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TEMA Nº 1

TEMA Nº 1. Conjuntos numéricos. Aprendizajes esperados:. Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

halona
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TEMA Nº 1

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  1. TEMA Nº 1 Conjuntos numéricos

  2. Aprendizajes esperados: • Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. • Percibir la matemática como una disciplina en evolución y desarrollo permanente. • Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

  3. Aplicar las operaciones básicas y propiedades de los números racionales. • Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones. • Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

  4. Conjuntos Numéricos • Números Naturales 1.1 Consecutividad numérica 1.2 Paridad e imparidad 1.3 Números primos 1.4 Múltiplos y divisores 1.5 Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor 1.6 Operatoria en los naturales 2. Números Cardinales 3. Números Enteros 3.1Operatoria en los enteros 3.2Propiedades 3.3Prioridad de las operaciones

  5. 8. Números complejos ( C ) • 4.Números racionales (Q) 4.1 Propiedades de los racionales 4.2 Operatoria en los racionales 4.3 Transformaciones de números racionales 4.4 Comparación de fracciones 4.5 Secuencia numérica 5. Números irracionales (Q*) 6. Números reales ( IR ) 7. Números imaginarios ( II )

  6. 1. Números Naturales (N) Conjunto de la forma: IN = {1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito. 1.1 Consecutividad numérica • Sucesor Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: • Sin pertenece a IN, su sucesor será n + 1.

  7. Antecesor: Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Sin pertenece a IN, su antecesor será n - 1 Naturales Consecutivos n - 1 n n + 1 antecesor sucesor

  8. 1.2 Paridad e imparidad • Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, con n en los naturales. Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 2 2n 2n + 2 Antecesor par Sucesor par

  9. Números Impares{1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1} Son de la forma 2n-1, con n en los naturales. Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1. Sucesor impar: Antecesor impar: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3. 2n - 3 2n -1 2n + 1 Antecesor impar Sucesor impar

  10. 1.3 Números Primos Son aquellos números que son sólo divisibles por 1 y por sí mismos: { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…} Nota: El 1 no es primo. 1.4 Múltiplos y Divisores • Múltiplos Se llama “múltiplo” de un número, aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera. • Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5.

  11. Divisores Se llama “divisor” de un número, aquel valor que lo divide exactamente. (Está contenido en él, una cantidad exacta de veces) Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24} Nota: El 5 no es divisor de 24, ya que al dividir 24 por 5 resulta 4,8.

  12. Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: -Algunos múltiplos de 3 son: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60} -Algunos múltiplos de 6 son: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60} -Algunos múltiplos de 15 son: {15, 30, 45, 60, 75,…}

  13. El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor). El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos hasta que en cada columna quede 1, y el producto de ellos corresponde al m.c.m. • 6 15 3 • 2 5 2 • 1 5 5 • 1 m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

  14. Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente. Ejemplo: -Los divisores de 36 son: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} -Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} -Los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

  15. El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor). El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. 36 18 24 2 18 9 12 3 6 3 4 M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

  16. 1.6 Operaciones en IN • Adición, sustracción, multiplicación y división Esta información se encuentra en tu libro en la página 18. Propiedades de la Adición: a) Clausura: • La suma de dos números naturales es siempre un natural. • Siaybson números naturales,entonces se cumple que: b)Conmutativa: a + b = b + a • Por ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12

  17. Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: c) Asociativa: • a + (b+c) = (a+b) + c • Ejemplo: 13 + (5+9) = (13+5) + 9 • 13 + (14) =(18) + 9 • 27 = 27 Nota: En los naturales no existe neutro aditivo. Propiedades de la Multiplicación: • El producto de dos números naturales es siempre un natural. a)Clausura:

  18. b)Conmutativa: • Si a y b son números naturales, entonces se cumple que: • a∙b = b∙a • Por ejemplo: 34∙5 = 5∙34 170 = 170 • Si a, b y c son números naturales, entonces se cumple que: c) Asociativa: • a (b∙c) = (a∙b) c • Por ejemplo: 4 ∙ (5∙3) = (4∙5) ∙3 4 ∙ (15) = (20) ∙3 • 60 = 60 Nota: El elemento neutro de la multiplicación es el 1. Ver más en las páginas 18 y 19 del Libro.

  19. 2.1 Operaciones en IN0 2. Números Cardinales ( N0) Conjunto de la forma: IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, conjunto infinito. • Adición, sustracción, multiplicacióny división • En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. • La diferencia es que incluye al cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”. Si a es un número cardinal, entonces: a + 0 = 0 + a = a

  20. 0 -3 -2 -1 1 2 3 3. Números Enteros (Z) Conjunto de la forma: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, infinito. Z = Z- U IN0 Se puede representar como: Z = Z- U {0} U Z+ Recta numérica: Z- Z+

  21. 0 -5 5 5 unidades 5 unidades Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica). Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5 Luego, |-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…

  22. 3.1 Operaciones en Z Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: Si a y b son números enteros entonces, se cumple que: a) a + -b = a – b Ejemplo: 5 + - 9 = 5 – 9 = -4 b) a – (-b) = a + b Ejemplo: 12 – (-8) = 12 + 8 = 20

  23. c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene. Ejemplo: 25 + 8 = +33 -5 + - 9 = -14 d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del mayor. Ejemplo: -10 + 7 = -3 75 + -9 = +66

  24. e) Si a y b son dos números enteros de igual signo (positivos o negativos), entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es positivo. Ejemplo: -42 ∙ -8 = + 336 28 : 7 = + 4 f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cuociente entre ellos es negativo. Ejemplo: 37 ∙ -5 = -185 125 : -5 = -25

  25. 3.2 Propiedades La suma de números enteros cumple con la propiedad Conmutativa y Asociativa. Ejemplo: (-3) + 2 = 2 + (-3) -1 = -1 La suma en los números enteros tiene “elemento neutro”: el cero. (-8)+ 0 = -8 Ejemplo:

  26. 3.3 Prioridad en las operaciones Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como: -5 + 15 : 3 - 3 = ? ¿Qué se resuelve primero? El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es: 1° Paréntesis 2° Potencias • 3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha) 4° Adiciones y sustracciones

  27. Resolver : -5 + 15 : 3 - 3 = -5 + 5 – 3 = 0 – 3 = – 3

  28. Q = / a y b son enteros, y b es distinto de cero a b 2,18; 15, -2; 14; -1; 2; 17; 0; -6; -45; 0 7 8 3 0,489; NO es racional -0,647 4.Números Racionales (Q) Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir: a: numerador y b: denominador Ejemplos:

  29. Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN0), y como 3 = , 3 es racional (3 Q). 3 1 IN IN0 Z Q Todo número entero es racional.

  30. Diagrama representativo:

  31. 2∙ 6 2 Al amplificar la fracción por 6 resulta: 3∙ 6 3 12 18 • 4.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro) • Amplificar y simplificar fracciones Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número. Ejemplo: =

  32. Al simplificar la fracción por 3 resulta: 3 9 2 3 2 9 27 27 : 9 45 15 45 : El inverso multiplicativo, o recíproco de Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número. Ejemplo: = • Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción Ejemplo: es:

  33. + - 13 -3 4 7 4 7 7 11 2 45 45 15 15 15 15 15 15 15 6 + 7 2∙3 + 7∙1 + = 45 45 • 4.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro) • Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: = = y 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: = =

  34. 4∙8 + 5∙7 32 + 35 + = 40 40 5∙3 + 7∙2 15 + 14 + = 36 36 29 5 7 7 67 4 8 36 40 18 12 5 3. Si los denominadores son primos entre sí: = = 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): = =

  35. ∙ = = : ∙ = = = - 43 7 8 -32 32 7 -4 -28 28 -4 -4 8 35 5 5 40 35 7 5 40 5 8 3 8∙5 + 3 = = 5 5 • Multiplicación: Ejemplo: - • División: Ejemplo: • Número Mixto: Ejemplo: 8

  36. = 1,75 7 7 175 25∙7 = = 1,75 4 4 100 25∙4 = • 4.3 Transformación de números racionales (pág. 24 del libro) • De fracción a decimal: Se divide numerador por denominador. Ejemplo: • De decimal finito a fracción: El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número. Ejemplo:

  37. 2,35 = 235 – 2 = 233 99 99 0,376 = 376 – 0 = 376 999 999 • De un número decimal periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: Ejemplo 2:

  38. 3,21 = 321-32 = 289 90 90 • De un número decimal semi periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Ejemplo: Nota:Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma, y el período.

  39. Al comparar (Multiplicando cruzado) y 9 13 9 13 10 15 15 10 • 4.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro) • Multiplicación cruzada: Ejemplo: 13 ∙ 10 y 15 ∙9 130 y 135 Como 130 < 135, entonces: <

  40. Al comparar (Igualando denominadores) y 13∙4 7∙5 15∙4 12∙5 52 35 60 60 13 7 13 7 15 12 15 12 • Igualar denominadores: Ejemplo: y y Como 52 > 35, entonces >

  41. Al comparar y (Transformando a decimal) Como 0,86 > 0,583 7 7 13 13 7 13 12 12 12 15 15 15 • Transformar a decimal: Ejemplo: = 0,86666666… = 0,58333333… , entonces >

  42. 6 , 1 , 1 , 36 , ... 65 66 . 16 , 26 , 5 5 5 5 5 5 5 5 ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 65 = 13 Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término. 5 • 4.5 Secuencia Numérica Ejemplo: En la secuencia: Respuesta: Es decir:

  43. 1 5 1 + 1 , 1 + 3 , 1 + 5 , 1 + 7 , 1 + 13… 5 5 5 5 5 Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1 + (2n - 1) 5 Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: ..., ... , 1° 2° 3° 4° 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: (Con n = posición del término)

  44. Q Q*= U 5. Números Irracionales (Q*) Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). Q* =

  45. 6. Números Reales (IR) IR = Q U Q* 2,18; -2; 7 Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales. Ejemplos: 23,491002 3, -89, Diagrama representativo:

  46. IR II = O U 7. Números imaginarios (II) Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios. Ejemplo: Raíces de índice par y parte subradical negativa:

  47. -1; 8 -0,647 8. Números complejos (C) Es el conjunto formado por la unión entre los números reales y los números imaginarios. 5, Ejemplos: -68, Diagrama representativo:

  48. Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 14 a la 28.

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