Números Mágicos

1. Números Mágicos José Manuel Molina López http://www.giaa.inf.uc3m.es/ molina@ia.uc3m.es

2. INDICE I. Los Números Mágicos II. PI III. e IV. PHI

3. I. Los números Mágicos NUMEROLOGÍA Gematría (Judía), Khisab al Juaml (musulmán), Isopsephi (griego) 666 Es lo que suma en hebreo Nerón Cesar El emperador Diocleciano = DIOCLES AVGVSTVS -> DICLV (500 + 1 + 100 + 50 + 5)

4. I. Los números Mágicos Significados ocultos para los números puesto que representan algo abstracto Buscar una semántica más allá del significado abstracto del número Utilizar los números cómo base de construcciones, dibujos, etc.. Intentar explicar las relaciones entre los números

5. I. Los números Mágicos Los humanos tienen dos ojos, manos, fosas nasales, orejas, etc.., hay dos géneros, El Sol y la Luna Nuestro tiempo subjetivo se divide en tres: presente, pasado y futuro Tenemos cuatro estaciones ………………………..

6. I. Los números Mágicos PITAGÓRICOS 1 El generador de todos los números, no es un número. Representación el punto generador de todas las dimensiones. La razón, lo único. 2 El primer número femenino, la polaridad. El número de la opinión y de la división, del ying y del yang, del doblez, de la hipocresía. Su representación es la línea. 3 El primer número masculino, la armónía. El número de la armonía porque une el 1 y el 2. Es el primer número porque tiene principio, medio y final. Su representación es el triángulo

7. I. Los números Mágicos PITAGÓRICOS 4 El número de la justicia y el orden. El espacio y la materia. Los 4 puntos cardinales, las tres dimensiones, y junto con el 1, el 2 y el 3 suman 10 que es el numero de todas las dimensiones y que unifica lo único, la polaridad, la armonía y el espacio y la materia 5 La unión del 2 y el 3, del matrimonio y del amor. El pentagrama, PHI 6 El primer número perfecto (número que puede escribirse como la suma de todos los números por los que se puede dividir, el siguiente es el 28=1+2+4+7+14). La suma de 1+2+3, el número de la creación, Filo Judás de Alejandría Dios creó el mundo en 6 días porque 6 es perfecto, San Agustín también lo indica en su obra “La ciudad de Dios”.

8. I. Los números Mágicos PITAGÓRICOS El pentágono es la base para construir el cuerpo sólido perfecto, el dodecaedro. Platón en el Timeo afirma que el dodecaedro es la materia de la que está hecha el elemento perfecto, el éter, y simboliza además la perfección del Universo.

9. I. Los números Mágicos PITAGÓRICOS 6 y 28. Los primeros comentaristas del Antiguo Testamento, tanto judíos como cristianos, quedaron muy impresionados por la perfección de esos dos números. ¿Acaso no fue el Mundo creado en seis días? ¿No tarda veintiocho días la Luna en su circunvalación en torno a la Tierra? En La Ciudad de Dios, libro 11, capítulo 30, San Agustín argumenta que, no obstante poder Dios haber creado el Mundo en un instante, El prefirió emplear seis días, porque la perfección del número 6 significa la perfección del Universo. (Parecidos puntos de vista habían sido expresados anteriormente por un filósofo judaico del siglo I, Philo Judaeus, en el tercer capítulo de su Creación del Mundo) «Por consiguiente», concluye San Agustín, «no debemos despreciar la ciencia de los números, la cual, en muchos pasajes de la Sagrada Escritura, demuestra ser de servicio eminente al intérprete cuidadoso».

10. II. e La introducción de la notación e se debe a Leonhard Euler (1707-1783). El número e es irracional y trascendente y sus primeras cifras son: 2, 71828... Pero los logaritmos neperianos ¿no son de antes?

11. II. e El cálculo logarítmico se desarrolló de manera simultánea, a finales del siglo XVI, en varios lugares de Europa. En Escocia, John Napier (1550-1617), contemporáneo de Cervantes y Shakespeare, además de construir la clase de logaritmos que lleva su nombre —Neper es una forma latinizada del apellido del escocés—, fue el primero en utilizar un punto para separar la parte entera de la mantisa en la representación de los números no enteros. En Suiza, Jost Bürgi (1552-1632) fue un relojero que descubrió una variante del cálculo con logaritmos, al parecer anteriores a los naturales. El otro fundador de la teoría fue el inglés Henry Briggs (1561-1631), creador de los logaritmos decimales o vulgares, quien fue capaz de calcular los logaritmos de más de 30.000 números con 14 decimales, desde luego sin calculadoras de ningún tipo.

12. II. e

13. II. e

14. II. e Cómo d es un valor arbitrario podemos hacer de manera natural que d = c

15. II. e

16. II. e

17. II. e

18. III. PI

19. III. PI

20. III. PI El papiro de Rihn

21. III. PI Arquímedes

22. III. PI Arquímedes

23. III. PI Ptolomeo

24. III. PI La India

25. III. PI China

26. III. PI Árabes

27. III. PI Fibonacci

28. III. PI XVI y XVII

29. III. PI XVI y XVII

30. III. PI La era del cálculo de Newton y Leibniz

31. III. PI La era del cálculo de Newton y Leibniz XVIII

32. III. PI http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80 La cuadratura del círculo es imposible porque PI es irracional trascendente

33. IV. PHI LIBRO VI. Definición 3. Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor

34. IV. PHI

35. A este número inconmensurable se le llama número de oro ó razón áurea, se representa por el símbolo y su valor es aproximadamente 1,61803... El símbolo para la relación áurea fue propuesto por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida en honor al escultor griego Phidias (s.V a. C) que solía usar la relación áurea en sus esculturas. IV. PHI

36. La estrella pentagonal era el símbolo de la escuela pitagórica y servía a los pitagóricos para reconocerse entre sí. IV. PHI

37. Tome un pentágono con cinco lados iguales y conecte todos sus puntos para formar una estrella de cinco puntas. Las razones de la longitud de los segmentos de línea resultantes están todos basados en phi.En la imagen inferior notamos que A:B como B:C como C:D =0.618033 (el inverso de phi) IV. PHI

38. IV. PHI LEONARDO DE PISA (FIBONACCI) 1170-1240. FIBONACCI Leonardo de Pisa, mejor conocido por su apodo Fibonacci (que significa hijo de Bonacci) nació en la ciudad italiana de Pisa y vivió de 1170 a 1250. Era hijo de Guilielmo Bonacci quien trabajaba como representante de la casa comercial italiana más importante de la época, en el norte de África. Es en medio de esta actividad comercial es que Leonardo de Pisa comienza a formarse como mercader y matemático en la ciudad de Bugia, hoy Bejaia un puerto al noreste de Argelia. Se conoce muy poco sobre su vida; sin embargo, en el prefacio de uno de sus libros más importantes, el Liber Abaci, Leonardo comenta que fue su padre quien le enseñó Aritmética y lo animó a estudiar matemáticas. En Bugia Leonardo recibió este tipo de enseñanza de maestros árabes. Muy pronto se convenció de que el sistema hindo-arábigo era superior a cualquiera de los que se usaban en los distintos países que había visitado. Es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional. Fibonacci, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

39. IV. PHI LEONARDO DE PISA (FIBONACCI) 1170-1240. Es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional. Fibonacci, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

40. IV. PHI De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes unpotente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, su principal obra el Liber Abaci (o Libro acerca del Ábaco) de la cual actualmente sólo se conserva la versión de 1228 (segunda versión). En ella Fibonacci exponía entre otras cosas, la importancia del sistema de numeración indoarábigo: las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Nos brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números: 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....

41. PARA QUE UTILIZO LA SUCESIÓN? IV. PHI "Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.”

42. IV. PHI La sucesión empieza con dos unos. Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores. Por ejemplo, el noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo. La sucesión es infinita. Así la sucesión de Fibonacci es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...

43. IV. PHI f 1 = 1 f 2 = 1 f 3 = f 2 + f 1 = 2 f 4 = f 3 + f 2 = 3 f 5 = f 4 + f 3 = 5 f 6 = f 5 + f 4 = 8 f 7 = f 6 + f 5 = 13 ... f1 = f2 = 1 fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3

44. PROPIEDADES IV. PHI Suma de n términos f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + ... + f n = f n + 2 - 1 Suma de términos impares f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ... + f 2n - 1 = f 2n Suma de términos pares f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + ... + f 2n = f 2n + 1 - 1

45. IV. PHI Suma de los cuadrados de n términos f 12 + f 22 + f 32 + f 42 + ... + f n2 = f n f n + 1 Diferencia de cuadrados: La diferencia de cuadrados de dos números de Fibonacci cuyos índices difieren en dos unidades es otro número de Fibonacci: f n + 12 - f n - 12 = f 2n

46. IV. PHI • La divisibilidad y los números de Fibonacci. • Números de Fibonacci consecutivos son primos entre si • Si designamos por (a,b) el máximo común divisor de a y b, entonces: • (f m , f n) = f (m, n)Si f 8 = 21 y f 12 = 144, entonces m = 8, n = 12, por lo que (m, n) = (8, 12) = 4 y (f 8 , f 12) = (21, 144) = 3 = f 4 • Si n es divisible entre m, entonces f n es divisible entre f m f 10 = 55; f 5 = 5 entonces f 10 / f 5 = 55 / 5 = 11 • f n es par si y sólo si n es múltiplo de 3. f 3 = 2; f 6 = 8; f 9 = 34; f 12 = 144...

47. IV. PHI PERO QUE TIENE QUE VER LA PROPORCIÓN ÁUREA CON LA SUCESION DE FIBONACCI? La sucesión tiene una propiedad muy interesante relacionada con la proporción. Si dividimos cada número de la sucesión entre su vecino inmediato de la derecha se obtiene la sucesión de fracciones llamadas cocientes de Fibonacci (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13,...). A medida que avanzan los cocientes de Fibonacci tienden al número áureo (1.618033989...).

48. IV. PHI Diferencia en valor absoluto f 2 / f 1 = 1 0, 61 80 33 98 ... f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2 0, 38 19 66 01 ... f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5 0, 11 80 33 98 ... f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66 66 ... 0, 04 86 32 67 ... f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6 0, 01 80 33 98 ... f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5 0, 00 69 66 01 ... f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ... 0, 00 26 49 37 ... f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ... 0, 00 10 13 63 ... f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ... 0, 00 03 86 92 ...

49. IV. PHI f n = f n - 2 + f n - 1 por lo que

50. IV. PHI Reiterando este procedimiento llegamos a obtener Puesto que el número áureo tiene el mismo desarrollo en forma continua queda justificada la convergencia indicada.