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NUMEROS COMPLEJOS Presentado por: . Álvarez Reyes .Alexander Rodríguez . Karen Pabón .Nicole Palomino 10-2
ORÍGEN DE NÚMEROS COMPLEJOS Losnúmeros que conocemos y usamos están englobados en una categoría matemática, llamada Número Reales. Desde la utilización misma de los números a través de diferentes medios se ha logrado solucionar diferentes problemas, pero que sucedía cuando la utilización de estos no era suficiente? Así nació la necesidad de inventar los números complejos que lograran remplazar que lograran sustituir las fórmulas convencionales, que se presentaban poco útiles ante ciertas incógnitas presentes en la época. Fueron creados cuando los matemáticos se encontraron con el problema de resolver la raíz cuadrada de un numero negativo. Debido a que no todos los problemas pueden resolverse con números reales, se aprendió que era posible calcular la raíz cúbica de -1 o de —8. Así Sabemos por ejemplo, que la raíz cúbica de -1 es igual a -1., ya que (—1)3 = —1 Igualmente, la raíz cúbica de -8 es igual a -2, porque (—2)3 = —8. Hasta acá todo bien, pero que sucede cuando se quería obtener, por ejemplo, la raíz cuadrada de -4, cuanto es?....si probamos con 2 no puede ser porque 22 = 4, y si probamos con -2, tampoco es porque (-2)2=4, también obtenemos 4. Como se observa es imposible obtener un valor para una raíz de índice par, en este caso 2 (cuadrada), de un numero negativo, entonces frente a este inconveniente, se inventaron los números complejos. El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas.
UNIDAD IMAGINARIA El símbolo que se utiliza para simbolizarlos números complejos es la letra (i), de imaginarios, porque son números que no se pueden representar en la coordenadas reales como hacemos habitualmente. Corresponde al gran matemático Leonhard Euler, la designación de tal simbología. En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i (por “imaginario”), que después de eso se adoptó de manera general, y por definición: i2=-1Entonces retomando el ejemplo anterior, en donde se desea obtener, la raízcuadrada de -4,la respuesta es: 2i, de tal manera que si hacemos al revés, es decir, 2i . 2i = 4. i2= 4. (-1)=-4, valor correcto La unidad imaginaria se definiría como Término que daría como resultado
Operación De Números Complejos Hay diferentes propiedades de la operación de números complejos, estas son: Suma: Producto por escalar: donde Multiplicación: Igualdad: EJEMPLOS: Dados (2,1) y (0,-3) hallar:
Expresión De Números Complejos Teniendo en cuenta que el módulo o valor absoluto del numero complejo a+bi es la distancia del origen de las coordenadas al punto (a, b) que representa al numero complejo a+bi. Se denota la+bil .Al aplicar el teorema de Pitágoras, se obtiene que la+b a^2 + b^2 Hay diferentes formas de representar los números complejos, estas son: Forma Binómica: Un número complejo se representa en forma binomial como La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación: Forma Polar : En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial: Sacamos factor común r: Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
Representación De Números Complejos En El Plano Cartesiano El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto. Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler. Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w. Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos. La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.
