Repaso sobre el grupo de Teoremas de Pitágoras.

Clase 143 Repaso sobre el grupo de Teoremas de Pitágoras.

C E  1.En la figura: ED  BC;  = 500;  = 300 y ; CA y ED se cortan en F. Halla  y . F    A B D Revisión del estudio individual.

C E  F    A B D por ser ED  BC, entonces BDE es rectángulo en E.  +  = 900 por ángulos complementarios de un triángulo rectángulo  + 500 =900  = 900 – 500  = 400 DFA =  por ángulos opuestos por el vértice. DFA = 300

C E  F    A B D por ángulo exterior al  DFA.  =  + DFA  = 400 + 300  = 700

C a b h q p B A c En todo triángulo rectángulo se cumple: Razones trigonométricas Teorema de Pitágoras: c2 = a2 + b2 Teorema de la altura: h2= p·q Grupo de teoremas de Pitágoras Teorema del ángulo de 300: c = 2a ; si  = 300 c = 2b ; si  = 300 Teorema de los catetos: a2= q·c ; b2= p·c

Ejercicio 1 En un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3,0 u y 4,0 u respectivamente, halla la longitud de la altura relativa a la hipotenusa.

C a b A B c q = a2 16u2 = c 5u a = 4,0u ; b = 3,0u por el Teorema dePitágoras tenemos: hc p q c2 = a2 + b2 por el Teorema de los catetos tenemos: c2 = (4u)2 + (3u)2 c2 = 16u2 + 9u2 c2 = 25u2 a2= q · c c = 5u = 3,2u

C a b A B c por diferencia de segmentos tenemos: hc p = c – q p q p = 5u – 3,2u p = 1,8u por el Teorema de la altura tenemos: h2 = p · q h2 = 1,8u · 3,2u h2 = 5,76u2 h = 2,4u

Ejercicio 2 El perímetro de un triángulo isósceles es de 36 cm. Si los lados iguales miden 13 cm. Calcula: a) la longitud de la altura relativa a la base, b) la distancia del pie de dicha altura a cualquiera de los lados iguales.

MNR: isósceles de base MN, R RQ = hMN M N 36cm = 2·13cm + MN p = 2MR + MN 36cm = 26cm + MN MN = 10cm p = 36cm; MR = NR =13cm Q por ser el MNR isósceles de base MN.

R RQ = hMN M N 10cm = MN 2 NQ = 2 como en el triángulo isósceles la altura relativa a la base coincide con la mediana y mediatriz relativa a ese lado, entonces: Q = 5cm NQR rectángulo en Q por ser

R RN2 = RQ2 + NQ2 M N RQ2 = (13cm)2 – (5cm)2 RQ2 = RN2 – NQ2 RQ2 = 169cm2 – 25cm2 RQ2 = 144cm2 RQ = 12cm por el Teorema de Pitágoras Q

R QN2 = SN · RN M N Q 52 25 QN2 = = SN = 13 13 RN En el triángulo rectángulo RQN tenemos: QS = hRN b) por el Teorema de los catetos S  1,92 cm

R M N Q QS2 = 52 – 1,922 QS2 = QN2 – SN2 QS  21,31 QS2 = 25 – 3,6864 QN2 = SN2+ QS2 QS2 = 21,3136 QS2 21,31 QS 4,62 cm En el QSN rectángulo en S tenemos por el Teorema de Pitágoras que: La distancia del centro de la base a los lados iguales es de 4,62cm . S

C A B Para el estudio individual h En el ABC rectángulo en C, a = 36,0cm y b = 15,0cm. Calcula el área de cada uno de los rectángulos sombreados en la figura. A2 b h a q A1 b p Resp: A1= 498 cm2; A2= 192 cm2

por el Teorema de Pitágoras. c2 = a2 + b2 c2 = (36)2 + (15)2 por el teorema de los catetos tenemos: c2 = 1 296 + 225 a2 = pc c2 = 1 521 a2 362 = p = c = 1 521 c 39 c = 39 cm 1 296  33,23 = 39 A1 = pb = 33,23  15 = 498,45 cm2  498 cm2

Repaso sobre el grupo de Teoremas de Pitágoras.