Sistemi di numerazioni e metodi di trasformazioni

1. Sistemi di numerazioni e metodi di trasformazioni

2. Un po’ di storia……… • La nozione di numero, insieme a quella di grandezza risale alle epoche più antiche in cui visse l’uomo. Come testimonianze abbiamo le pitture rinvenute sulle pareti delle caverne preistoriche. • L’uomo primitivo aveva già il concetto di differenza fra una pecora e un gregge. A poco a poco però questa osservazione delle differenze condusse al riconoscimento delle analogie quantitative: un animale feroce e la sua preda, una pecora con il suo agnello hanno qualcosa in comune: il fatto di essere una coppia di elementi. • B.Russel, un matematico (1872-1970) scriveva in proposito: ”devono essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di fagiani e un paio di giorni sono entrambi espressi dal numero 2”. Da questo si capisce che si può indicare una pecora e un gregge con un solo numero, il numero1.

3. Il nostro sistema di numerazione si diffonde in Europa a partire dal XIII secolo. Fino ad allora si utilizzavano i numeri romani e ci si aiutava con degli strumenti, detti abachi, nell'esecuzione dei calcoli. • Il nuovo sistema giunge a noi, come vedremo, dagli arabi che a loro volta lo avevano appreso dagli indiani. Per questo viene indicato come sistema indo-arabico. • Nel mondo arabo uno dei primi riferimenti al sistema indiano si registra verso il 650 d.C. quando un vescovo siriano, Severus Sebock, accenna in un suo scritto ai nove segni degli Indiani con cui si riesce a scrivere ogni numero. • Nel 772 il califfo Al-Mansur riceve una delegazione di astronomi e studiosi indiani che gli portano in dono un'opera denotata dagli arabi come Sindhind opera astronomica in cui si mostra anche come usando solo nove segni sia possibile scrivere qualunque numero ed eseguire facilmente calcoli. Pochi anni più tardi l'opera viene tradotta in arabo, ma tale versione è andata perduta.

4. Negli antichi sistemi di numerazione non esisteva alcun simbolo che rappresentava lo zero. • Nella lingua italiana il vocabolo zero non ha un vocabolo corrispondente, si può trovare nihil, nullus, numerusche significano nulla, nessun numero ma non zero. • Il vocabolo zero deriva dall’arabo sifrche vuol dire vuoto.Leonardo Pisano detto “Fibonacci” nella sua opera Liber Abbaci, editata nel 1202 cercò una parola molto simile alla parola araba e scrisse zephirus (zefiro) il termine sifr ha dato luogo alla parola cifra, denominazione estesa a tutti i simboli del sistema di numerazione decimale. • Insomma, fu con l’uso della numerazione scritta posizionale arabica, che, a sua volta, rifletteva quella indiana, che l'Europa aveva scoperto grande importanza dello zero.

5. Sistemi additivi e posizionali Un sistema di numerazione è un insieme finito di simboli,detti cifre, e di regole che consentono di rappresentare i numeri naturali.I sistemi di numerazione possono essere suddivisi in due grandi gruppi: • Sistemi additivi,in cui ogni cifra ha un valore prefissato e immutabile mentre il valore complessivo del numero si ottiene sommando fra loro le cifre che lo compongono; Per esempio nella num. romana il numero 673 è rappresentato dai simboli  DCLXXIII e cioè 500+100+50+10+10+1+1+1=673. Tale scrittura additiva dei numeri rendeva però complessa l'esecuzione delle operazioni aritmetiche, per cui col tempo si andò affermando il principio di posizione.

6. 2) Sistemi posizionali,in cui il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che occupa nella rappresentazione stessa. Il sistema di numerazione più diffuso in antichità è additivo,usato dai greci,egizi,romani e popoli d’Israele.

7. Sistemi di numerazioni • I moderni sistemi di numerazione sono posizionali cioè tutti i simboli (o cifre) vengono ordinati in modo che ognuno abbia un valore di un’unità più alto di quello della cifra precedente e quando più cifre vengono combinate insieme il valore del numero rappresentato dipende anche dalle loro posizioni relative. • Il numero delle cifre di cui si avvale un sistema di numerazione prende il nome di base. • La scelta della base in un sistema di numerazione è determinata da ragioni di comodo.

8. Ognuno di essi ha pregi che ne giustificano l’uso in particolari fasi del processo di analisi digitale. Nella prima parte verranno descritti i quattro sistemi e nella seconda si vedrà come trasformare un numero da una forma all’altra e nella terza parte vedremo le operazioni.

9. Regola generale Regola generale:Un numero N in base b è rappresentato da una sequenza di caratteri (cifre) a n a n-1 ...a 2 a 1 a 0 Il valore di N è dato da: N= a n b n +a n-1 b n-1 +...+a 2 b 2 +a 1 b 1 +a 0 b 0 con b>1 e 0<=a i <b

10. Rappresentazione decimale • Il sistema decimale comprende le seguenti cifre o simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • La posizione che ogni cifra ha in un numero da il peso che ha quel numero Esempio: In 1.935 5 è una unità; 3 è una decina; 9 è una centinaia; 1 è una migliaia Ogni numero ha inoltre una forma polinomiale che si scrive come nel seguente esempio: 1.104 + 9.103 + 3.102 + 5.101

11. Noi, esseri umani, siamo abituati, per cultura, ad utilizzare il sistema decimale; 10 numeri, da 0 a 9, che identificano 10 precise grandezze. Quando il valore da esprimere è superiore, passiamo alla grandezza successiva (il 10, per esempio, significa 1 decina e 0 unità; il 179 significa 1 centinaio, 7 decine e nove unità; il 2134 significa 2 migliaia, 1 centinaio, 3 decine e 4 unità; e così via).

12. Sviluppando, per esempio, lo schema matematico del numero 2134 avremo: • 2 migliaia (1000=103) = 20001 centinaio (100=102) = 1003 decine (10=101) = 304 unità (1=100) = 4

13. Da notare che il termine "decimale" deriva dalla base usata (il 10, appunto) come moltiplicatore. Ogni grandezza successiva consiste nella base elevata alla potenza corrispondente la posizione del valore stesso. La posizione iniziale (unità) corrisponde alla base (10) elevata alla potenza di 0; la seconda posizione (decina) corrisponde alla base (10) elevata alla potenza di 1; la terza posizione (centinaia) corrisponde alla base (10) elevata alla potenza di 2 … e così via.

14. In realtà, questo metodo di calcolo, più complicato da spiegare che da usare, è solo una nostra scelta per una nostra precisa comodità (forse perché dotati di 10 dita), ma nessuno vieta di usare altri sistemi di calcolo basati su un numero differente di valori.

15. Corrado È il sistema più conosciuto dall’Uomo La base â è pari a 10 I simboli utilizzati sono 0,1,2,…,9 dal significato ovvio Esempio: la stringa 2349 rappresenta il numero 2*103+3*102+4*101+9*100. I numeri decimali sono facilmente intelligibili