1 / 14

5.1. Tason yhtälö Pisteen (x 0 , y 0 . z 0 ) kautta kulkevan ja vektoria

5.1. Tason yhtälö Pisteen (x 0 , y 0 . z 0 ) kautta kulkevan ja vektoria. vastaan kohtisuorassa. olevan tason yhtälö on a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) + c(z – z 0 ) = 0. E.1. Määritä jokin tason 2x – 3y + z + 6 = 0 jokin normaalivektori.

giulio
Download Presentation

5.1. Tason yhtälö Pisteen (x 0 , y 0 . z 0 ) kautta kulkevan ja vektoria

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 5.1. Tason yhtälö Pisteen (x0, y0. z0) kautta kulkevan ja vektoria vastaan kohtisuorassa olevan tason yhtälö on a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 E.1. Määritä jokin tason 2x – 3y + z + 6 = 0 jokin normaalivektori E.2. Taso kulkee pisteen (5, -1, -4) kautta ja on kohtisuorassa vektoria vastaan. Määritä tason yhtälö. TAPA 2 Tason yhtälö muotoa 4x – 3y + 2z + d = 0 Tason piste (5, -1, -4): 4  5 – 3  (-1) + 2  (-4) + d = 0 d = -15 4x – 3y + 2z + d = 0 4(x – 5) - 3(y + 1) + 2(z + 4) = 0 4x – 20 – 3y – 3 + 2z + 8 = 0 4x – 3y + 2x – 15 = 0

  2. 5.2 Suoran asema tasoon nähden Katso kuva s. 127 E.1. Osoita, että suora on tasossa 3x – 2y + z – 8 = 0 Sijoitetaan suoran mielivaltainen piste (3 + t, 1 + 2t, 1 + t) tason yhtälöön: 3(3 + t) – 2(1 + 2t) + (1 + t) – 8 = 0 9 + 3t – 2 – 4t + 1 + t – 8 = 0 0 = 0 tosi kaikilla parametrin t arvoilla. Täten suora on tasossa.

  3. E.2. Osoita, että suora on yhdensuuntainen tason 2x – y + z + 1 = 0 kanssa, mutta ei ole tämän tason suora. Suora on tason suuntainen, jos se on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan. Suoran suuntavektori: Tason normaalivektori:  suora on tason suuntainen Suoran pisteessä (0, 2, 2) : 2  0 – 2 + 2 + 1 = 1 ≠ 0, joten suora ei ole tasossa.

  4. E.3. Määritä suoran ja tason x + y + z - 4 = 0 leikkauspiste. Koordinaatit toteuttavat tason yhtälön: x + y – z – 4 = 0 1 – t + 2 – t + 3 + t – 4 = 0 -t + 2 = 0 t = 2 x = 1 – 2 = -1 y = 2 – 2 = 0 z = 3 + 2 = 5 Leikkauspiste: (-1, 0, 5)

  5. 5.3 Tasojen keskinäinen asema (katso s. 131) E.1.Määritä tasojenyhteiset pisteet. a) 2x + y – z +1 = 0 ja x – y – 2z + 2 = 0 Normaalivektorit: ovat erisuuntaisia, koska Tasot leikkaavat pitkin suoraa Merkitään z = t Tasojen leikkaussuoran yhtälö 3x = 3z - 3 Tasot leikkaavat pitkin suoraa, joka kulkee pisteen (-1, 1, 0) kautta ja on vektorin suuntainen x = z - 1 y = -2x + z – 1 = -2(z – 1) + z – 1 = -z + 1

  6. b) x – 2y – z + 2 = 0 ja – 2x + 4y + 2z + 5 = 0 T1: x – 2y – z + 2 = 0 T2: – 2x + 4y + 2z + 3 = 0 Koska niin normaalivektorit ja täten myös tasot ovat yhdensuuntaiset Piste (0, 1, 0) tasossa T1, mutta ei tasossa T2, sillä -2x + 4y + 2z + 3 = -2  0 + 4  1 + 2  0 + 5 = 9 ≠ 0. Siis tasot ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, joten niillä ei ole yhtään yhteistä pistettä.

  7. c) –x + 3y + z – 2 = 0 ja 3x – 9y – 3z + 6 = 0 Jaetaan tason 3x – 9y – 3z + 6 = 0 yhtälö luvulla -3 saadaan -x + 3y +z - 2 = 0 Siis tasot ovat yksi ja sama taso ja yhteisiä pisteitä ovat kaikki tämän tason pisteet.

  8. E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat a) yhdensuuntaiset b) toistensa normaalitasot a) Tasot ovat yhdensuuntaiset, jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset Siis on olemassa luku t siten, että Tutkitaan, toteuttaako ratkaisu myös kolmannen yhtälön: 2 = -½  (-4) 2 = 2 tosi, siis toteuttaa Tasot yhdensuuntaiset, kun a = -4

  9. E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat b) toistensa normaalitasot Tasot ovat toistensa normaalitasoja, kun niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

  10. Tasojen välinen kulma = tasojen normaalien välinen kulma E.4. Laske tasojen 2x – y – 2z + 6 = 0 ja x + 2y – 2z – 8 = 0 välinen kulma

  11. Kolmen tason keskinäinen asema

  12. E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet a) 2x – 3y – z – 4 = 0, 3x + 4y + z – 5 = 0 ja 4x + 5y – 2z + 3 = 0  1  1 V: Yhtälöryhmän ratkaisu piste (2, -1, 3)  2  1 5x + y - 9 = 0 10x +13y -7 = 0 x sijoittamalla: 10x + 13  (-1) – 7 = 0 10x = 20 x = 2 z sijoittamalla: 3  2 + 4  (-1) + z – 5 = 0 z = 3  (-2) 11y + 11 = 0 y = -1

  13. E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet b) x + y + z – 1=0 , -2x + y -2z + 2 = 0 ja 4x + y +4z = 0  2  1  2  1 3y - 1 = 0 3y + 4 = 0 V: Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua eikä tasoilla näin ollen yhtään yhteistä pistettä

  14. E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet c) 2x + y + z – 1 = 0, -2x + y - 2z + 2 = 0 ja 2x - 3y + 3z - 3 = 0 2y - z + 1 = 0 -2y + z – 1 = 0 Tasojen yhteiset pisteet muodostavat suoran kulkee pisteen (0, 0, 1) kautta ja on vektorin Sijoittamalla z = 2y + 1 yhtälöön: 2x + y + (2y + 1) – 1 = 0 2x + 3y = 0 suuntainen

More Related