Diferensial & Optimalisasi

1. Diferensial & Optimalisasi DiferensialFungsiMajemuk Optimalisasi Penerapandalamekonomi

2. ParsialDiferensial • Sebuahfungsiyghanyamengandungsatuvariabelbebashanyaakanmemilikisatumacamturunan Jika y = f(x) makaturunan y terhadap x: y’ = dy/dx • Sedangkanjikafungsiygbersangkutanmemilikilebihdarisatuvariabelbebas, makaturunannyaakanlebihdarisatumacam, tergantungjumlahvariabelbebasnya

3. ParsialDiferensial • Jika y = f(x, z) dandisebutderivatifparsial, dandisebutdiferensialparsial, sedangkandydisebutdiferensial total • Jika p = f(q, r, s)

4. ParsialDerivatif • y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalahvariabelygindependensatusamalainnya, tiapvariabeldapatberubahtanpamempengaruhivariabellainnya (variabellainnyakonstan) • Jikavariabel x1mengalamiperubahansebesar∆x1sedangkanvariabellainnya (x2, x3, …, xn) tetap, maka y akanberubahsebesar ∆y. Makakuosiendiferensidapatditulis:

5. ParsialDerivatif • Derivative y terhadap x1sebagaimanacontohdiatasdisebutsebagaiderivatifparsialdandilambangkandengan: • Fungsiturunannya (derivative) adalah:

6. Contoh (2): Derivative Parsial • Carilahturunanparsialterhadap x1dan x2darifungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x22 denganmenganggap x2 konstan, turunanterhadap x1adalah: turunanterhadap x2:

7. Contoh (3): Derivative Parsial • Carilahturunanparsialterhadap u dan v darifungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v) denganmenganggap v konstan, turunanterhadap u adalah: turunanterhadap v:

8. Contoh (4): Derivative Parsial • Carilahturunanparsialterhadap u dan v darifungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v) denganmenganggap v konstan, turunanterhadap u adalah: turunanterhadap v:

9. DerivatifdariParsialDerivatif • Samasepertidiferensialfungsisederhana, derivatiffungsimajemukjugadapatditurunkankembali • Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, makaturunanpertama y terhadap x dan z: turunan ke-2: 1 2 1a 2a 1b 2b

10. DerivatifdariParsialDerivatif turunan ke-3: 1aa 2aa 1ab 2ab 1ba 2ba 1bb 2bb

11. NilaiEkstrim • Untuk y = f(x, z) maka y akanmencapaititikekstrimnyajika (necessary condition): • Untukmengetahuiapakahtitikekstrimygtercapaiadalahmaksimumatau minimum, maka (sufficient condition): dan dan dan Maksimum Minimum

12. Contoh (5): TitikEkstrim • Carilahtitikekstrimdarifungsi: y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45 selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum! 1) Titikekstrim: yxdanyz = 0 y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16 letaktitikekstrimadalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

13. Contoh (5): TitikEkstrim • Carilahtitikekstrimdarifungsi: y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45 selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum! 2) Jenistitikekstrim: yxxdanyzz : Makatitikekstrimadalahtitikmaksimumdenganymax = 16

14. Latihan • Carilahtitikekstrimdarifungsi: p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50 selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum!

15. OptimalisasiBersyarat • Optimalisasisuatufungsiobjektif (fungsiygakandioptimalkan—baikmaksimumatau minimum) atassuatufungsikendaladapatdiselesaikandgn (1) metodesubstitusidan (2) metode Lagrange • Nilai optimum diperolehketikaturunanpertamadarifungsitersebutsamadengannol (necessary condition) • Sedangkanuntukmengetahuiapakahnilaitersebutadalahmaksimumatau minimum, dapatdiselidikidariturunankeduanya (sufficient condition): Jikaturunankedua < 0, makamaksimum Jikaturunankedua > 0, maka minimum

16. MetodeSubstitusi • Jikafungsiobjektif: z = f(x, y) s.t. u = g(x, y) → fungsikendala • manipulasifungsikendalamenjadipersamaansalahsatuvariabel • Substitusipersamaantersebutkedalamfungsiobjektifitasnya • Cariturunanpertamadarifungsitersebut (untukmencarinilaiekstrim) • Selidikimaksimum/minimum denganmencariturunankeduasesuaidenganpersyaratan

17. Contoh (6) MetodeSubstitusi • π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1) • s.t. X + Y = 12 .......... (2) • Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3) • Substitusi (3) ke (1): = 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y – 3Y2 + 100Y = 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y + Y2 – 3Y2 + 100Y = –4Y2 + 56Y +672 ………. (4)

18. Contoh (6) MetodeSubstitusi • Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0 –8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7 • Substitusinilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5 • Profit (π): π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7) = $868 • Jenistitikekstrim: d2π/dY2 = -8 < 0 → titikekstrimmaksimum

19. Metode Lagrange • Jikafungsiobjektif: z = f(x, y) s.t. u = g(x, y) → fungsikendala maka: L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u) • Nilai optimum terjadipadasaat Lxdan Ly = 0 (necessary condition) • Nilai optimum adalahmaksimumjikaLxxdanLyy < 0 dan minimum jikaLxxdanLyy > 0 (sufficient condition)

20. Contoh (7) Metode Lagrange • π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1) • s.t. X + Y = 12 .......... (2) • FungsiLagrangian: L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y + λ(X + Y – 12) • Denganmenggunakanderivatifparsial, solusiditemukanpadasaat f’(z) = 0: ………. (3)

21. Contoh (7) Metode Lagrange ………. (4) • Persamaan (3) dikurangi (4): 80 – 4X – Y + λ = 0 100 – X – 6Y + λ = 0 –20 – 3X + 5Y = 0 ………. (5) ………. (6)

22. Contoh (7) Metode Lagrange • Kali (5) dengan 3 danjumlahkandengan (6): 3X + 3Y – 36 = 0 –3X + 5Y – 20 = 0 8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7 X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5 • π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868 • Jenistitikekstrim: d2π/dX2 = -4 < 0 d2π/dY2 = -8 < 0 • Masukkannilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilaiλ: λ = –5 – 42 + 100 = –53 titikesktrimmaksimum

23. Latihan • Carilahtitikekstrimdarifungsi: z = 2x + 2y dengankendala (syarat) x2 + y2 = 8 Jelaskanjenistitikekstrimdantentukannilaiekstrimfungsitersebut!

24. PenerapandalamEkonomi

25. PermintaanMarjinal • Apabila 2 macambarangmempunyaihubungandalampenggunaannya, makapermintaanatasmasing-masingbarangakanfungsionalterhadaphargakeduabarangtersebut • JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb) maka: Permintaanmarjinalakan A berkenaandengan Pa Permintaanmarjinalakan A berkenaandenganPb Permintaanmarjinalakan B berkenaandengan Pa Permintaanmarjinalakan B berkenaandenganPb

26. ElastisitasPermintaanParsial • Elastisitaspermintaan (price elasticity of demand) JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb), makaelastisitaspermintaanatasperubahanhargabarangitusendiri: • Barang a • Barang b

27. ElastisitasPermintaanParsial • ElastisitasSilang (cross elasticity of demand) JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb), makaelastisitassilang yang mengukurkepekaanperubahanpermintaansuatubarangberkenaandenganperubahanhargabaranglainnya: • Elastisitassilangbarang a denganbarang b • Elastisitassilangbarang b denganbarang a

28. ElastisitasPermintaanParsial • ElastisitasSilang (cross elasticity of demand) • Jikadan < 0 untuk PadanPbtertentu, makahubunganantarabarang a danbarang b adalahsalingmelengkapi (komplementer); karenakenaikanhargasalahsatubarangakandiikutipenurunanpermintaanataskeduanya • Jikadan > 0 untuk PadanPbtertentu, makahubunganantarabarang a danbarang b adalahsalingmenggantikan (substitusi); karenakenaikanhargasalahsatubarangakandiikutikenaikanpermintaanbaranglainnya

29. Contoh (8) Elastisitas 2 Barang • Fungsipermintaanatas 2 barangditunjukkansbb: Qda(Pa2)(Pb3) – 1 = 0 Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0 • Hitunglahelastisitaspermintaanmasing-masingbarangdanbagaimanakahhubunganantarakeduabarangtersebut? • Elastisitaspermintaan: manipulasibentukpersamaanpermintaan:

30. Contoh (8) Elastisitas 2 Barang • Elastisitaspermintaan: cariQda’ danQdb’: bentukpersamaanelastisitaspermintaannya: Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

31. Contoh (8) Elastisitas 2 Barang • Elastisitassilang: cariturunanpertamaatas a dan b: bentukpersamaanelastisitassilangnya: Hubungankeduabarangadalahkomplementer

32. FungsiBiayaGabungan • Andaikansebuahperusahaanmemproduksi 2 barang A dan B, dimanafungsipermintaanataskeduabarangdicerminkanoleh QAdan QBsedangkanfungsibiaya C = f(QA, QB) maka: Penerimaandaribarang A: RA = QA x PA = f(QA) Penerimaandaribarang B: RB = QB x PB = f(QB) Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB) • Fungsikeuntungannya: П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)

33. FungsiBiayaGabungan • Keuntunganakan optimum ketikaП’ = 0: • Titik optimum adalahmaksimumjikaП’’ < 0:

34. Contoh (9) FungsiBiayaGabungan • Biaya total ygdikeluarkansebuahperusahaanygmemproduksiduabarang, X dan Y, adalah: C = QX2 + 3QY2 +QXQY Hargajual per unit masing-masingbarangadalah PX = 7 dan PY = 20 • Berapa unit tiapbarangharusdiproduksi agar keuntunganmaksimum? • Berapakahbesarnyakeuntunganmaksimum?

35. Contoh (9) FungsiBiayaGabungan • Berapa unit tiapbarangharusdiproduksi agar keuntunganmaksimum? RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY R = 7QX + 20QY П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY2 – QXQY 7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0 33 – 11QY = 0 → QY= 3 QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX= 2

36. Contoh (9) FungsiBiayaGabungan JikaПXXdanПYY < 0makatitikmaksimum: • Besarnyakeuntunganmaksimum: П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3) П = 37 • Soalinijugadapatdiselesaikanmelaluipersamaanmarjinalnya, Пakanmaksimumketika MR = MC: MRX = MCXdan MRY = MCY

37. MU danKeseimbanganKonsumsi • Jikakepuasankonsumen U danbarang-barangygdikonsumsinyaqi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka: U = f(q1, q2, q3, …, qn ) • Seandainyauntukpenyerderhanaan, diasumsikanbahwaseorangkonsumenhanyamengkonsumsi 2 macambarang, X dan Y, makafungsiutilitasnya: U = f(x, y) Fungsiutilitas U = f(x, y) merupakanpersamaankurvaindiferensi (indifference curve)—kurvaygmenunjukkanberbagaikombinasikonsumsi X dan Y yang memberikantingkatkepuasan yang sama

38. MU danKeseimbanganKonsumsi • Derivatifpertamadari U terhadap X dan Y merupakanfungsiutilitasmarjinalparsialnya: • Budget Line (garisanggaran): garis yang mencerminkankemampuankonsumenmembeliberbagaimacambarangberkenaandgnhargamasing-masingbarangdanpendapatankonsumen. Jika M adalahpendapatankonsumendanPxdanPyhargabarang X dan Y maka: M = xPx + yPy Utilitasmarjinalberkenaandenganbarang Y Utilitasmarjinalberkenaandenganbarang X

39. MU danKeseimbanganKonsumsi • Keseimbangankonsumsi—suatukeadaanatautingkatkombinasikonsumsibeberapabarang yang memberikantingkatkepuasan optimum—tercapaipadasaatkurvaindiferensibersinggungan (tangent) denganbudget linekonsumen • Optimalisasidptdiselesaikandenganmembentukpersamaan Lagrange danderivatifpertama = 0: L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)

40. MU danKeseimbanganKonsumsi • Manipulasi Lxdan Ly: • Utilitasmarjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka: Keseimbangankonsumsitercapaiapabilahasilbagiutilitasmarjinaldarisetiapbarangatasharganyaadalahsama

41. Contoh (10) Utilitas Optimum • Kepuasanseorangkonsumendarimengkonsumsibarang X dan Y ditunjukkanolehpersamaan: U = x2y3 JumlahpendapatankonsumenRp 1000 danhargabarang X dan Y adalahRp 25 danRp 50 • Carilahfungsiutilitasmarjinaluntuksetiapbarang • Berapakahutilitasmarjinaljikakonsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y? • Apakahdenganmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumenmemaksimumkanutilitasnya? Jikatidak, carilahkombinasibarang X dan Y akanmemberikantingkatkepuasan optimum

42. Contoh (10) Utilitas Optimum • Carilahfungsiutilitasmarjinaluntuksetiapbarang • Berapakahutilitasmarjinaljikakonsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

43. Contoh (10) Utilitas Optimum • Apakahdenganmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumenmemaksimumkanutilitasnya? • Kombinasi X dan Y ygmemaksimumkanutilitas:

44. Contoh (10) Utilitas Optimum • Kombinasi X dan Y ygmemaksimumkanutilitas: • Substitusinilai y = ¾ x kedalampersamaanλ: x = 16, maka Utilitasmaksimum:

45. MP danKeseimbanganProduksi • Jikajumlahkeluaran P dan input yang digunakanxj = (j = 1, 2, 3, …, n) makafungsiproduksinya: P = f(x1, x2, x3, …, xn ) • Seandainyadiasumsikanbahwaseorangprodusenhanyamenggunakan 2 macam input, K dan L, makafungsiproduksinya: P = f(k, l) Fungsiproduksi P = f(k, l) merupakanpersamaankurvaisoquant—kurvaygmenunjukkanberbagaikombinasipenggunaan input K dan L yang memberikantingkatproduksi yang sama

46. MP danKeseimbanganProduksi • Derivatifpertamadari P terhadap K dan L merupakanfungsiprodukmarjinalparsialnya: • Isocost: garis yang mencerminkankemampuanprodusenmembeliberbagaimacam input berkenaandgnhargamasing-masing input danjumlahdanaygdimiliki. Jika M adalahjumlahdanaygdianggarkan, PKdan PLharga input K dan L maka: M = K x PK + L x PL Produksimarjinalberkenaandengan input Y Produksimarjinalberkenaandengan input K

47. MP danKeseimbanganProduksi • Keseimbanganproduksi—suatukeadaanatautingkatpenggunaankombinasifaktor-faktorproduksisecara optimum, yaknitingkatproduksimaksimumdengankombinasibiayaterendah (least cost combination)—tercapaipadasaatkurvaisoquantbersinggungan (tangent) dgnisocost • Optimalisasidptdiselesaikandenganmembentukpersamaan Lagrange danderivatifpertama = 0: Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)

48. MP danKeseimbanganProduksi • Manipulasi Lxdan Ly: • Utilitasmarjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka: Produksi optimum dgnkombinasibiayaterendahakantercapaijikahasibagiproduk marginal masing-masing input terhadapharganyaadalahsama

49. FungsiProduksi Cobb-Douglas • Dinyatakandengan: dimana: A : Total factor productivity K : Capital L : Labor αdanβ : elastisitas output • Jika: α + β = 1 → constant return to scale α + β > 1 → increasing return to scale α + β < 1 → decreasing return to scale

50. Contoh (11) Utilitas Optimum • SeorangprodusenmencadangkanRp 96 untukmembeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jikafungsiproduksiadalah P = 12KL, berapa unit tiap input harusdigunakan agar produksi optimum danberapakahproduksi optimum tersebut?