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El valor al que se acerca indefinidamente los términos de una sucesión se llama límite . lim a n = L n ∞ Una sucesión a n , tiene límite L si, cuando n tiende a infinito, la diferencia entre a n y L es cada vez menor. Es decir, cuando n ∞ , |a n - L| 0.
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El valor al que se acerca indefinidamente los términos de una sucesión se llama límite. lim an = L n ∞ Una sucesión an, tiene límite L si, cuando n tiende a infinito, la diferencia entre an y L es cada vez menor. Es decir, cuando n ∞, |an - L| 0. Una sucesión tiene límite +∞ cuando, para cualquier número real y positivo k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los términos de la sucesión son mayores que k: lim an = +∞ n ∞ Una sucesión tiene límite -∞ cuando, para cualquier número real y negativo k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los términos de la sucesión son menores que k: lim an = -∞ n ∞ Sucesión convergente: tiene un límite finito. Sucesión nula o infinitésimo: su límite es cero. Sucesión divergente: tiene límite +∞ o -∞. LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ Adición de sucesiones lim (xn + yn) = lim xn + lim yn Cociente de sucesiones siempre que yn no sea una sucesión nula. Producto de sucesiones lim (xn · yn) = lim xn · lim yn Potencia de sucesiones lim (xn)yn= (lim xn)lim yn Las sucesiones xn e yn pueden ser convergentes o divergentes. Podemos obtener las indeterminaciones ∞0, 00y 1∞. OPERACIONES CON SUCESIONES
Sucesiones con radicales del tipo ,donde an es un polinomio en n, siempre son divergentes. • Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del término de mayor grado. Si k es par, el coeficiente del término de mayor grado no puede ser negativo. • En una sucesión cuyo término general es la suma o diferencia de dos raíces, puede dar lugar a la indeterminación (+∞) + (-∞) , que se resuelve comparando los grados de los términos de mayor grado y los índices de las raíces: • si son iguales y tienen el mismo índice, el signo del infinito se determina por sus coeficientes. • si, además, tienen el mismo coeficiente, se multiplica por el conjugado de la suma de raíces: • Sucesiones que tienen término general como un cociente de • polinomios son: • divergentes: si el grado del numerador es mayor que • el del denominador. • límite +∞ si los signos de los términos de • mayor grado del numerador y del denominador • coincide. • límite -∞ si los términos de mayor grado del • numerador y del denominador tienen signos • distintos. • convergentes: • límite cero si el grado de numerador es menor • que el del denominador. • limite L si el grado del numerador es igual al • del denominador. • L = a - b . n n ( li m a + b = li m a + b ) n n n n a - b n n coef i c i ente de l té r m i no de m ayor gra do coef i c i ente de l r m i no de m ayor gra do té CÁLCULO DEL LÍMITE DE SUCESIONES Sucesiones que tienen término general como un polinomio en n siempre son divergentes. Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del término de mayor grado.
n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ 1 n e = lim (1 + ) n Sucesiones cuyo término general es: Sucesiones cuyo término general es: 1 1 n + a k n · · (1 + ) (1 + ) n n 1 1 n + a k kn li m (1 + ) = e li m (1 + ) = n n 1 1 . n a e = li m (1 + ) li m (1 + ) = e 1 = n n 1 n · (1 + ) kn 1 n · (1 + ) 1 n + a 1 1 n kn li m (1 + ) = li m (1 + ) k kn n + a 1 1 n n + a - a li m (1 + ) = li m (1 + ) n + a n + a 1 k n+ a 1 ( 1 + ) e e = = n + a e k e = li m = = 1 1 a ( 1 + ) n + a EL NÚMERO e
n a n a n a n a n a • Clasificación de discontinuidades • Discontinuidad evitable se produce cuando: • OExiste f(a) y lim f(x), pero f(a) ≠ lim f(x) • ONo existe f(a) y sí lim f(x) • Discontinuidad de salto finito se produce cuando no existe lim f(x) porque los dos límites laterales son finitos, pero desiguales. • Discontinuidad asintótica o de salto infinito se produce cuando uno o los dos límites laterales son infinito. En este caso, f(a) puede existir o no • Propiedades de las funciones continuas • Si f(x) y g(x) son continuas en a entonces: • O(f + g)(x) es continua en a • O(f · g)(x) es continua en a • O( )(x) es continua en a, si g(a) ≠ 0 • Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a) entonces la composición (g ◦ f)(x) es continua en a. CONTINUIDAD • Una función f(x) es continua en a si: • Existe f(a) • Existe lim f(x) = f(a) Si no cumple alguna de las condiciones, f(x) es discontinua en a.
