Welkom bij deze Wiskunde presentatie over hfst 2

1. Welkom bij deze Wiskunde presentatie over hfst 2 Deze presentatie is van: Raymond Weyermars, Peter van Leuteren, Sander Koekkoek en Nick Lulof

2. Hoofdstuk 2: Exponenten en logaritmen Overal om je heen zie je groei: bij mensen, dieren en planten, bij bevolkingsaantallen en bij radioactief verval.In dit hoofdstuk gaan we dieper in op verschillende soorten van groei. Vooral exponentiele groei krijgt de nodige aandacht. Je hebt met exponentiele groei te maken als een hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde percentage toeneemt. Je leert hoe het zit met groeipercentages en groeifactoren voor verschillende tijdseenheden. Verder spelen exponentiele functies in dit hoofdstuk een belangrijke rol. Je zult zien hoe je uit een exponentiele standaardfunctie y = g^x allerlei andere functies kunt krijgen. Ook komt de functie aan de orde die bij het omkeerschema van y = g^x hoort. Hierbij komt het begrip �logaritme� te voorschijn. Ook leer je in dit hoofdstuk rekenen met machten. Je krijgt een aantal nieuwe rekenregels voor machten. Je leert de betekenis van een macht met een negatieve of een gebroken exponent. Zo is y = x^3,12 een voorbeeld van een machtsfunctie met een exponent die zowel gebroken als negatief is. Uit het boek: Getal & Ruimte Havo NG/NT 2

3. Hier kun je je paragraaf kiezen Paragraaf 1 Soorten groei Paragraaf 2 Machten met gehele exponenten Paragraaf 3 Machten met gebroken exponenten Paragraaf 4 Exponentiele functies Paragraaf 5 Logaritmische functies Logboek

4. Paragraaf 1 Soorten groei Van deze sommen hebben wij uitwerkingen: 2 Info bij som 2 7 Info bij som 7 11

5. Som 2 Tussen de tweede en de twaalfde verjaardag is de lengtegroei bij de meeste jongens lineair. Bij de groei van Michiel in deze periode hoort de formule L = 5t + 70. Hier is L de lengte in cm en t de leeftijd in jaren. A.) Hoeveel cm per jaar groeit Michiel in deze periode? B.) Hoeveel procent is Michiel in deze tien jaar langer geworden? C.) Welke lengte heeft Michiel volgens de formule bij een leeftijd van 6 jaar en 9 maanden? D.) Met hoeveel procent neemt Michiels lengte toe tussen zijn tweede en derde verjaardag? En met hoeveel procent tussen zijn elfde en twaalfde verjaardag? Extra info bij deze som: Procentuele toename = (Nieuw - oud / oud) * 100%

6. Uitwerking van Som 2 A.) Hoeveel cm per jaar groeit Michiel in deze periode? Je kunt uit de formule afleiden dat Michiel al 70 cm lang is als hij 2 jaar is. Elk jaar na zijn 2e levensjaar komt er 5 cm bij. Dus hij groeit 5 cm per jaar B.) Hoeveel procent is Michiel in deze tien jaar langer geworden? Procentuele toename = Nieuw � oud : oud*100% De periode betekent van zijn 2e t/m zijn 12e levensjaar. Dus; 12-2 = 10 10*5= 50 + 70 = 120 120 �70 : 70 = 0,7142 0,7142 * 100% = 71,4 % C.) Welke lengte heeft Michiel volgens de formule bij een leeftijd van 6 jaar en 9 maanden? 6 jaar en 9 maanden = 6,75 en dit getal kun je dan in de formule invullen. (9: 12maanden = 0.75) 6,75 . 5 + 70 = 103,75 D.) Met hoeveel procent neemt Michiels lengte toe tussen zijn tweede en derde verjaardag? En met hoeveel procent tussen zijn elfde en twaalfde verjaardag? 2e jaar = 2 . 5 + 70 = 80 3e jaar = 3 . 5 + 70 = 85 Procentuele toename = 85 � 80 : 80 * 100%= 6.25% 11e jaar = 11 . 5 + 70 = 125 12e jaar =12 . 5 + 70 = 130 Procentuele toename = 130 � 125 : 125 *100%= 4%

7. Hier de informatie bij som2: Als je een hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde absolute aantal toeneemt, dan heb je te maken met een lineaire groei. Lineare groei: de hoeveelheid N neemt per tijdseenheid met hetzelfde getal toe\ af. De formule is van de vorm N = at + b De grafiek is een rechte lijn. Procentuele toename = Nieuw � oud : oud *100%

8. Som 7 Opdr. 7 A) Groeipercentage per jaar 17,5% 0,6% 120% Groeifactor per jaar 1,093 1,0025 2,35 B) AfnamAfname in % per jaar 9,4% 0,5% 51,5% Groeifactor per jaar 0,856 0,983 0,901

9. Uitwerking van Som 7 Opdr. 7 A). Groeipercentage per jaar 17,5% 0,6% 120% Groeifactor per jaar 1,093 1,0025 2,35 Groeifactor = 17,5% geeft 100% + 17,5% = 117,5%, dus 1,175 Groeifactor= 0,6% geeft 100% + 0,6% = 100,6%, dus 1,006% Groeifactor= 120% geeft 100% + 120% = 220%, dus 2,2% Groeipercentage = 1,093 = 109,3 � 100% = 9,3% Groeipercentage = 1.0025 = 100,25 � 100% = 0,25% Groeipercentage = 2,35 = 235 � 100% = 135% Groeipercentage per jaar 17,5% 0,6% 120% 9,3% 0,25% 135% Groeifactor per jaar 1,175 1,006 2,2 1,093 1,0025 2,35 B) AfnamAfname in % per jaar 9,4% 0,5% 51,5% Groeifactor per jaar 0,856 0,983 0,901 Afname = 9,4% = 100% - 9,4% = 90,6%, dus 0.906 Afname = 0,5% = 100% - 0,5% = 99,5%, dus 0,995 Afname = 51,5% = 100% - 51,5% = 48,5%, dus 0,485 Groeifactor = 0,856 = 85,6% - 100%= 14,4% Groeifactor = 0,983 = 98,3% - 100% = 1,7% Groeifactor = 0,901 = 90,1% - 100% = 9,9% AfnamAfname in % per jaar 9,4% 0,5% 51,5% 14,% 1,7% 9,9% Groeifactor per jaar 0,906 0,995 0,485 0,856 0,983 0,901

10. Hier de informatie bij som 7 Exponenti�le groei: De hoeveelheid N wordt per tijdseenheid steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Dat getal is de groeifactor per tijdseenheid. De formule geeft de vorm N = b * gt Hierin is de g de groeifactor per tijdseenheid en b de beginhoeveelheid. - De grafiek is een kromme. Bij een toename van P% per tijdseenheid hoort de groeifactor g = 1 + (P : 100) Vb. 8 % erbij geeft 100 % + 8% = 108%, dus 1,08 Bij een afname van P% per tijdseenheid hoort de groeifactor g = 1 � (P : 100) Vb. 4,8% eraf geeft 100% - 4,8% = 95,2%, dus 0.952

11. Som 11 Een hoeveelheid neemt per kwartier met 20% toe A.) Hoeveel procent is de toename per uur? B.) Hoeveel is de procentuele toename per minuut? Extra informatie bij som 11 Bij exponenti�le groei met groeifactor g per tijdseenheid is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn

12. Uitwerking bij som 11 Een hoeveelheid neemt per kwartier met 20% toe A.) Hoeveel procent is de toename per uur? 1uur = 1,20 tot de macht 4 geeft 2.0736 2.0736 - 100% = 1.0736 = 107.4% B.) Hoeveel is de procentuele toename per minuut? Per minuut = 1,20 tot de macht 1:15 geeft 1,01222894 . 100% = 101,222894 � 100% = 1,2%

13. Paragraaf 2 Machten met gehele exponenten Wij hebben uitwerkingen van deze sommen: 26 info som 26 32 info som 32 36 info som 36

14. Som 26 a.) 2a3 * 4a7 = b.) 2a3 + 4a7 = c.) (2a3)7 = d.) 5a3 * 2b5 = e.) (3ab2)4 = f.) (5a3)3 * 2b73 = g.) 15a18 = 3a6 h.) (-2a)3 * 3a3 = i.) (-2a)2 + 3a2 =

15. Uitwerkingen som 26 a.) 2a3 * 4a7 = 8a3+7 = 8a10 b.) 2a3 + 4a7 = kan niet c.) (2a3)7 = 2a3 * 2a3 * 2a3 * 2a3 * 2a3 * 2a3 * 2a3 = 128a21 d.) 5a3 * 2b5 = 10a3b5 e.) (3ab2)4 = 3ab2 * 3ab2 * 3ab2 * 3ab2 = 81a4b8 f.) (5a3)3 * 2b73 = 125a9 * 2b7 = 250a3b3 g.) 15a18 = 5a18 = 5a12 3a6 a6 h.) (-2a)3 * 3a3 = -2a * -2a * -2a * 3a3 = -24a6 i.) (-2a)2 + 3a2 = -2a * -2a +3a2 = 7a2

16. Hier informatie bij som 26 Je weet dat x^5 een macht is. In de macht is x het grondtal en is 5 de exponent. X^5 is een korte schrijfwijze voor x*x*x*x*x Hier volgen enkele regels voor het rekenen met machten. A^3*a^4 = (a*a*a)*(a*a*a*a) = a^7 Bij vermenigvuldiging van machten met hetzelfde grondtal tel je de exponenten op. A^7/a^3 = a*a*a*a*a*a*a = a^4 Bij delen van machten met hetzelfde grondtal trek je de exponenten af. a*a*a (a^3)^4 = a^3*a^3*a^3*a^3 = a^12 Bij de macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten. (ab)^3 = ab*ab*ab = a*a*a*b*b*b = a^3b^3 Bij de macht van een product neem je van elke factor die macht Rekenregels voor machten a^p*a^q = a^p+q a^p = a^p-q a^q (a^p)^q = a^pq (ab)^p = a^pb^p

17. Som 32 A.) 10^3 / 5a^-2 = b.) 10a^3 / (5a)^-2 = c.) (10a)^3 / 5a^-2 = d.) a^5b^-2 / 2a^-1 = e.) 3a^-1b^5 / (3a)^-1b^5 = f.) 2a^2b^-3 / 4(ab)^-2 =

18. Uitwerking bij Som 32 A.) 10^3 / 5a^-2 = 2a^5 b.) 10a^3 / (5a)^-2 = 250a^5 c.) (10a)^3 / 5a^-2 = 200a^5 d.) a^5b^-2 / 2a^-1 = a^6 / 2b^2 e.) 3a^-1b^5 / (3a)^-1b^5 = 9 f.) 2a^2b^-3 / 4(ab)^-2 = a^4 / 2b

19. Informatie bij som 32 In het algemeen geldt a^0 = 1. Dit is in overeenstemming met de rekenregels voor machten. Kies je voor q = 0 in de regel a^p * a^q = a^p+q, dan krijg je a^p * a^0 = a^p+0, ofwel a^p * a^0 = a^p dit klopt alleen als afgesproken wordt dat a^0 = 1 Afspraak: a^0 = 1 Kies je p = 0 in de regel a^p / a^q = a^p-q, dan krijg je a^0 / a^q = a^0-q, ofwel a^0 / a^q = a^-q en omdat zojuist is afgesproken dat a^0 = 1 staat hier 1 / a^q = a^-q Afspraak: a^-p = 1 / a^p deze regels gelden ook voor negatieven! En onthoud dat: 1 / a^-n = a^n

20. Som 36 Op het scherm hiernaast is 4*10^5 x 2,6 * 10^-3 berekend. Bereken op dezelfde manier. A.) 3,7 *10^-5 x 9,2 * 10^8 = b.) 1,12 * 10^4 + 5,8 * 10^3 = c.) 7,5 * 10^-15 / 3,75 * 10^-19 = d.) (5,2 * 10^-4)^3 =

21. Uitwerking van som 36 A.) 3,7 *10^-5 x 9,2 * 10^8 = 34040 b.) 1,12 * 10^4 + 5,8 * 10^3 = 17000 c.) 7,5 * 10^-15 / 3,75 * 10^-19 = 20000 d.) (5,2 * 10^-4)^3 = 1,41 * 10^-10

22. Informatie bij som 36 Bij de berekening van 3^-13 geeft de GR 6.272254744E-7 Dit betekent 6,272254744E-7, ofwel 0,000000627 In deze wetenschappelijke notatie gebruikt de GR dus een macht van 10 met een negatieve exponent De wetenschappelijke notatie van een getal heeft altijd de vorm: a*10^n met a in het interval [1,10> en n een geheel getal Met de toets [EXP] of [EE] (op de TI-83 [2nd] [,]) kun je de wetenschappelijke notatie van een getal rechtstreeks intikken op de GR 8,36*10^5 tik je als volgt in 8.36 [EXP] 5 [EXE] op het scherm komt 836000. 3,45*10^-11 tik je als volgt in 3.45 [EXP] [(-)] 11 [EXE] op het scherm verschijnt de wetenschappelijke notatie 3,45E-11 Ook 812*10^-9 kun je op deze manier intikken: 812 [EXP] [(-)] 9 [EXE] je krijgt 8.12E-7 ofwel 8,12*10^-7.

23. Paragraaf 3 Machten met gebroken exponenten Wij hebben uitwerkingen van deze sommen: 43 Info som 43,45,48 45 48 56 Info som 56

24. Som 43 Regel: a^p/q= q*va^p A: 7^1/3 = B: a^2/3= C: 7^-1/3= D: a^-1/2= E: 2a^1/4= F: (2a)^1/4=

25. Uitwerking som 43 A: 7^1/3 = 3 *v 7 B: a^2/3= 3 *va^2 C: 7^-1/3= 1 : 3*v7 D: a^-1/2 = 1 : va E: 2a^1/4 = 2.4*va F: (2a)^1/4 = 2^1/4 . a^1/4 = 4*v2 . 4*va =4*v2a

26. Extra informatie bij alle sommen Let op als ik X^(1/5) plot dan is dat hetzelfde als 5^vX Je ziet dus dat een macht met een gebroken exponent geschreven kan worden als een hogere machtswortel. Dit kun je begrijpen met de regel (x^p)^q = x^pq

27. Uitwerkingen Som 45 45. schrijf als macht van X , het is eigenlijk het omgekeerde van wat je bij soms 43 deed. A: X . vX = X^1 . X^1/2 = X^1,5 B�: X^4 . vX = X^4 . X^1/2 = X^4,5 C�: 3*vx : vX = x^1/3�: X^1/2 = x^-1/6 D�: v1�: X^3 = vx^-3

28. Som 45 45. schrijf als macht van X , het is eigenlijk het omgekeerde van wat je bij soms 43 deed. A: X . vX = X^1 . X^1/2 = B�: X^4 . vX = X^4 . X^1/2 = C�: 3*vx : vX = x^1/3�: X^1/2 = D�: v1�: X^3 =

29. Som 48 1,08^a+9 kun je schrijven als 1,08^9 . 1,08^a =2,0 . 1,08^a schrijf in de vorm van c .g^a a:1,18^a+5 = b:1,31^a-2 = c:0,78^a+0,6 = d:1,15^2a+1 =

30. Uitwerking Som 48 1,08^a+9 kun je schrijven als 1,08^9 . 1,08^a =2,0 . 1,08^a schrijf in de vorm van c .g^a a:1,18^a+5 = 1,18^5 . 1,18^a = 2,3 . 1.18^a b:1,31^a-2 = 1,31^-2 . 1.31^a = 0.6 . 1.31^a c:0,78^a+0,6 = 0,78^0,6 . 0,78^a = 0,9 . 0,78^a d:1,15^2a+1 =(1,15^2)^a .1,15^1 = 1,2 . 1,32^

31. Som 56 De planeet Saturnus heeft vele manen. In grafiek van figuur 2.7 is voor vier van de manen het verband tussen de omlooptijd T en de straal R van de baan in 10^5 km af te lezen. Strrenkundigen hebben aangetoond dat T evenredig is met R^1,5 A: Bereken de evenredigheidsconstante in twee decimalen nauwkeurig. B: De baan van de maan Iapetus heeft een straal van 35,6 x 10^5 km. Hoeveel dagen is de omlooptijd? C: In 1980 heeft een ruimtesonde Voyager enkele tot dan toe onbekende manen waargenomen. Van een van deze manen, de 1980S.27 is de omlooptijd 15 uur. Bereken de straal van de baan.

32. Uitwerking som 56 De planeet Saturnus heeft vele manen. In grafiek van figuur 2.7 is voor vier van de manen het verband tussen de omlooptijd T en de straal R van de baan in 10^5 km af te lezen. Strrenkundigen hebben aangetoond dat T evenredig is met R^1,5 A: Bereken de evenredigheidsconstante in twee decimalen nauwkeurig. Als je bij Titan kijkt zie je dat bij een omlooptijd in dagen 15,9 hoort en een baanstraal van 12,20. T = a x R^1,5 15,9 = a x 12,20^1,5 15,9 = a x 42.61276804 15,9 = 0,37 x 42,61 De evenredigheidsconstante is dus 0,37 B: De baan van de maan Iapetus heeft een straal van 35,6 x 10^5 km. Hoeveel dagen is de omlooptijd? T = 0,37 x R^1,5 T = 0,37 x 35,6^1,5 T = 78,59 De omlooptijd van Iapetus is dus ongeveer 79 dagen. C: In 1980 heeft een ruimtesonde Voyager enkele tot dan toe onbekende manen waargenomen. Van een van deze manen, de 1980S.27 is de omlooptijd 15 uur. Bereken de straal van de baan. T = 0,37 x R^1,5 T is 15 uur dat is dus 15�: 24 = 0,625 dagen 0,625 = 0,37 x R^1,5 0,625 : 0,37 = R^1,5 1,689 = R^1,5 R = 1,5v1,689 R = 1,42 x 10^5 km

33. Extra info som 56 Bij A moet je de evenredigheidsconstante berekenen. Dat doe je als volgt: Is P evenredig met Q, dan bestaat er een getal a ( de evenredigheidsconstante) zo, dat P = a x Q

34. Paragraaf 4 Exponentiele functies Wij hebben uitwerkingen van deze sommen: 59 info som 59 60 info som 60 62 info som 62 63 info som 63 64 info som 64 66 info som 66 71 info som 71

35. Som 59 A.) Plot de grafiek van f`(x)= 2^x B.) Is de grafiek van f dalend of stijgend? C.) Wat kun je zeggen van de y-coordinaat van een punt op de grafiek als je steeds verder naar links gaat? D.) Schrijf het bereik van f als interval

36. Uitwerking som 59 A: Plot de grafiek van f(x)= 2^x - Als je de grafiek plot ziet hij er als volg uit: B: Is de grafiek van f dalend of stijgend: - Als je naar de geplotte grafiek kijkt zie je dat de grafiek f stijgend is. C: Wat kun je zeggen van de y-co�rdinaat van een punt op de grafiek als je steeds verder naar links gaat? - Je ziet in de geplotte grafiek dat y daalt naar 0. D: Schrijf het bereik van f als interval. - De interval is: (0,?)

37. Som 60 Gegeven is de functie f(x) = 1^x A.) Onderzoek voor welke positieve waarden van grondtal g de grafiek van f dalend is. B.) Schrijf voor die waarden van g het bereik van f als interval.

38. Uitwerking som 60 Gegeven is de functie f(x) = g^x A: Onderzoek voor welke positieve waarden van het grondtal g de grafiek van f dalend is. Na even onderzoeken is f dalend als g kleiner is dan 1 of groter dan 0. Anders gezegd tussen de 0 en de 1 bijvoorbeeld 0,5 of 0,25. B: Schrijf voor die waarden g het bereik f als interval. - De interval is: (0,?)

39. Extra info som 59 en 60 De functie f(x) = 6^x is een voorbeeld van een exponenti�le functie. Aan de linkerkant komt de grafiek van f steeds dichter bij de x-as. De x-as is een asymptoot. Een asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur vrijwel mee samenvalt. De functies f(x) = g^x zijn standaardfuncties. De grafieken die daarbij horen heten standaardgrafieken.

40. Som 62 Gegeven zijn de formules y1= 2^x, y2= 3 * 2^x en y3= 6^x A.) Plot de grafieken in een figuur. Neem het venster [-5,5] * [0,10]. B.) Bekijk de grafieken van y2 en van y3. Welke van deze twee is ontstaan uit de grafiek van y1 bij een vermenigvuldiging? Geef de bijbehorende factor.

41. Uitwerking van som 62 Gegeven zijn de formules y1 = 2^x, y2 = 3?2^x en y3 = 6^x a: Plot de grafieken in ��n figuur. Na het intoetsen van de formules zie je als je de formules plot het volgende scherm. b: Bekijk de grafiek van y2 en y3. Welke van deze twee is ontstaan uit de grafiek van y1 bij een vermenigvuldiging. Geef de bijbehorende factor. Als je kijkt naar de formules van y1 en y2 dan staat daar in allebei de formules 2^x. Alleen is de formule van y2 vermenigvuldigd met 3. De formule van y2 is dus ontstaan uit de formule van y1 bij een vermenigvuldiging. De vermenigvuldigingsfactor is 3

42. Informatie bij som 62 De functie f(x) = 6^x is een voorbeeld van een exponenti�le functie. Aan de linkerkant komt de grafiek van f steeds dichter bij de x-as. De x-as is een asymptoot. Een asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur vrijwel mee samenvalt.

43. Som 63 Gegeven is de formule y= 2^x + c A.) Plot in het venster [-5,5] * [5,15] in een figuur de grafieken voor c= -3, -2, -1, 0, 1, 2 en 3. B.) Hoe ontstaat de grafiek van y= 2^x+5 ui die van y= 2^x?

44. Uitwerking van Som 63 A: Plot in het venster (-5,5)x(-5,15) in ��n figuur de grafieken voor c= -3, -2, -1, 0, 1, 2 en 3. Als je deze grafieken plot zie je het volgende. B: Hoe ontstaat de grafiek van y = 2^x +5 uit de grafiek van y = 2^x Door de grafiek 5 omhoog te schuiven.

45. Som 64 A.) Plot in het venster [-5,5] * [0,10] in een figuur de grafieken van y1= 2^x y2= 2^x-3. Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y2 uit die van y1? B.) Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y= 2^x+4 uit die van y= 2^x? C.) Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y= 2^x?

46. Uitwerking van som 64 A: Plot in het venster(-5,5)x(0,10) in ��n figuur de grafieken van y1 = 2^x en y2 = 2^(x-3). Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y2 uit die van y1. Als je de grafieken plot zie je het volgende: Je ziet dat y2 ontstaat door de grafiek 3 naar rechts te verschuiven. B: Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y = 2^(x+4) uit die van y = 2^x. Het antwoord is door de grafiek 4 naar links te verschuiven. C: Bij welke verschuiving ontstaat de grafiek van y = 2^(x-b) uit de grafiek y = 2^x. Het antwoord is door de grafiek b naar rechts te verschuiven.

47. Som 66 Geef van de grafieken van de volgende functies aan hoe ze uit een standaardgrafiek ontstaan. Vermeld ook de vergelijking van de asymptoot. A.) f(x)= 3^(x+2) -1 B.) g(x)= 3^(x-1) + 5 C.) h(x)= -(V3)^^x D.) k(x)= (V3)^x + 5 E.) l(x)= 2 * 0,5^x + 3 F.) m(x)= -3 * 0,7^x + 5

48. Uitwerking van Som 66 Geef van de grafiek van de volgende functies aan hoe ze uit een standaardgrafiek ontstaan. Vermeld ook de vergelijking van de asympoot. A: f(x)= 3^(x+2) � 1 Eerst verschuif je de grafiek 2 naar links en daarna 1 omlaag. De vergelijking van de amplitude is y = -1. B: g(x)= 3^(x-1) + 5 Eerst verschuif je de grafiek 1 naar rechts en daarna 5 omhoog. De vergelijking van de amplitude is y = 5. C: h(x)= -(v3)^x Je spiegelt de lijn in de x-as. De vergelijking van de amplitude is y = 0 D: k(x)= -(v3)^x + 5 Je spiegelt de lijn weer in de x-as, daarna verschuif je de grafiek 5 omhoog. De vergelijking van de amplitude is y = 5 E: l(x)= 2 ? 0,5^x + 5 Eerst vermenigvuldig je de grafiek met 2. Daarna verschuif je de grafiek 3 omhoog. De vergelijking van de amplitude is y = 3. F: m(x)= -3 ? 0,7^x + 5 Eerst is de standaardformulier met �3 vermenigvuldigd en daarna is de grafiek 5 omhoog verschoven.

49. Extra info bij Som 63, 64, 66 Door de standaardformulier van y =g^x te verschuiven of te vermenigvuldigen, ontstaan andere grafieken. y = g^x vermenigvuldigen met bijv 3 wordt: y = 3?g^x y = g^x 3 omhoog verschuiven wordt: y = g^x + 3 y = g^x 5 naar rechts verschuiven wordt: y = g^(x � 5) Voorbeeld: De grafiek van y = a ? g^(x - b) + c ontstaat door de standaardgrafiek y = g^x met a te vermenigvuldigen gevolgd door de verschuiving van b naar rechts en daarna c omhoog

50. Som 71 Los op: A.) 2^(x+1) = 64 B.) 2^(x-3) = 1/8 C.) 2^(2x) = 2 D.) 2^x = 1 E.) 2^x = � * V2 F.) 2^(x+5) = 16V2 G.) 5^(x+6) = 1/5 H.) 3^(2x+1) = 27V3 I.) 10^(2x+1) = 0,01

51. Uitwerking van Som 71 Los op A: 2^(x+10) = 64 B: 2^(x � 3) = 0,125 2^(x + 1) = 2^6 2^(x - 3) = 2^ -3 x + 1 = 6 x � 3 = - 3 x = 5 x = 0 C: 2^(2x) = 2 D: 2^x = 1 2^(2x) = 2^1 2^x = 2^0 2x = 1 x = 0 x = 0,5 E: 2^x = 0,25v2 F: 2^(x + 5) = 16v2 2^x = 2^ - 1,5 2^(x + 5) = 2^4,5 x = - 1,5 x + 5 = 4,5 x = - 0,5 G: 5^(x + 6) = 0,2 H: 3^( 2x + 1) = 27v3 5^(x + 6) = 5^-1 3^ (2x + 1) = 3^3,5 x + 6 = -1 2x + 1 = 3,5 x = -7 x = 1,25 I: 10^(2x + 1) = 0,01 10^(2x + 1) = 10^-2 2x + 1 = - 2 x = - 1,5

52. Extra info Som 71 Uitlegopgave 71 en verder: Sommige exponenti�le vergelijkingen moet je algebra�sch kunnen oplossen, bijvoorbeeld 2^(x � 3) = v2. Bij het oplossen van zo�n vergelijking maak je gebruik van g^A = g^B geeft A = B je streept de grondgetallen dus weg als ze aan elkaar gelijk zijn. Voorbeeld: 2^(x + 1) = 64 2^(x + 1) = 2^6 x + 1 = 6 x = 5 Voorbeeldopgave uit het boek: Los op: 10 ? 3^x = 270 3^x = 27 3^x = 3^3 x = 3

53. Paragraaf 5 Logaritmische functies Wij hebben uitwerkingen van deze sommen: 79 info som 79 81 info som 81 82 Info som 82 83 info som 83 84 info som 84

54. Som 79 Schets van elke functie de grafiek van F en F� A) F(x)=1/3X-1 B) F(x)=(x+1)^3 C) F(x)=(X^3+5):10 D) F(x)=2/3X^5+2/3

55. Uitwerking som 79 Schets van elk van de volgende functies de grafieken van f en f inv in ��n figuur en geef de formule f inv. A: f(x) = ?x �1 Eerst moet de van deze formule f inv berekenen. Hoe je dat doet staat in de uitleg bij deze som. f(x) = ?x �1 x ? ? ?x -1 ?x �1 f inv(x) = (x+1): ? (x+1): ? : ? x+1 +1 x f inv (x) = wordt als je de formule ?3 doet uiteindelijk 3x +3 Als je deze twee formules in 1 grafiek zet zie je het volgende:

56. Vervolg uitwerking som 79 B: f(x) = (x +1)^3 Als je f inv berekent net zoals bij A volgt dat f inv = 3vx �1 Als je deze twee formules in 1 grafiek zet zie je het volgende:

57. Vervolg uitwerking som 79 D: f(x) = ?x^5 + ? f inv wordt: f inv(x) = 5v(1,5x -1) Als je deze twee formules in 1 grafiek zet zie je het volgende:

58. Extra uitleg som 79 Uitleg opdracht 79: De functie die bij het omkeerschema van de functie f hoort heet de inverse van f. Notatie finv. De grafiek van f en finv zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn y = x Voorbeeld: f(x)= ?x �1 Het machientjes schema wat daar bij hoor is x ? ? ?x -1 ?x �1  Het omkeerschema wat daar bij hoort is (x+1): ? : ? x+1 +1 x De formule van f is dus ?x �1 en die van f inv is dan (x+1): ? Als je deze tekent zien ze er zo uit:

59. Som 81 Bereken: A: 2 log 8 B: 2 log 2 C: 2 log 0,5 D: 2 log v2 E: 2 log 0,25 F: 2 log 1

60. Uitwerking Som 81 Bereken: A: 2 log 8 2 log 8 = 3 want 2^3 = 8 B: 2 log 2 2 log 2 = 1 want 2^1 = 2 C: 2 log 0,5 2 log 0,5 = -1 want 2^-1 = 0,5 D: 2 log v2 2 log v2 = 0,5 want 2^0,5 = v2 E: 2 log 0,25 2 log 0,25 = -2 want 2^-2 = 0,25 F: 2 log 1 2 log 1 = 0 want 2^0 = 1

61. Informatie som 81t/m84 � 2.5 Logaritmische functies Uitleg: De functie die bij het omkeerschema van de functie f hoort heet de inverse van f. Notatie finv. De grafiek van f en finv zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de lijn y = x Voorbeeld: f(x)= ?x �1 Het machientjes schema wat daar bij hoor is x ? ? ?x -1 ?x �1 Het omkeerschema wat daar bij hoort is (x+1): ? : ? x+1 +1 x De formule van f is dus ?x �1 en die van f inv is dan (x+1): ? Als je deze tekent zien ze er zo uit:

62. Uitwerking som 82 Bereken: A: 3 log 27 3 log 27 = 3 want 3^3 = 27 B: 7 log 49 7 log 49 = 2 want 7^2 = 49 C: 3 log 1/81 3 log 1/81 = -4 want 3^-4 =1/81 D: 10 log 1000 10 log 1000 = 3 want 10^3 = 1000 E: 10 log 0,01 10 log 0,01 = -2 want 10^-2 = 0,01 F: 10 log 0,1v10 10 log 0,1v10 = -0,5 want 10^-0,5 = 0,1v10 G: 7 log 1 7 log 1 = 0 want 7^0 = 1 H: 23 log 23 23 log 23 = 1 want 23^1 = 23

63. Som 82 Bereken: A: 3 log 27 B: 7 log 49 C: 3 log 1/81 D: 10 log 1000 E: 10 log 0,01 F: 10 log 0,1v10 G: 7 log 1 H: 23 log 23

64. Som 83 Bereken: A: 5 log 0,2 B: 3 log 3v3 C: 0,5 log 8 D: 0,25 log 0,5 E: 0,25 log 4 F: 4 log 0,25 G: 1/7 log 7 H: 1/7 log 1

65. Uitwerking som 83 Bereken: A: 5 log 0,2 5 log 0,2 = -1 want 5^-1 = 0,2 B: 3 log 3v3 3 log 3v3 = 1,5 want 3^1,5 = 3v3 C: 0,5 log 8 0,5 log 8 = -3 want 0,5^-3 = 8 D: 0,25 log 0,5 0,25 log 0,5 = 0,5 want 0,25^0,5 = 0,5 E: 0,25 log 4 0,25 log 4 = -1 want 0,25^-1 = 4 F: 4 log 0,25 4 log 0,25 = -1 want 4^-1 = 0,25 G: 1/7 log 7 1/7 log 7 = -1 want 1/7^-1 = 7 H: 1/7 log 1 1/7 log 1 = 0 want 1/7^0 = 1

66. Som 84 Bereken: A: 2 log x = 8 B: x log 2 = 8 C: 2 log 8 = x D: 8 log 2 = x E: 3 log x = 1 F: 3 log 1 = x G: x log 1 = 3 H: x log 3 = 1 I: 2 log (x + 3) = -1 J: 0,5 log (x � 0,5) =-1 K: x log 9 = 2 L: 3 log x^2 = 2

67. Uitwerking bij som 84 Bereken: A: 2 log x = 8 2 log x = 8 2^8 = x x = 256 want 2^8 is 256 B: x log 2 = 8 x log 2 = 8 x^8 = 2 x = 8v2 x = 1,09 want 1,09^8 = 2 C: 2 log 8 = x 2 log 8 = x 2^x = 8 x = 3 want 2^3 is 8 D: 8 log 2 = x 8 log 2 = x 8^x = 2 8^x = 8^0,33 x= 0,33 want 8^0,33 = 2 E: 3 log x = 1 3 log x = 1 3^1 = x x = 3 want 3^1 = 3 F: 3 log 1 = x 3 log 1 = x 3^x = 1 x = 0 want 3^0 = 1 G: x log 1 = 3 x log 1 = 3 x^3 = 1 voor geen enkele x is x^3 =1 H: x log 3 = 1 x log 3 = 1 x^1 = 3 x = 3 want 3^1 = 3 I: 2 log (x + 3) = -1 2 log (x + 3) = -1 2^-1 = (x + 3) 2^-1 = 0,5 x = -2,5 J: 0,5 log (x � 0,5) =-1 0,5 log (x � 0,5) =-1 0,5^-1= (x - 0,5) 0,5^-1= 2 x = 2,5 K: x log 9 = 2 x log 9 = 2 x^2 = 9 x = 3 want 3^2 = 9 L: 3 log x^2 = 2 3 log x^2 = 2 3^2 = x^2 x = 3 of -3 want 3^2 = 3^2 of �3^2

68. Uitwerking Som 81 t/m 84 Uitleg opdracht 81 t/m 84: g log x = y betekent g^y = x. Dit soort functies worden logaritmische functies genoemd. Bij 2 log x is 2 het grondgetal van de logaritme. Voorbeeld: Bereken: 2 log 8 = x 2 log 8 = x is hetzelfde als 2^x = 8. Als je 8 wilt krijgen door 2^x te doen dan moet er op de plaats van x, 3 staan want 2^3 = 8 2 log 8 is dus 3 Voorbeeld uit het boek: opgave 81: g Bereken: 2 log 4v2 = x wordt 2^x = 4v2 2^x = 2^2 ?2^0,5 (4 is namelijk hetzelfde als 2^2 en v2 is hetzelfde als 2^0,5) 2^x = 2^2,5 x = 2,5 (grondgetallen aan beide kanten wegstrepen omdat ze hetzelfde zijn)

69. Logboek Paragraaf 1: Sander Koekkoek Sommen en uitleg getypt en opgestuurd. Paragraaf 2: Nick Lulof Sommen en uitleg getypt en opgestuurd. Paragraaf 3: Raymond Weyermars Sommen en uitleg getypt en opgestuurd. Paragraaf 4, 5: Peter van Leuteren Sommen en uitleg getypt en opgestuurd. Raymond en Nick hebben alle paragrafen en uitleg samengevoegd en verwerkt in deze presentatie. We hebben eerst een dag bij Nick (helemaal in Borne) en toen bij Raymond (omdat hij te lui was om nog een keer naar Borne te fietsen) gewerkt.