Progressioni geometriche e modello di Malthus

1. Progressioni geometriche e modello di Malthus

2. Definizioni • Definizione di: Progressione geometrica Una progressione geometrica è una successione numerica tale che il rapporto tra un termine, escluso il primo, e il precedente è costante. • Definizione di: Ragione di una Progressione geometrica In una Progressione geometrica il rapporto costante tra un termine e il suo precedente prende il nome di ragione.

3. Generalmente la ragione di una progressione geometrica si indica con la lettera “q”. Sia dunque: a1a2 a3…an… Una progressione geometrica. Per definizione si ha a2/a1=q a3/a2=q … e, generalizzando, si ottiene an/an-1=q con n>1 Dalla precedente relazione si ricava la formula generale an = an-1x q

4. E quindi, dalla formula precedente, si può dire che in una progressione geometrica un termine è uguale al precedente moltiplicato per la ragione. Se di una progressione si considerano solo n termini consecutivi, si parla di progressione finita. • ESEMPI • I Numeri 5 10 20 40 … • sono in progressione geometrica perché 10/5 = 20/10 = 40/20 = … = 2 • La ragione è 2 • 2) La successione 3, 2, 4/3, 8/9, … è una progressione geometrica di ragione 2/3; infatti è : 2 : 3 = 2/3 4/3 : 2 = 2/3 8/9 : 4/3 = 2/3 …

5. Termine generale di una progressione geometrica Osserviamo che se la ragione è positiva, tutti i termini sono dello stesso segno; se è negativa, sono di segno alterno. Supporremmo, per ora, q > 0 e a1 > 0 e quindi considereremo progressioni a termini positivi. Osserviamo che: • Se q = 1, tutti i termini della progressione sono uguali tra loro, cioè la progressione è costante; non considereremo questo caso e, d ‘ora in avanti, supporremo q 1; • Se q > 1, ogni termine è maggiore del precedente: la progressione è crescente; • Se 0 < q < 1, ciascun termine è minore del precedente: la progressione è decrescente

6. TEOREMA In una progressione geometrica a1, a2, … , an, … il termine generale è dato dalla formula Ci proponiamo di determinare un’espressione dell’ennesimo termine. Per definizione si ha: a2 = a1 x q a3 = a2 x q … an = an-1 x q Moltiplicando membro a membro queste n -1 uguaglianze, otteniamo: a2 x a3 x … x an-1 x an = a1 x a2 x … x an-1 x q x q x … x q e, dividendo ciascun membro per i fattori comuni ai due membri, si ha: c.v.d an = a1 x q ^n-1^ an = a1 x q ^n-1^

7. IL MODELLO DI MALTHUS Thomas Robert Malthus

8. Chi è Malthus? Cosa pubblicò? • Thomas Robert Malthus fu un economista e demografo inglese che nel 1798 pubblicò An Essay on the PrincipleofPopulation , saggio riguardante l’incremento demografico e i futuri sviluppi della società. Secondo la teoria di Malthusle risorse e i mezzi di sussistenza tendono a crescere in progressione aritmetica, mentre la popolazione cresce in progressione geometrica.

9. L’incremento della popolazione permette una maggiore forza lavoro e quindi un aumento della produzione delle risorse di sostentamento. Perché allora alcune popolazioni non riescono a sopravvivere? Incremento demografico Progressione geometrica Un termine è uguale al precedente moltiplicato per la ragione an = an-1 x q Oppure an = a1 x q ^n-1^ Produzione delle risorse Progressione aritmetica Un termine è uguale al precedente aumentato della ragione an = an-1 + d Oppure an = a1 + (n-1) x d

10. quantità popolazione risorse alimentari anni

11. Entrambe le progressioni sono crescenti perché hanno ragione positiva; tuttavia la popolazione; crescendo in progressione geometrica; ha un potenziale di incremento molto più grande rispetto a quello delle risorse che invece crescono in progressione aritmetica. In questo modo la produzione delle risorse, soprattutto quelle alimentari, non riesce a sostenere la crescita della popolazione: una sempre maggiore quantità di persone produrrà in proporzione una sempre minore quantità di risorse sufficienti a sfamarla.

12. Tale squilibrio tra crescita demografica e risorse disponibili può portare, secondo Malthus, all’ arresto dello sviluppo economico e progressivo immiserimento della popolazione. • Conseguentemente la mancanza • di risorse produce l ‘aumento del tasso di mortalità e quindi una riduzione della popolazione fino a una dimensione sostenibile rispetto alle risorse stesse.

13. Karl Marx • Secondo gli economisti del diciannovesimo secolo, come KARL MARX, la rivoluzione industriale, grazie soprattutto all’ innovazione tecnologica, avrebbe invece consentito di superare i vincoli maltusiani e quindi permesso di sostenere la crescita demografica.

14. REALIZZATO DA: • Angelo Iallonardi • Alessandro Mauthe Grazie per l attenzione 