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MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO Nuevos recursos para el aula

MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO Nuevos recursos para el aula. JORNADA BUENAS PRÁCTICAS. BUENAS PRÁCTICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS. NUEVOS MATERIALES Y ENFOQUES INNOVADORES.

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MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO Nuevos recursos para el aula

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  1. MATEMÁTICAS EN SECUNDARIA Y BACHILLERATO Nuevos recursos para el aula JORNADA BUENAS PRÁCTICAS BUENAS PRÁCTICAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS. NUEVOS MATERIALES Y ENFOQUES INNOVADORES JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 1

  2. OBJETIVO DE ESTA CHARLA Aportar enfoques complementarios a los estándar para introducir los contenidos de la programación de Matemáticas en Secundaria y Bachillerato. (siendo este objetivo tan amplio, obviamente esta charla únicamente pretende trazar algunos caminos para alcanzar este objetivo). JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 2

  3. ¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES? En los rankings actuales desde no salimos favorecidos, y aunque no por sí mismos no son una justificación para el cambio, evidencian que las cosas, en nuestra enseñanza matemática, no van bien. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 3

  4. ¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES? En los rankings actuales desde no salimos favorecidos, y aunque no por sí mismos no son una justificación para el cambio, evidencian que las cosas, en nuestra enseñanza matemática, no van bien. Quizás así introducido, suena un poco alarmante, y creéis que hay que poner patas arriba la forma de enseñar matemáticas ... JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 4

  5. ¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES? • Yo personalmente no lo creo. De hecho creo que NUNCA ANTES: • Hubieron tan buenos materiales como ahora para explicar matemáticas (libros de textos, material didáctico, ordenadores, revistas docentes, etc). • Un grupo tan amplio y bien preparado de profesorado estuvo a disposición de la sociedad para ayudar a nuestros jóvenes. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 5

  6. ¿POR QUÉ HAY QUE PENSAR EN INTRODUCIR NUEVOS ENFOQUES? • Yo personalmente no lo creo. De hecho creo que NUNCA ANTES: • Hubieron tan buenos materiales como ahora para explicar matemáticas (libros de textos, material didáctico, ordenadores, revistas docentes, etc). • Un grupo tan amplio y bien preparado de profesorado estuvo a disposición de la sociedad para ayudar a nuestros jóvenes. ¡sin embargo no dejamos todos de reconocer que los resultados no son los deseables! JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 6

  7. Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 7

  8. Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales. El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 8

  9. Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales. El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos. Y esto hay que hacerlo por compromiso con la sociedad, … JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ ALZIRA (2008) 4ª sesión 9

  10. Este es en realidad un problema global que requiere de muchos compromisos locales. El nuestro, el de los profesores de matemáticas, es el de esforzarnos por hacer nuestro trabajo lo mejor posible, y eso incluye la búsqueda de alternativos enfoques en todo aquello que le transmitimos a nuestros alumnos Y esto hay que hacerlo por compromiso con la sociedad, … pero también por nosotros “Nada más estimulante para alguien que disfruta enseñando, que el estímulo de enseñar algo nuevo” Por mi experiencia, la transmisión de nuevos enfoques supone en sí mismo algo estimulante para mi. Y la ilusión SE CONTAGIA. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 10

  11. ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES INGREDIENTES PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS SECUNDARIA Y BACHILLERATO JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 11

  12. ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES INGREDIENTES • Números • Álgebra • Funciones • Geometría • Probabilidad • Estadística • … PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS SECUNDARIA Y BACHILLERATO JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 12

  13. ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES INGREDIENTES • Números • Álgebra • Funciones • Geometría • Probabilidad • Estadística • … • Cabri • Derive • Geogebra • Excel • … PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS SECUNDARIA Y BACHILLERATO JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 13

  14. ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES INGREDIENTES • Números • Álgebra • Funciones • Geometría • Probabilidad • Estadística • … • Cabri • Derive • Geogebra • Excel • … PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS SECUNDARIA Y BACHILLERATO Pero además yo también incluiría … JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 14

  15. ANTES DE EMPEZAR, ALGUNAS REFLEXIONES INGREDIENTES ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS MODELIZACIÓN MATEMÁTICA PROGRAMACIÓN MATEMÁTICAS SECUNDARIA Y BACHILLERATO Además de otras especias que dependerán del menú específico que preparemos JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 15

  16. ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 16

  17. Problemas y ejercicios: dos quehaceres bien diferentes ¿Qué es un verdadero problema? La mayoría de las actividades que encontramos al final de cada lección de los textos de secundaria y bachillerato de matemáticas son EJERCICIOS. Son cuestiones más o menos difíciles que, por su colocación dentro del libro, sabemos con qué conjunto de técnicas pueden ser resueltas. En cambio, un PROBLEMA, es una situación que se te presenta en la que sabes, más o menos, adónde quieres ir, pero en principio no sabes cómo llegar. La principal dificultad consistirá entonces, en saber aclarar la situación y dar un camino adecuado para resolverla. En un verdadero problema no se sabe a priori qué técnica será la adecuada para resolverlo. Lo más probable es que no hayas visto nunca dicha técnica, más bien, tú, a partir de todos tus conocimientos, construyes el camino que resuelve el problema. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 17

  18. Problemas y ejercicios: dos quehaceres bien diferentes La RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS es un arte que sólo se aprende con considerable ESFUERZO, paciencia, sin angustias, aprendiendo de los propios errores, tratando de sacar partido a los fracasos iniciales y, observando y comparando nuestros modos de proceder con los de los expertos. La RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS como parte de la Matemática es relativamente reciente. Y sus primeras contribuciones se deben a al brillante matemático húngaro GEORGE POLYA, quien prestó atención a esta parte de las Matemáticas en sus obras. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 18

  19. Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas • FAMILIARÍZATE CON LA SITUACIÓN. • Actúa como Sherlock Holmes: recopila toda la información que puedas (por absurda que pueda parecer en un principio); juega con la información que tengas para familiarizarte con el problema. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 19

  20. Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas • BUSCA ESTRATEGIAS. • Práctica el llamado brainstorming: dedica un tiempo a pensar en posibles formas de atacar el problema, sin importar las ideas que salgan (no descartes a priori ninguna). He aquí algunas: • BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS • EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL • EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS • HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES • MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO • ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN • SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA • SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA? • SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO • PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, … JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 20

  21. Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas • APLICA LA ESTRATEGIA QUE ELIJAS. • Lleva adelante las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la fase 2. • Hazlo una a una, sin aturullamientos, sin prisas, de forma relajada. Apunta todo lo que se te ocurra cada vez que pienses en una idea, aunque luego la descartes, esas ideas aparentemente inconexas pueden ser útiles. • No te rindas fácilmente, pero tampoco te encabezones en una idea. • Si una idea parece que puede funcionar, aunque parezca difícil, no abandones. Tómate tu tiempo. Si se resiste demasiado, tal vez, sea mejor pasar a otra estrategia. Debes estar preparado a renunciar a una idea que hayas trabajado durante tiempo, porque puede que finalmente no funcione. • ¿Lo resolviste?. ¿Seguro?. Analiza a fondo tu solución. • No te engañes a ti mismo, chequea de todas las formas posibles que esa solución es correcta. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 21

  22. Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas • SACA JUGO AL PROBLEMA Y A TU EXPERIENCIA. • Examina a fondo el camino que has seguido. • Si lo conseguiste, ¿cómo llegaste a la solución?. En caso contrario, ¿por qué no lo lograste? • ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Por qué no? • ¿Habías intuido la estrategia correcta de la Fase 2? ¿Por qué no? • ¿Cuál fue la clave para elegir bien el camino? ¿Por qué no diste con ella? • Trata de entender por qué la cosa funciona. • Profundiza en las claves de la solución, te pueden ser útiles en más ocasiones. • ¿Puedes hacerlo de forma más simple? • Normalmente la primera respuesta a un problema no es la que figura en los textos: quita la paja que hayas introducido, simplifica y depura tu solución, siempre se puede. JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 22

  23. Las 4 fases del proceso de Resolución de Problemas • SACA JUGO AL PROBLEMA Y A TU EXPERIENCIA. • Analiza hasta dónde es útil el método seguido. Puede que sea útil no sólo en esta ocasión, sino en situaciones más generales. • Puedes tratar de inventar problemas que se resuelvan con la misma idea feliz. • Reflexiona sobre tu propio proceso de pensamiento seguido y saca consecuencias para el futuro. • Si te conoces a ti mismo (tus puntos fuertes y débiles sacarás una gran ventaja al resto cuando trates de enfrentarte a cualquier problema). ¡Ahora vamos a ilustrar algunas de las estrategias! JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 23

  24. BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS • EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL • EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS • HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES • MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO • ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN • SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA • SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA? • SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO • PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, … JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 24

  25. Estrategias para la Resolución de Problemas EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39? ¡este no es un verdadero problema si se usa el ordenador! JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 25

  26. Estrategias para la Resolución de Problemas EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39? ¡este no es un verdadero problema si se usa el ordenador! • La última cifra de 3723 es la misma que la de 723. Luego, el problema se reduce a estudiar las cifras finales de 123 , 223, …, 923. • Experimentemos un poco y ordenemos los resultados: JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 26

  27. Estrategias para la Resolución de Problemas EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39? ¡este no es un verdadero problema si se usa el ordenador! • La última cifra de 3723 es la misma que la de 723. Luego, el problema se reduce a estudiar las cifras finales de 123 , 223, …, 923. • Experimentemos un poco y ordenemos los resultados: JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 27

  28. Estrategias para la Resolución de Problemas EXPERIMENTA, OBSERVA, BUSCA PAUTAS, REGULARIDADES. HAZ CONJETURAS Y TRATA DE DEMOSTRARLAS CIFRAS FINALES. ¿Cuál es el dígito final de las potencias de exponente 23 de los números: 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 y 39? • Las terminaciones de n3, n7, n11, n15, n19 y n23 coinciden. Luego la terminación de n3 y las de n23 son iguales. se repite JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 28

  29. BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS • EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL • EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS • HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES • MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO • ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN • SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA • SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA? • SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO • PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, … JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 29

  30. Estrategias para la Resolución de Problemas ELIGE UNA BUENA NOTACIÓN PARA PRACTICAR EN EL AULA PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observa ¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos siempre es un cuadrado perfecto menos la unidad? JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 30

  31. Estrategias para la Resolución de Problemas ELIGE UNA BUENA NOTACIÓN PARA PRACTICAR EN EL AULA PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observa ¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos siempre es un cuadrado perfecto menos la unidad? Se puede intentar así: JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 31

  32. Estrategias para la Resolución de Problemas ELIGE UNA BUENA NOTACIÓN PARA PRACTICAR EN EL AULA PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Observa ¿Será verdad que el producto de cuatro enteros consecutivos siempre es un cuadrado perfecto menos la unidad? 1 Se puede intentar así: M Pero es más fácil así: JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 32

  33. Estrategias para la Resolución de Problemas DIVIDE EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS SUMA DE FACTORIALES. Calcula los dos últimos dígitos de la suma JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 33

  34. Estrategias para la Resolución de Problemas DIVIDE EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS SUMA DE FACTORIALES. Calcula los dos últimos dígitos de la suma • Calcula los dos últimos dígitos de 1!, 2!, 3!, …, 10! • Justifica que a partir de la suma desde 1! hasta 10!, el resultado tiene siempre al menos dos ceros. Luego: JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 34

  35. Estrategias para la Resolución de Problemas DIVIDE EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS SUMA DE FACTORIALES. Calcula los dos últimos dígitos de la suma 4037913 94269001683709979260859834124473539872070722613982672442938359305624678223479506023400294093599136466986609124347432647622826870038220556442336528920420940313 JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 35

  36. BUSCA SEMEJANZA CON OTROS PROBLEMAS MÁS SENCILLOS • EMPEZAR POR LO FÁCIL HACE FÁCIL LO DIFÍCIL • EXPERIMENTA Y BUSCA REGULARIDADES O PAUTAS • HAZTE UN ESQUEMA Y, SI SE TERCIA, PÍNTALO DE COLORES • MODIFICA EL PROBLEMA Y CAMBIO ALGO DEL ENUNCIADO • ESCOGE UNA BUENA NOTACIÓN • SI PUEDES, APROVECHA LA SIMETRÍA • SUPONGAMOS QUE NO,… ¿ADÓNDE NOS LLEVA? • SUPONGAMOS EL PROBLEMA RESUELTO • PIENSA EN MÉTODOS GENERALES CONOCIDOS: INDUCCIÓN, DESCENSO, PROCESO DIAGONAL, PRINCIPIO DEL PALOMAR, … JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 36

  37. Estrategias para la Resolución de Problemas APROVECHA LA SIMETRÍA EL CAMINO MÁS CORTO. Una empresa tiene dos sedes en las ciudades A y B cerca de las cuales pasa una línea ferroviaria y a cuyo lado desea instalar un centro logístico. ¿Cuál debe ser su ubicación para que la distancia a recorrer por la flota de distribución sea mínima? B A Línea ferroviaria JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 37

  38. Estrategias para la Resolución de Problemas APROVECHA LA SIMETRÍA EL CAMINO MÁS CORTO. Una empresa tiene dos sedes en las ciudades A y B cerca de las cuales pasa una línea ferroviaria y a cuyo lado desea instalar un centro logístico. ¿Cuál debe ser su ubicación para que la distancia a recorrer por la flota de distribución sea mínima? B A Línea ferroviaria Conocer las herramientas adecuadas nos puede ayudar JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 38

  39. C Línea ferroviaria B A JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 39

  40. C Línea ferroviaria Línea ferroviaria B (b1 , b2 ) B A (a1 , a2 ) A C (c1 , c2 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 40

  41. Introducimos ejes cartesianos C Línea ferroviaria Línea ferroviaria Línea ferroviaria Asumimos coordenadas positivas B (b1 , b2 ) B (b1 , b2 ) B A (a1 , a2 ) A (0, a2 ) A C (c1 , c2 ) Desplazamos adecuadamente los ejes C (c1 , 0 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 41

  42. Línea ferroviaria Función objetivo: B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) C (c1 , 0 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 42

  43. Línea ferroviaria Función objetivo: B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) Puntos críticos: C (c1 , 0 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 43

  44. Línea ferroviaria Función objetivo: B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) Puntos críticos: C (c1 , 0 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 44

  45. Línea ferroviaria Función objetivo: B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) Puntos críticos: C (c1 , 0 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 45

  46. Línea ferroviaria Función objetivo: B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) Puntos críticos: C (c1 , 0 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 46

  47. Línea ferroviaria Función objetivo: B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) Puntos críticos: C (c1 , 0 ) ¡esto tiene interpretación! JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 47

  48. Línea ferroviaria Función objetivo: B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) Puntos críticos: C (c1 , 0 ) Mínimo global ¡esto tiene interpretación! JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 48

  49. ¡pero observemos que LA SIMETRÍA nos puede ayudar! Línea ferroviaria B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) C (c1 , 0 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 49

  50. ¡pero observemos que LA SIMETRÍA nos puede ayudar! Línea ferroviaria B (b1 , b2 ) A (0, a2 ) A’ (0, - a2 ) C (c1 , 0 ) JUAN CARLOS CORTÉS LÓPEZ CONSELLERIA D’EDUCACIÓ VALENCIA, 27 de enero 2011 50

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