FORMAZIONE delle STRUTTURE

1. FORMAZIONEdelleSTRUTTURE • INTRODUZIONE • TEORIA • OSSERVAZIONI Lisiero Egle Bibliografia

2. R : raggio del volume sferico in considerazione n: densità numerica di particelle n-1/3: libero cammino medio per particella FLUTTUAZIONE STATISTICA: N = n V ; V = (4/3)πR3 N' = N – ΔN = nV ' = n(4/3)π(R-n-1/3 )3 = = n(4/3)πR3 (1 – R-1n-1/3 )3 ~ ~n(4/3)πR3 (1 – 3R-1n-1/3) ΔN = n(4/3)πR3 (3R-1n-1/3) = = 4π (nR3)2/3 =(36π)1/3 N2/3 n-1/3 N’ = n V' ; V' = (4/3)π(R-n -1/3)3 ΔN/N ~ N-1/3

3. CRITERI DI INSTABILITÀ GRAVITAZIONALE: Si consideri una disomogeneità sferica di raggio R in un background statico di un fluido collisionale • FGRV> FPRS : GρR3/R2 > PR2/ ρR3 • U(en grv) > K(en cnt th) : G(ρR3)/R > Cs2 • Τff > Tidrodinamico : (Gρ)-1/2 > R/Cs Si ottiene da ogni condizione: R > (Cs2/ Gρ)1/2

4. EVOLUZIONE DELLE FLUTTUAZIONI Per lo studio delle fluttuazioni di densità in un fluido sono necessarie tre equazioni*: • eqz di continuità: ∂ρ/∂t + (ρv) = 0 • eqz di Poisson: 2φ = -4πGρ • eqz di Eulero: ∂v/∂t = -(v )v - P/ρ+ φ * i termini dissipativi sono trascurati

5. TEORIA DI JEANS • ipotesi sul fluido di background: -fluido collisionale -fluido statico • soluzioni di background: P = P0 ; ρ = ρ0 ; g = 0 ; v = 0 • soluzioni per le perturbazioni del background: P = P0+ δP ; ρ = ρ0+δρ ; g = δg ; v = δv

6. RISULTATI DELLA TEORIA DI JEANS inserendo nelle equazioni descriventi il fluido le soluzioni per le fluttuazioni, si ottiene, trascurando i termini di ordine superiore, un’ equazionelineare per i modi dello sviluppo di Fourier della deviazione normalizzata dalla densità di background δρ/ρ : δk+ w2δk = 0dove w2 = Cs2k2 - 4πGρ0 si ottengono quindi due soluzioni definenti due regimi differenti: per w2 > 0 (k > kj = (4πGρ0 )1/2/Cs) : REGIME ARMONICOδk = Aeiwt + Be-iwt < 0 (k < kj = (4πGρ0 )1/2/Cs) : REGIME ESPONENZIALEδk = Aeμt + Be-μt Con μ² = -w² Dal modello di background statico di Jeans si definisce una lunghezza caratteristica tale per cui, se la perturbazione risultasse essere estesa in un volume definito da dimensini lineari maggiori di tale grandezza, andrebbe incontro a collasso gravitazionale, altrimenti si propagherebbe come un’onda sonora. Tale lunghezza, che prende il nome diLUNGHEZZA DI JEANS, è definita come: λj = 2π/kj = Cs(π/Gρ0)1/2

7. TEORIA DI LIFSHITZ • ipotesi sul fluido di background: -fluido collisionale -fluido in espansione • soluzioni di background*: Pb = 0 ; ρb = ρ0(R0/R)3; gb = -(4/3)πGρr ; vb = r(R/R) • soluzioni per le perturbazioni del background: P = δP ; ρ = ρb+δρ ; g = gb + δg ; v = vb + δv *tali soluzioni descrivono un fluido di polveri in espansione descritto dalle equazioni di Friedman, poiché R(t) è definito come il parametro di espansione a(t).(appendice A)

8. RISULTATI DELLA TEORIA DI LIFSHITZ inserendo nelle equazioni descriventi il fluido le soluzioni per le fluttuazioni, si ottiene, trascurando i termini di ordine superiore, un’ equazione lineare per i modi dello sviluppo di Fourier della deviazione normalizzata dalla densità di background δρ/ρ : δk+ δk(2 a/a)+ w2δk = 0dovew2 = Cs2k2/a2 - 4πGρb L’ equazione che si ottiene differisce da quella ottenuta nella trattazione di Jeans per il termine di smorzamento δ'k(2 a'/a). La presenza di questo termine porta ad ottenere due soluzioni differenti rispetto a quelle di Jeans, ed il vettore d’onda definente il limite tra regime di collasso gravitazionale e quello di propagazione come onda di compressione risulta ora dipendere dal parametro di espansione a. per w2 > 0 (k > k= akj = a(4πGρb )1/2/Cs) : REGIME OSCILLATORIO SMORZATO δk = (δ+ ei3wt’ + δ- e-i3wt’ )/t’ dove t’ = t1/3 ; δ± sono definiti dalle conddizioni iniziali < 0 (k < k = akj = a(4πGρb )1/2/Cs) : REGIME COLLASSO GRAVITAZIONALE δk = δ+ (t/ti)2/3 + δ+ (t/ti)-1dove ti , δ± sono definiti dalle conddizioni iniziali

9. PRIMA DELL’EQUIVALENZA ! prima dell’equivalenza l’universo risulta essere dominato dalla radiazione (ρr >ρm), si devono tenere presenti quindi due punti: • la pressione di background è non nulla ed è definita come p = wρ. Il vettore d’onda di transizione risulterà quindi essere: e, considerando che per un universo radiativo a(t) ~ t1/2, le fluttuazioni cresceranno secondo la legge: δ = δ+ (t/ti) + δ- (t/ti)-1 • la scala diJeans λjrisulta essere sempre maggiore del raggio caratterizzante l’orizzonte. Ne segue quindi che le fluttuazioni di densità prima dell’equivalenza non collasseranno ma si propagheranno come onde di compressione con velocità pari a cs = c/√3 kj = {4πGρb(1 + cs2)(1 + 3w )}1/2/Cs

10. MATERIA OSCURA: MODELLO A DUE FLUIDI Dalle osservazioni emerge l’esistenza di materia in grado di interagire solo gravitazionalmente.Questa materia (DM) non può essere descritta come un gas perfetto, perchè non interagisce in modo significativo neanche con se stessa; essa è non collisionale. Inoltre, un modello di universo di materia totalmente barionica non concilierebbe con alcuni punti: • Le previsioni del modello di nucleosintesi primordiale non spiegherebbero le abbondanze osservate. •  TOT prevista essere ~ 1. • Lo spettro barionico dà fluttuazioni troppo grandi sulla scala di 10-20 h-1 Mpc rispetto a quanto osservato nella distribuzione delle galassie . • Il modello puramente barionico predice fluttuazioni di temperatura nel CMB troppo grandi rispetto a quanto osservato. (COBE) Risulta quindi necessario studiare non più un’unica equazione adatta a descrivere il fluido di fotoni e barioni accoppiati (sino alla ricombinazione), ma due equazioni accoppiate che considerino i due fluidi: uno composto da DM ed uno per fotoni e barioni accoppiati.

11. EQUAZIONI A DUE FLUIDI • δ+ δ(2a/a) + w2δ - 4πGρDMδDM = 0 con w2= cs2k2/a2–4πGρ(1+cs)(1+3w) • δDM+ δDM(2 a/a) – 4πGρ(1 + cs2)(1 + 3w)δ - 4πGρDMδDM = 0 Da queste due equazioni si determinano le soluzioni: • z > zeq: - δ DMè trascurabile < δ > = 0 - λ < λjδDM+ δDM(2 a/a) δDM= δ0DMln(t/ti) Per questo periodo quindi le fluttuazioni risultano essere “congelate”: non vi è crescita per i barioni e per la DM le fluttuazioni crescono solo debolmente. Tale fenomeno prende il nome di EFFETTO MESZAROS

12. z < zeq - δDM > δ δDM = δDM+ (t/ti)2/3 + δDM- (t/ti)-1 - DM ~ 1 δ(**) = δomogenea associata+ δintegrale particolare - λ≤λj(*) (*) Sino alla ricombinazione la scala di Jeans per fluttuazioni di densità di materia barionica risulta essere comunque prossima alle dimensioni dell’orrizzonte, quindi, tali fluttuazioni non crescono significativamente fino al disaccoppiamento con la radiazione. (**) La soluzione descrive fluttuazioni oscillanti intorno ad un centro “spostato” di una certa costante (δintegrale particolare ) dipendente dalle fluttuazioni della DM. LUNGHEZZA DI FREE STREAMING : è l'equivalente della lunghezza di Jeans per la componente non barionica della materia. Se v* è la velocità casuale tipica delle particelle (escludendo naturalmente il termine di espansione di Hubble), tale grandezza è espressa come: λFS = v*(π/Gρ)1/2. tutte le perturbazioni su scala inferiore alla lunghezza di free streaming allora verranno cancellate dal semplice moto delle particelle, il quale definisce un termine di pressione efficace. Ciò è comprensibile in quanto una sovradensità non può persistere se le particelle che la compongono sfuggono prima che questa riesca a crescere.

13. Poiché le perturbazioni della componente oscura della materia hanno cominciato a crescere prima della ricombinazione per la minore interazione con la componente di radiazione, il contrasto di densità della materia oscura è più alto di quello dei barioni al momento del disaccoppiamento di quest’ultimi dalla radiazione. La crescita delle perturbazioni barioniche è allora guidata dalle disomogeneità già esistenti nella distribuzione di materia oscura. Dark matter Δρ/ρ Baryons universo radiativo universo di polveri collasso della componente barionica nelle buche di potenziale della DM equivalenza ricombinazione t

14. HDM: Il modello della materia oscura calda considera come come componenti della DM particelle disaccoppiatesi in stato relativistico. A causa di ciò, per effetto di free streaming, tutte le fluttuazioni su scala inferire alla scala entrante nell’universo al momento della loro derelativizzazione saranno cancellate. Questo modello prevede quindi una formazione delle strutture oggi osservate per frammentazione di strutture su larga scala (top down). Tale scenario non riproduce però la distribuzione di sistemi virializzati oggi osservata (non si osserva il cut-off esponenziale nello spettro), si è quindi scartato questo modello per una spiegazione completa della DM. PARTICELLA CANDIDATA: neutrino CDM: Il modello della materia oscura fredda prevede che la DM sia costituita da particelle particolarmente massive, disaccoppiatesi quindi in stato non relativistico. A ciò segue quindi una formazione delle strutture presenti oggi nell’universo a z = 0 per merging gravitazionale di strutture minori (bottom up). Le osservazioni condotte sino a z ~ 3 sembrano confermare che la CDM sia la componente principale della materia non barionica dominante la materia totale nel cosmo in quanto lo spettro di potenza P(k) mostra un ginocchio ad alti k. PARTICELLA CANDIDATA: WIMPS MODELLI DI DM

15. STRUTTURE A DIVERSI RED-SHIFT

16. MODELLO ΛCDM OSSERVAZIONIESISTENZA DELL’ ENERGIA OSCURA dalle osservazioni si ha evidenza di un universo in espansione accellerata (ä > 0). Questa implica l’esistenza di una sostanza con p < -ρ/3. Tale sostanza, ancora ignota, prende il nome ENERGIA OSCURA (DE) e può essere spiegata dal modello di universo includente la costante cosmologia Λ. SPIEGAZIONE TEORICA: Il modello descrivente meglio l’universo sembrerebbe essere allora quello di ΛCDM. Quest’ultimo prevede che la somma dei parametri di densità (densità espressa in unità di densità critica) attuali di materia (Ωm) ed energia oscura (Ωde) sia circa uguale a uno (Ωm + Ωde = 1). Questa condizione, definendo un universo piatto, mette d’accordo il modello con la teoria inflazionaria. È̀ evidente che questa componente di energia oscura, porta al blocco della formazione delle strutture ASSUNZIONI DEL MODELLO: • fluttuazioni primordiali – adiabatiche (le fluttuazioni delle diverse componenti del cosmo sono accoppiate) - gaussiane • spettro delle fluttuazioni di Harrison-Zeldovich (P(k) = Akn, con n ≈ 1) • validità della CDM

17. CRESCITA NON LINEARE(HP CDM) • PRIMA DELLA RICOMBINAZIONE: • fluttuazioni del fluido radiazione-barioni crescono debolmente solo su scale prossime all’orizzonte → δρ/ρ< 1: la crescita è lineare. • fluttuazioni della componente non barionica della materia crescono dal momento della derelativizzazione formando buche di potenziale. • DOPO LA RICOMBINAZIONE: • la radiazione, non interagendo più con la materia, partecipa all’espansione del cosmo mantenendo inalterata (a meno degli effetti di redshift cosmologico) la distribuzione delle fluttuazioni presenti all’atto del disaccoppiamento con i barioni → presenta uno spettro primordiale delle fluttuazioni. • i barioni “cadono” nelle buche di potenziale della DM ed iniziano a crescere, seguendo quest’ultima, velocemente → δρ/ρ> 1: la crescita diventa non lineare.

18. MODELLO TOP-HAT SFERICO(HP CDM) La soluzione per la crescita di fluttuazioni descritta da equazioni non lineari risulta essere determinabile solo sfruttando metodi di calcolo computazionale. Il metodo analitico è applicabile solo al caso di perturbazione sferica (non reale) a gradino e sotto ipotesi di universo di materia con Ωbck = 1. Ipotizzando anche l’espansione iniziale per la sovradensità uguale a quella dell’universo si determina l’equazione definente l’evoluzione del raggio R della perturbazione: (R/Ri)2 = Hi2{Ωit(Ri/R) – (Ωit – 1)}dove: Ωit è il parametro di densità relativo alla perturbazione al momento iniziale. Si ottengono come soluzioni: R = Ri Ωit (1 – cosθ)/2(Ωit – 1) ; t = Ωit(θ – senθ)/ 2Hi(Ωit – 1)3/2 R virializzazione Dopo il raggiungimento di Rmax la perturbazione collassa e, a causa dell’esistenza di sottosovradensità, l’energia gravitazionale è convertita in energia cinetica: il sistema si virializza. θ π

19. Press & Schechter L’IDEA! non potendo definire la distribuzione di probabilità per l’ampiezza delle fluttuazioni cresciute non linearmente, sfrutta quella per le fluttuazioni che risultano avere δρ/ρ< 1. Questa, essendo una gaussiana, permette di determinare in modo analitico la funzione di massa delle strutture virializzate. A questo scopo si determina il tempo necessario al raggiungimento del Viriale (tempo di virializzazione)per strutture cresciute in modo non lineare; si calcola poi il contrasto di densità per una crescita lineare avvenuta nello stesso tempo. E’ quindi possibile determinare la probabilità di osservare strutture virializzate su una certa scala. PM(δc)dδ = exp{- δc2/σ2M}dδ/ (2π)1/2σM probabilità di avere strutture su scala M con δ >δc n(M)ΔM = (ρM/M)dPM(>δc)/dM densità di strutture su scala M con δ >δc dove δc = δ(tVIR) è il contrasto di densità estrapolato dalla teoria lineare di una fluttuazione sferica collassata per cosmologie critiche (senza costante cosmologica).

20. STUDIO DELLE STRUTTURE OSSERVATE • LA FUNZIONE DI CORRELAZIONE la funzione di correlazione risulta essere la base dell’analisi statistica utilizzata per lo studio delle proprietà di cluster di punti. Essa permette di definire l’influenza che ha un sistema (punto) presente in un certo volume sull’esistenza di un altro sistema in un altro volume. È ovvio che se i due volumi sono ad una distanza infinita i due sistemi saranno completamente scorrelati (indipendenti). La funzione di correlazione in questo caso sarà nulla. E’ possibile dimostrare inoltre che per distribuzioni gaussiane di punti, questi risultano essere correlati solo a coppie. La funzione di correlazione allora, per distribuzioni gaussiane, sarà data dalla somma di prodotti di funzioni di correlazioni a due punti. FORMA FENOMENOLOGICA ξx1x2 = ξ (r) = < εx1εx2 > = (r0/r)γ dove: r0è la lunghezza di correlazione delle galassie stimata essere ~Mpc/h; γè l’indice di potenza stimato intorno a 1,75 εxiè il contrasto di densità normalizzato nel punto xi: εxi = (ρ(xi) - <ρ>)/<ρ>

21. ∫ • LA VARIANZA DI MASSA Spesso, per quantificare il contrasto di densità su una certa scala, viene utilizzata come misura la varianza di massa smussata su tale scala. Tale grandezza è definita come: σ2M(R) = (ΔMR /MR)2 = < εRεR > → (1/2π) P(k)W2(k)k2dk; dove W(k) è la funzione di smussamento, generalmente presa di tipo gaussiano, che seleziona le scale che portano un contributo dominante nello spettro. Il suo effetto consiste nel “tagliare” i segnali sotto una certa scala, eliminando quindi le componenti dello sviluppo di Fourier del contrasto di densità con un cut-off di tipo esponenziale (taglio gaussiano). Spesso, per i conteggi di galassie si normalizza la varianza a 8 Mpc/h (σ8). Per misurare la variazione dall’unità si utilizza il parametro di bias: b = 1/σ8. Quest’ultimo da informazioni sulla discrepanza tra la distribuzione della materia osservata e quella attesa. • LO SPETTRO DI POTENZA Lo spettro di potenza della fluttuazioni P(k), definito come: <|δ(|k|)|2>, risulta essere relazionato con la funzione di correlazione ξx1x2 . Nel caso di processo gaussiano poi, essendo la fase associata alle ampiezze δ(|k|) casuale, la funzione di correlazione e lo spettro di potenza sono determinati univocamente l’uno dall’altro. Il modello inflazionarlo, che permette di spiegare l’isotropia e l’omogeneità dello spazio, prevede uno spettro primordialea legge di potenza: P(k) ~ kn. In particolare, per n =1 si avrebbe lo spettro di Zeldovich, per il quale la varianza di massa su scala pari alla scala entrante nell’orizzonte risulterebbe costante indipendentemente dal red-shift. Lo spettro primordiale risulta associato ad una distribuzione per le fluttuazioni gaussiana, ed è valido sino alla ricombinazione, dove la crescita non lineare porta alla rottura della gaussianità. Al disaccoppiamento tra barioni e fotoni lo spettro di potenza è definibile sfruttando la funzione di trasferimento T(k).

22. La funzione di trasferimento fornisce l’ampiezza delle fluttuazioni trasmesse alla ricombinazione, e quindi il loro spettro, in funzione della scala k. Pfinale (k) = T(k) Piniziale (k) Tale funzione tiene conto della modulazione subita dallo spettro delle perturbazioni, dopo l’entrata nell’orizzonte, a causa di vari processi che portano una soppressione cinematica nella crescita delle oscillazioni delle fluttuazioni. Log T(k) CDM BARIONI HDM Log k

23. SPETTRO DI POTENZA DELLE FLUTTUAZIONI DI DENSITÀ IN FUNZIONE DEL NUMERO D’ONDA K logP(k) EFFETTO MESZAROS SPETTRO PRIMORDIALE n ~ 1 logk K equivalenza P(k > kequ) = T(k > kequ) P(k < kequ) ~ k-3

24. FUNZIONE DI CORRELAZIONE E SPETTRO DI POTENZA ANGOLARE • FUNZIONE DI CORRELAZIONE ANGOLARE Analogamente alla funzione di correlazione spaziale è possibile definire quella angolare, dove la dipendenza dalla distanza radiale tra due punti è sostituita dalla dipendenza dalla distanza angolare θ tra questi. Il passaggio tra l’una e l’altra è possibile attraverso l’equazione di Lindberg. Il vantaggio della funzione di correlazione angolare consiste nella minor incertezza sperimentale sulle distanze angolari rispetto quelle radiali. Considerando una dipendenza dalla distanza angolare della funzione di correlazione del tipo: r -γ, si ha una funzione angolare del tipo: θ(1 – γ). • SPETTRO DI POTENZA ANGOLARE Analogamente allo spettro di potenza spaziale è possibile definire lo spettro angolare cl(θ) dai coefficienti dello sviluppo della deviazione normalizzata di temperatura (misura delle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo CMB) sulla base delle armoniche sferiche. La scala angolare θ, inversamente proporzionale al parametro l, è ovviamente misura del tempo al quale le fluttuazioni entrano nell’orizzonte. Misure a bassi l (alti θ) portano ad avere una statistica dominata dalla varianza cosmica (cl(θ)/(2l + 1)1/2), quindi non attendibile. Tale spettro per la CMB porta informazioni sulle fluttuazioni della materia barionica all’epoca del disaccoppiamento di quest’ultima dai fotoni

25. OSSERVAZIONI Le osservazioni sperimentali che possono fornire dei constraints alla teoria esposta precedentemente sulla formazione delle strutture risultano: • osservazioni sulla CMB • osservazioni sulle strutture ad alto redshift queste osservazioni possono fornire conferme sulla teoria attraverso il confronto con i risultati ottenuti da : • simulazioni a N-body

26. CMB: che cos’è La radiazione cosmica di fondo è un debole segnale nella banda microonde rivelabile in ogni direzione di osservazione. Essa è interpretabile come il residuo (“fossile elettromagnetico”) dell’ esplosione iniziale da cui ha avuto origine il cosmo supponendo una espansione adiabatica di quest’ultimo. Tale espansione, a cui segue un raffreddamento del cosmo, ha portato ad un aumento della lunghezza d’onda dei fotoni e quindi ad una diminuzione della densità di energia. La distribuzione di densità energia segue la legge di corpo nero di Planck , ed è quindi caratterizzata da una temperatura caratteristica osservata essere ~ 2,73°k La figura mostra lo spettro CMB misurata dal satellite COBE. Le grandi barre di errore sono dovute a risonanze meccaniche, la deviazione dalla legge di Plank è inferiore al 0,3%

27. CMB: informazioni sulla formazione delle strutture COBE (Bennett et al 1992) rivela l’esistenza di lievi variazioni di temperatura (~10-3) a varie frequenze nello spettro di corpo nero. Poiché sino alla ricombinazione barioni e fotoni sono accoppiati, queste anisotropie rispecchiano le disomogeneità della materia barionica nel momento del disaccopiamento. Queste disomogeneità risultano essere le fluttuazioni primordiali di densità amplificate nel tempo dalla gravità. Successivamente, l’esperimento di WMAP(Bennett et al 2003), permette di studiare la radiazione di fondo con più alta precisione. Da quest’ultime osservazioni si rivelano anisotropie dell’ordine di 10-5le quali risultano obbedire ad una statistica gaussiana. L’immagine mostra un confronto tra le osservazioni ricavate da COBE (53 GHz, Bennett et al, 1996) con quelle di WMAP(5 bande da 23 a94 GHz, Bennett et al, 2003)

28. LO SPETTRO ANGOLARE Bennett et al (2003), studiando lo spettro angolare di polarizzazione e non, estrapolano: • l’epoca di reionizzazione: tr =180+220-80 Myr (95% CL). Tale valore risulta essere incompatibile con la presenza di una consistente quantità di WDM. • un best-fit dei parametri cosmologici che sembrano confermare la teoria inflazionaria, un universo piatto con il 4,4% di barioni, il 22% di DM ed il 73% di DE (modello ΛCDM). • un indice spettrale n = 0,93 ± 0,03 L’immagine in alto mostra lo spettro angolare di potenza TT. L’immagine in basso mostra invece lo spettro di temperatura-polarizzazione TE

29. OSSERVAZIONI DI CLUSTERING: SURVEY • IMPORTANZA Dalle osservazioni su larga scala è possibile estrapolare informazioni sull’universo a red-shift “elevati” attraverso la caratterizzazione di spatial clostering. Il principale obbiettivo consiste nel chiarire la formazione delle galassie e nel testare le teorie sullo sviluppo delle strutture nel cosmo. Attualmente la teoria che meglio spiega i dati osservativi è la ΛCDM, e si ha conferma anche della teoria inflazionaria (fluttuazioni di densità primordiali distribuite gaussianamente). Il parametro attraverso cui si studiano i clostering di galassie è la funzione di correlazione ξ(r). La funzione di correlazione osservata per l’epoca corrente è ben fittata da una legge di potenza su scale tra i 0,1 e 10 Mpc/h (Devis & Peables 1983). La lunghezza di correlazione si osserva essere funzione del red-shift, oltre che dalla morfologia e dalla luminosità del clustering. Essendo la funzione di correlazione legata alllo spettro di potenza, questo parametro permette di testare ipotesi e teorie sulla formazione delle strutture virializzate

30. Survey recenti • VVDS (VIMOS VLT Deep Survey) Caratterizza un campione di galassie con z compreso tra 0,2 e ~2. Utilizzando I dati di questa survey, selezionando un sottocampione limitato in luminosità (17,5 < IAB < 24), Le Fevre et. al. (2005) hanno studiato l’evoluzione di clostering, attraverso la caratterizzazione della dipendenza della funzione e della lunghezza di correlazione dal red-shift. Dalla loro analisi è emerso che: • per z < 0,5 la lunghezza di correlazione r0 è bassa (r0 ~ 2,2 Mpc/h). Ciò indica che le popolazioni di galassie a bassa luminosità, osservabili a questo red-shift, presentano un basso clostering. • per z compreso tra 0,5 e 1,1 la lunghezza di correlazione risulta pressochè stabile. Si riscontra infatti un valore per r0 ~ 2,8 Mpc/h. • per z compreso tra 1,1 e 2,1 si osserva che la lunghezza di correlazione cresce sino ad un valore per r0 pari a circa 3,6 Mpc/h. È evidente che la lunghezza di correlazione r0 cresce con l’incremento del red-shift.

31. Di fianco sono mostrate le funzioni di correlazione wp (rp), le lunghezze di correlazione r0 e l’indice di correlazioneγ (misurato supponendo una dipendenza di wp da rp a legge di potenza) per diversi campioni osservati a diversi red-shift.

32. Sempre utilizzando i dati della VVDS, Marinoni et. al. (2005) hanno studiato la distribuzione di probabilità (PDF) per un campione di galassie con z compreso tra 0,4 e 1,5. Il gruppo ha mostrato che: • il momento secondo , o rms, della distribuzione delle galassie è pressoché costante praticamente sul tutto il range di red- shift. Presenta un valore medio di 0,94 ± 0,07. • il momento terzo della PDF aumenta col tempo cosmico. La probabilità di osservare regioni di sottodensità diminuisce quindi con l’aumentare del red-shift. • il picco della PDF si sposta in basso verso contrasti di densità minori in funzione del red-shift È stato determinato anche il bias come funzione del red-shift, della densità e della scala, con un confronto con la PDF prevista dal modello teorico di CDM. Hanno quindi potuto trarre i seguenti risultati: • il bias delle galassie è una funzione crescente del red-shift. • il bias mostra degli effetti non lineari dell’ordine del10% su scale maggiori di 5 Mpc. • il bias è maggiore per le galassie brillanti rispetto le meno luminose ad ogni red-shift. • il bias è maggiore per gli oggetti rossi in tutto l’intervallo considerato. Le osservazioni quindi danno un supporto alla teoria della CDM

33. Sotto: evoluzione del parametro di biasing confrontato per due campioni diversi. Non vi è riscontro di dipendenza dalla scala per bL(z). Il triangolo mostra i risultati della survey 2dFGRS per galassie con L/L*~2. Sopra: andamento della deviazione standard e del terzo momento della PDF. I triangoli rossi corrispondono al valore estrapolato nella 2dFGRS. Le barre rappresentano l’errore di un σ ed includono anche la varianza cosmica

34. SDSS (Sloan Digital Sky Survey) Questa survey effettua la fotometria in multibanda di tutti gli oggetti visibili per un quarto dell’intero cielo nord. Tegmark et.al. (2004) utilizzano lo spettro di potenza P(k) in 3D delle galassie osservate da SDSS e ne estrapola parametri cosmologici come • h (~ 0,70+0,04-0,03) • ΩM (0,25 ± 0,10) • il limite superire della massa del neutrino (< 0,6 eV (95%)) Questi risultati sono in accordo con le analisi effettuate con le osservazioni di WMAP e della 2dFGRS. Danno anche conferma del modello di evoluzione delle strutture di ΛCDM per un universo piatto.

35. L’immagine in alto mostra lo spettro di potenza delle galassie di SDSS. La figura a fianco mostra come gli andamenti degli errori (errore relativo in alto, rapporto errore sistematico-statistico in basso) sui diversi parametri come funzione della scala k.

36. Coniugando i dati di WMAP e delle SN Ia (buone candele standard) con quelli della SDSS è stato possibile da parte del gruppo di Tagmark anche determinare: • il tempo di vita dell’universo t0 = 14,4 +1,0-0,9 Gyr • l’indipendenza dal red-shift della denità di energia oscura (DE) • il parametro per la materia oscura (DM): wDM ~ 0,12 ± 0,01 • densità fisica della DM: ρDM ~ (2,3 ± 0,23)10-27 kg/m3 • il contributo del fondo neutrinico alla DM è inferiore al 12% • I dati portano tutti sostegno all’iptesi di universo piatto con il modello della ΛCDM. Esempi di correlazioni evinte dal gruppo di lavoro confrontate con i risultati di WMAP, delle osservazioni delle SN Ia e della teoria.

37. 2dFGRS (2 degree Fyeld Galaxy Red-shift Survey) Questa survey ha permesso di ottenere, e quindi di valutare sia il redshift che gli spettri di potenza di un vasto numero di galassie nel cielo sud (AAT). Gli spettri di potenza ricavati sono stati utilizzati anche da WMAP per limitare i parametri liberi. Il lavoro di Lahav et al. (2002) ha confrontato l’ampiezza delle fluttuazioni ricavata dai dati della 2dF Galaxy Redshift Surveycon le recenti stime ottenute dall’analisi delle anisotropie della radiazione cosmica di fondo (CMB). Come ipotesi di lavoro è stata assunta la validità del modello teorico di ΛCDM per la crescita delle strutture. I risultati danno un valore della varianza di massa normalizzata 8 compatibile con alcune osservazioni dell’abbondanza dei cluster.

38. Il risultato è un valore per l’rms delle fluttazioni di massa 8 compatibile con alcune osservazioni dell’abbondanza dei cluster. I risultati del lavoro mostrano indirettamente l’accordo dei dati sperimentali con il modello teorico assunto. Altre informazioni ricavate dai dati della survey 2dFGRS sono riportati a confronto con i risultati analoghi evinti dalle osservazioni di altre survey, del CMB e dalle simulazioni. 8 =0.73±0.05. La linea rossa rappresenta i contorni della funzione di likelihood nell’analisi CMB+2dF. La linea blu descrive i risultai per la SDSS.

39. N -BODY • CHE COS’È: N-body definisce il tipo di simulazione che viene effettuata per studiare la dinamica dell’evoluzionedelle strutture presenti nel cosmo. • IMPORTANZA: Le simulazioni sono necessarie in quanto le equazioni descriventi il collasso gravitazionale delle fluttazioni originanti le strutture virializzate sono descritte da equazioni non lineari, quindi non risolubili analiticamente. • SCOPO: Le simulazioni ad N corpi permettono di ottenere dei risultati confrontabili con le osservazioni e quindi di verificare modelli ed ipotesi

40. MILLENNIUM SILMULATION(Springel et al 2005) • CHE COS’È: Millennium Simulation è la simulazione in grado di descrivere meglio l’evoluzione delle strutture su larga scala secondo il modello ΛCDM. È scritta con il codice GAJET e sfrutta il metodo TreePM, combinazione dell’algoritmo ad albero e del Particle-Mesh. I parametri cosmologici in entrata sono consistenti con quelli estrapolati dall’analisi di WMAP (Bennett et al 2003) e dal 2dFGRS (Hawkins et al 2003). Il volume interessato nella simulazione è di 500 Mpc/h, mentre la massa di ogni particella è pari 8,6 • 108M◉e si ha un range dinamico di 105 in 3D

41. DENSITÀ SPAZIALE DEGLI ALONI DI DM A VARIE EPOCHE. Ogni immagine mostra una proiezione della ρDM di uno spessore di spazio pari a 15 Mpc/h. Il colore codifica la densità locale e la dispersione di velocità della DM.

42. Risultati • Millennium simulation definisce uno SPETTRO DI POTENZA NON LINEARE su un vasto range di scala (cinque ordini di magnitudine nel numero d’onda k) compatibile con le osservazioni sulla distribuzione di galassie delle survey 2dFGRS, VVDS e SDSS. • Millennium simulation definisce uno SPETTRO DI POTENZA ANGOLARE della CMB osservata sperimentalmente da WMAP. La distribuzione dei modi segue molto bene la distribuzione di Rayleigh aspettata ed è presente il famoso picco acustico.

43. L’immagine mostra la distribuzione normalizzata dei modi k (tra 0,03 e 0,07 h/Mpc) ottenuta nella Millennnium Simulation a red-shift z = 4,9. Nel pannello inferiore sono mostrate le relative deviazioni delle misure dalla distribuzione. Quste risultano essere in accordo con lo scatter statistico atteso

44. Il grafico sopra mostrala funzione di corrlazione a due punti attuale: i punti rossi mostrano le misure per modelli con gallasie di magnitudine assoluta minore di 23, quelli rossi sono relativi ai dati della 2dFGRS, la linea tratteggiata è descrive ξ(r) per la DM. Mentre quest’ultima si discosta molto da una legge di potenza, ξ(r) per la componente barionica è ben fittata da tale legge per r < 20 Mpc/h. I grafici a fianco mostrano invece ξ(r) come funzione della luminosità (in alto) e del colore(in basso). Le linee tratteggiate descrivono i dati osservativi. È evidente che le galassie più luminose e più rosse risultano maggiormente clostered

45. FINE PRESENTAZIONE • PROBLEMI APERTI: • ELEVATO NUMERO DI PARAMETRI • NATURA DELLA “MATERIA OSCURA” • NATURA DELL’ “ENERGIA OSCURA”

46. -bibliografia- • Peebles 1980, “Large scale structure of the Universe • Press W.H., Schechter P. , The Astrophysical Journal 187, 425-438 (1974) • Coles, Lucchin 2002, “Cosmology” • Bennett et. al. 2003 asrtp-ph/0302207 • Springelet. al. 2005 asrtp-ph/0504097 • Le Fèvre et. al. 2005 asrtp-ph/00409135 • Marinoni et. al. 2005 asrtp-ph/0506561 • Tegmark et. al. 2004 asrtp-ph/0310723 • Lahav et al. 2002 astro-ph/0112162

47. Appendice A: l’equazioni di Friedman • a/a = (8π/3)Gρ – k/a2 d(ρa3) = -pd(a3) • ä/a = -(4π/3)G(ρ + 3p) da queste si evincono le seguenti relazioni supponendo: p = wρ • ρ~ a-3(w+1) • t ~ a3(w+1)/2 dove w = 1/3 per gas relativistico 0 per gas di polveri

48. MODELLO TOP-DOWN MODELLO BOTTOM-UP