando l’indica-zione del calcolo delle probabilità. In questo caso si parla di probabilità condizionata.

18. Probabilità di non fare la presa Gruppo C: Carte che fanno presa da parte del 3° o 4° giocatore nel caso che il 1° giocatore giochi una carta del gruppo B ♦ A K …J T … 3 2 NC = 12 carte Gruppo A: Carte che fan-no presa da parte del 1° rispetto al 2° giocatore ♠ A K….3 2 ♣ A K …. 3 2 ♦ A K… J T… 3 2 NA = 38 carte (da parte del 2° giocatore) Carta del 2° giocatore Probabilità a priori Gruppo B: Carte che non fanno presa da parte del 1° giocatore: ♥ K Q J …. 3 2 NB = 12 carte Gruppo D: Carte che non fanno presa da parte del 3° (o 4°) giocatore ND = 37 (36) Carta di trump A-(C o D) –(C o D)  P1 = (38/50 x 49/49 x 48/48) = 76.0% B-C-D B-D-C  P2 = 2 (12/50 x 12/49 x 37/48) = 9.1 % B-C-C  P3 = (12/50 x 12/49 x 11/48) = 1.4% Ptot = 86.5%

19. Gruppo A: Carte che fan-no presa da parte del 1° giocatore ♠ A K….3 2 ♣ A K …. 3 2 ♦ 2 NA = 27 carte Gruppo C: Carte che fanno presa da parte del 3° (o 4°) giocatore nel caso che il 1° giocatore giochi una carta del gruppo B ♦ A K J T … 3 2 NC = 12 (11) carte Probabilità di non fare la presa (da parte del 2° giocatore) Carta del 2° giocatore Probabilità condizionata Gruppo B: Carte che non fanno presa da parte del 1° giocatore: ♥ K Q J …. 3 2 NB =12 carte Gruppo D: Carte che non fanno presa da parte del 3° (o 4°) giocatore ND = 37 (36) Carta di trump Il 1° giocatore ha dichiarato 0 prese A-(C o D)-(C o D)  P1 = (27/39 x 49/49 x 48/48) = 69.23 % B-C-D B-D-C  P2 = 2 (12/39 x 12/49 x 37/48) = 11.62 % B-C-C  P3 = (12/39 x 12/49 x 11/48) = 1.73% Ptot = 82.6%

20. Probabilità di non fare la presa (da parte del 2° giocatore) Carta del 2° giocatore Probabilità condizionata Carta di trump Il 1° giocatore ha dichiarato 1 presa Ptot = 100% Se coerentemente il 1° giocatore ha dichiarato di fare una presa deve possedere una delle seguenti carte : ♦ 3 4 5 6 7 8 9 T J K A

21. Secondo a dichiarare C Carta di un seme diverso dal seme di trump P1 = Probabilità a priori di non fare la presa. P2 = Probabilità condizionata in cui il 1° giocatore ha dichiarato 0 prese P3= Probabilità condizionata in cui il 1° giocatore ha dichiarato 1 presa

22. Secondo a dichiarare C = Carta del seme di atout X = Carta di atout in tavola P1 = Probabilità a priori di non fare la presa. P2 = Probabilità condizionata in cui il 1° giocatore ha dichiarato 0 prese P3= Probabilità condizionata in cui il 1° giocatore ha dichiarato 1 presa

23. Due problemi di logica 1) Il Sultano ed i 3 Saggi Calon, Gin-Gin, Locan Calo n Gi n Gi n Loca n 2) Le tre formiche

24. In questa versione del Whist si gioca in coppia. I giocatori seduti di fronte formano la coppia. Per convenzione i quattro giocatori sono rappresentati dai punti cardinali. Il Mazziere mostra l’ultima carta il cui seme diventa il trump. A turno ognuno fa il Mazziere: mescola le carte e le fa tagliare dal- l’avversa- rio di de- stra. N O E Le distri- buisce tutte, coperte, inizian-do dalla sua si-nistra. S Ciascun giocatore le divide per seme.

25. Gioco del Whist Versione con giocatori in coppia In questa versione non esiste la dichiarazione (cioè le coppie non dichiarano, a priori, il numero di prese che si impegnano a realizzare). Il giocatore a sinistra del mazziere, inizia a giocare una carta, a sua scelta, con l’ovvio intento di sviluppare il gioco che consenta alla sua coppia di fare il maggior numero di prese.

26. Valgono le stesse regole del Whist giocato singolarmente. La mano viene vinta dalla carta più alta del seme giocato dal primo giocatore a meno che non siano stati giocati uno o più trump. In questo caso vince la mano il trump più elevato. Il giocatore che si aggiudica la presa ha il diritto di iniziare la successiva. Dopo che tutti i 13 turni sono stati giocati la coppia che si è aggiudicata il maggior numero di mani segna un punto per ogni presa dopo la sesta.

27. La manche viene vinta dalla prima coppia che segna 5 punti. La vittoria finale è assegnata alla coppia che per prima ottiene un numero prefissato di manches vincenti (di norma 5 per evitare partite che si protraggono troppo nel tempo). Durante il gioco della carta ciascun giocatore vede solo le proprie 13 carte (mentre nel bridge ciascun giocatore vede 26 carte) quindi è importante adottare alcune convenzioni nel rispondere al seme giocato dal proprio compagno.

28. Convenzioni nel gioco della carta a) una carta bassa nel seme giocato dal compagno indica gradimento per una eventuale prosecuzione, una carta alta (ad esclusione degli onori) indica disinteresse per quel seme; b) una carta bassa di un seme diverso (ovviamente escluso il seme di trump) da quello giocato dal compagno o dalla coppia avversaria indica disinteresse per quel seme. c) in genere si inizia nel seme più ricco in onori (A K Q J), anche nel seme di trump (per evitare tagli da parte della coppia avversaria) oppure con un singolo per poter tagliare le carte degli avversari in quel seme.

29. Prendiamo in esame alcune distribuzioni per stabilire quale attacco è più conveniente per cercare di realizzare il massimo numero di prese.

30. Trump: ♣ Conviene attaccare di K di ♥. In questo modo si affrancano 2 prese nel seme (3 nel caso in cui il partner possegga l’A di ♥). Situazione difficile ! L’attacco più conveniente sembra essere ♥ 4. Si cerca l’affrancamento di 2 o 3 prese in questo seme.

31. Trump: ♣ Conviene battere le atout (per evitare tagli da parte avversaria) e poi giocare la sequenza a ♠. Si pos-sono fare 8-9 prese. Attacco di ♦ 10 per cercare eventuali tagli in questo seme.