24.3 解直角三角形及其应用

1. 24.3 解直角三角形及其应用

2. 解直角三角形的原则： (1) 有角先求角 无角先求边 (2) 有斜用弦, 无斜用切； 宁乘毋除, 取原避中。 仰角:水平线与在它上方的视线所成的角. 俯角:水平线与在它下方的视线所成的角

3. 例1.一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东30度,轮船向正北航行15海里后到达B处,这时灯塔S恰好在船的正东.求灯塔S与B处的距离.(精确到0.1海里)例1.一艘轮船在A处观测灯塔S在船的北偏东30度,轮船向正北航行15海里后到达B处,这时灯塔S恰好在船的正东.求灯塔S与B处的距离.(精确到0.1海里) 例2.在地面上,利用测角仪CD,测得旗杆顶A的仰角为45度,已知点D到旗杆底部的距离BD=28米,测角仪高CD=1.3米.求旗杆高AB(精确到0.1米) 画出平面图形

4. 例3.一铁路路基的横断面是等腰梯形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为5.8米,斜坡与地面所成的角A为60度.求路基低部的宽(精确到0.1米)例3.一铁路路基的横断面是等腰梯形,路基顶部的宽为9.8米,路基高为5.8米,斜坡与地面所成的角A为60度.求路基低部的宽(精确到0.1米) • 坡角:坡面与水平的夹角.通常指锐角或直角. • 坡度(或坡比):坡面的垂直高度h与水平宽度l的比.

5. 练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m)?练习：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m)? B A D C

6. 例4：海上有一座灯塔P，在它周围3海里内有暗礁，一艘客轮以每小时9海里的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,继续行驶20分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的北偏东45°,问客轮不改变方向，继续前进有无触礁的危险？例4：海上有一座灯塔P，在它周围3海里内有暗礁，一艘客轮以每小时9海里的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°,继续行驶20分钟后，到达B处，又测得灯塔P在它的北偏东45°,问客轮不改变方向，继续前进有无触礁的危险？ ∵∠1＝60 ° ∠2＝45° 3 3 北 PD AD = ( 3 + x ) · 东 + 3 3 ∴x = 3 2 解：过P点作PD垂直于AB，交AB的延长线于D P ∴∠PAD=30°,∠PBD=45° ∠PBD=45° 在Rt△BDP中， ∴BD = PD AB = 9 ×20÷60 = 3海里 x 设BD=PD= x海里 ∴AD =( 3+x)海里 60° tan A= 在Rt△ADP中 45° 2 x = AD · tan30° 1 x A B D PD = x > 3 ∴ 无 触 礁 危 险

7. 练习:公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学.AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受噪音的影响.那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.已知拖拉机的速度是18千米/小时，如果受到影响，那么学校受影响的时间是多长？练习:公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学.AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米内会受噪音的影响.那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由.已知拖拉机的速度是18千米/小时，如果受到影响，那么学校受影响的时间是多长？ 解：过点A作AB垂直于MN，垂足为B点。 ∵ PBA=90°， BPA=30°， PA=160米 ∴AB=80米〈100米 N ∴受影响. D 以A为圆心，100米为半径作圆弧，与PN交于点C、D. B ∟ 连接AC，AD。 C ∵AC=100米，AB=80米 30° · ∴BC=60米 ︵ 160 A Q P ∴CD=2BC =120米 M ∵v=18千米/小时=5米/秒 ∴t=s/v=120/5=24（秒） 答：学校受影响，时间为24秒.

8. 30° C . 45° 45° B A D E 例5 :一船向正东航行,在A处望见灯塔C在东北方向,前进到B处望见灯塔C在北偏西300,又航行了半小时到达D处,望见灯塔C在西北方向,若航速为每小时20海里,求AD两点的距离,(结果不取近似值) 设BE为x，列方程

9. 例6、一架外国侦察机沿ED方向侵入我国领空进行非法侦察，我空军派出战斗机沿AC方向与外国侦察机平行飞行，进行跟踪监视，我机在A处与外国侦察机在B处的距离为50米，CAB为30°。这时外国侦察机突然转向，以偏左45°的方向飞行，我机继续沿AC方向以400米/秒的速度飞行。外国侦察机想在C点故意撞我战斗机，使我机受损。问外国侦察机由B到C的速度是多少？（ 21.414， 31.732，62.449，结果保留整数） _ _ _ – – ∴BF=25米，AF=253米 ∴ CF=BF=25米，BC=252米 252 —— V 253+25 ——— – – 400 = – – V=200(6–2) 207米/秒 C D 解：过点B作BF垂直于AC，垂足为F点。 45° ∵BFA=90°， A=30°，AB=50米 ︶ ∟ · B F ∵ BFC=90°， CBF=45° 30° 50 ︶ 设外国侦察机由B到C的速度是V米/秒 E A 答：外国侦察机由B到C的速度约是207米/秒。

10. 解直角三角形在几何中的应用，关键是通过作垂线的方法，合理地构造出将已知元素和未知元素包含在内的直角三角形，分析已知量与未知量在这个三角形中的联系。解直角三角形在几何中的应用，关键是通过作垂线的方法，合理地构造出将已知元素和未知元素包含在内的直角三角形，分析已知量与未知量在这个三角形中的联系。

11. α 练习： 如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看低平面控制点B的俯角α=16031／，求飞机A到控制点B的距离.

12. 练习 某人在A处测得大厦的仰角∠BAC为300 ,沿AC方向行20米至D处,测得仰角∠BDC 为450,求此大厦的高度BC. B 300 450 A D C

13. （五）单元达标测试题 一 选择题 1 在下列直角三角形中，不能求出解的是（ ） A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角 C 已知斜边和一个锐角 D 已知两直角边 （目标1）2 在Rt△ABC中,∠C=900,cosB=2/3,则 a:b:c=( ) A 2:√5:3 B 1:√2:√3 C 2:√5:√3 D 1:2:3 3 在Rt△ ABC中,CD为斜边AB上的高,则下列线段的比等于sinA的是( ) A AB/BC B CD/AC C BD/DC D BC/AC 4 在△ ABC中,C =900,A=600,两直角边的和为14,则a=( ) A 21-7√3 B 7√3-7 C 14√3 D 1+√3 （目标2）5 在△ ABC中，∠B＝450，∠C=600，BC边上的高AD=3，则BC=（ ） A 3+3√3 B 2+√3 C 3+√3 D √2+√6 6 在等腰△ ABC中，顶角为锐角，一腰上的高线为1 ，这条高线与 另一腰的夹角为450，则三角形ABC的面积为（） A√2/2 B √3 C 1/2 D 1/4

14. 二 填空题 （目标1）1 在在Rt△ABC中， ∠C=900，如果已知b和∠A，则a= c= （用锐角三角函数表示） （目标2）2在△ ABC中,C =900,A=600，a+b=3+√3，则c= 3 山坡与地面成300的倾斜角，某人上坡走60米，则他 （目标3） 上升 米，坡度是 4 如图已知堤坝的横断面为梯形，AD坡面的水平宽度为 3√3米，DC=4米，B=600，则 （1）斜坡AD 的铅直高度是 （2）斜坡AD 的长是 （3）坡角A的度数是 （4）堤坝底AB的长是 （5）斜坡BC的长是 i=1：√3

15. （目标3）6 如图从山 顶A望地面的C、D 两点，俯角分别时450、600， 测得 CD=100米，设山高AB=x则列出关于X的方程是 解得x= 三 解答题 （目标2）1在在Rt△ABC中， ∠C=900，a+b=12， tanB=2，求C的值及∠ABD的度数 （目标3）2 山顶上有一座电视塔，在塔顶B处测得地面上 一点A的俯角=600，在塔底C处测得A的俯角 α=450，已知塔高为β=60米，求山高 （目标3）3 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座小山，已知 山脚和山顶的水平距离为1550米，山高为565米，如果这辆坦克能够爬250的斜坡，试问：它能部能通过这座小山 ？ α β

16. （目标3） 4外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域. 450 600 （目标3）四 探索题 湖 面上有一塔,其高为h在塔上测得空中一气球的仰角α ,又测得气球在湖中的俯角为β试求气球距湖面的高度h.