¿Cuánta metalógica introducir en un primer curso de lógica simbólica?

1. ¿Cuánta metalógica introducir en un primer curso de lógica simbólica? Federico Marulanda –– IIFs federico@filosoficas.unam.mx

2. Presuposiciones • El curso en cuestión es un curso en lógica simbólica deductiva, y por ende no cubre ni la lógica informal, ni la lógica inductiva y la probabilidad • El curso debe cubrir la lógica proposicional y la lógica de predicados • El curso aborda tanto la semántica de los lenguajes de dichas lógicas, como sus sistemas deductivos • El límite natural del material a cubrir es la prueba de completud de la lógica de predicados –– ésta no entra en el curso, pero forma parte central de su secuela • El curso está dirigido principalmente a estudiantes de filosofía (avanzados de pregrado o principiantes de posgrado), o a estudiantes de pregrado en matemáticas, ciencias de la computación, ingenierías, etc.

3. Lógica Proposicional (LP) Los componentes básicos de LP son: • la sintáxis del lenguaje proposicional (i.e., las leyes de formación del lenguaje) • la semántica de este lenguaje • el cálculo proposicional

4. Surgen dos preguntas: Pregunta 1: ¿Qué introducir primero, el aspecto semántico, o el deductivo? Pregunta 2: ¿Qué tipo de sistema deductivo utilizar? (e.g. sistemas axiomáticos, o de deducción natural, o al estilo de Gentzen) Mi objetivo aquí no es el de responder ninguna de estas dos preguntas (la primera con repercusiones filosóficas, la segunda prácticas).

5. Antes de contiuar, cabe subrayar que, en un curso como el que nos ocupa, la mención de aspectos metalógicos está subordinada a la elucidación completa de las lógicas en cuestión, sus lenguajes, la relación de éstos con el lenguaje natural, y sus semánticas. La discusión de la metalógica es un bono adicional que un instructor bien organizado puede ofrecer a sus estudiantes.

6. Aspectos metalógicos de LP • La legibilidad única de las fórmulas del lenguaje proposicional. Esto puede o no ser evidente, dependiendo de la sintáxis del lenguaje escogido. Usualmente no lo es (e.g., no es usual utilizar notación polaca invertida). Para demostrar la legibilidad única, se apela a una prueba inductiva. Luego este sería un punto para introducir pruebas por inducción matemática, y para resaltar la naturaleza inductiva de las leyes de formación del lenguaje (i.e., de la definición de fbf).

7. Pero tal vez sea deseable evitar entrar en una discusión de la inducción en un momento tan temprano del curso. Un argumento inductivo involucra (i) una cuantificación universal y (ii) estrictamente hablando, razonamiento conjunto-teorético. Ninguno de estos elementos es introducido, si lo es, hasta más adelante en el curso. Sin embargo, por medio de algunos ejercicios, y sin tener que probarlo estrictamente, puede entenderse por qué el lenguaje elegido de la lógica proposicional goza de legibilidad única.

8. Aspectos metalógicos de LP 2. La completud expresiva del conjunto de conectivas escogido. Es natural preguntarse si las conectivas del lenguaje son suficientes para expresar proposiciones complejas que reflejen todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas. Una prueba rigurosa de que sí lo son involucra la noción de función de verdad, y hace uso de la inducción. Sin embargo, una prueba menos rigurosa puede consistir en la descripción de un método con el cual generar, dada una combinación cualquiera de valores de verdad de algunas variables proposicionales, una fórmula que contenga únicamente las conectivas del lenguaje, y cuya tabla de verdad sea la buscada. Este sería un primer resultado metalógico establecido. Otros se siguen con facilidad (i.e., que ciertos conjuntos más reducidos de constantes lógicas son expresivamente completos, y que otros no).

9. Aspectos metalógicos de LP 3. La correctud del cálculo proposicional Las nociones fundamentales de correctud y completud son fácilmente explicables en relación con la semántica y sistema deductivo de la lógica proposicional, luego puede ser éste un buen momento para introducirlas. ¿Pero basta con introducir informalmente dichas nociones, o es aconsejable probarlas? La prueba de correctud no es especialmente difícil. Es un argumento inductivo, pero la inducción no representa complicaciones. Ahora, si el sistema deductivo que se ha utilizado es de deducción natural, el argumento es tedioso, pues hay que tratar caso por caso cada regla de inferencia. Pero se pueden tratar unos casos representativos, y dejar los otros como ejercicios.

10. Aspectos metalógicos de LP 4. La completud del cálculo proposicional La prueba de este hecho es, como es bien sabido, más complicada que la de correctud: mientras que es fácil evaluar las reglas de inferencia del cálculo proposicional y concluir que ninguna puede llevarnos de verdades a falsedades, no es obvio ver que las mismas reglas son suficientes para probar todos los argumentos válidos. Existen diferentes estrategias de prueba de completud para LP, algunas mas directas que otras. Si alguna estrategia sencilla es aplicable al cálculo empleado en el curso, tal vez sea apropiado discutirla. Es usual, sin embargo, omitir esta prueba de un primer curso en lógica simbólica (y de hecho pocos textos introductorios la incluyen). Tal vez el lugar mas natural para exponer la prueba sea como prolegómeno a la prueba de completud de la lógica de primer orden, que estamos suponiendo pertenece a un curso más avanzado.

11. Aspectos metalógicos de LP 5. La decidibilidad de LP Es trivial demostrar que LP es decidible: para cualquier forma de argumento (con un número finito de premisas), sólo hay que verificar un número finito de interpretaciones para establecer si la forma es inválida (si el argumento contiene n símbolos proposicionales, hay que contemplar un máximo de 2ninterpretaciones para determinar si validez). Este hecho obvio cobra relevancia, sin embargo, ante la indecidibilidad de la lógica de predicados; por esto no sobra mencionarlo.

12. La lógica de predicados (LPO) Se discuten los mismos elementos básicos que en el caso de LP: • la sintáxis del lenguaje • la semántica del mismo • el cálculo de predicados

13. Sin embargo, la estructura del lenguaje de LPO hace que la discusión sea más complicada . En particular, para enunciar la semántica de LPO se apela a nociones de la teoría de conjuntos. Parece conveniente, pues, hacer un interludio matemático entre la discusión de LP y la de PLO, para introducir, por lo menos, una teoría inocente de conjuntos. A discutir: las relaciones de membresía y de subconjunto, la extensionalidad de los conjuntos, las operaciones básicas sobre los conjuntos, el conjunto vacío, la cardinalidad, el conjunto potencia, el producto cartesiano de conjuntos, los pares ordenados y n-tuplos ordenados definidos como conjuntos. De posible interés: la paradoja de Russell, o la de Cantor, y la necesidad de formular la teoría de conjuntos axiomáticamente (como una teoría en un lenguaje de primer orden)

14. Si decide hacerse el interludio matemático, puede aprovecharse el momento para discutir más explícitamente la inducción (i.e., explicar las definiciones inductivas o recursivas, y dar ejemplos de pruebas por inducción no sólo sobre los números naturales, sino sobre una variedad de estructuras)

15. Metalógica en LPO • Legibilidad única de las fórmulas del lenguaje de primer orden. La demostración de este teorema puede ser usada como una primera aplicación del metodo de prueba por inducción, y complementaría y completaría la discusión paralela en LP.

16. Metalógica en LPO 2. La correctud del cálculo de predicados La prueba no difiere significativamente de la prueba correspondiente en LP, salvo (i) que hace referencia a verdad-en-un-modelo y no a las tablas de verdad, y (ii) que tiene que incluir los casos correspondientes a las leyes de inferencia para los cuantificadores. Probar algunos de los casos permite repasar la semántica del lenguaje, así como las pruebas por inducción.

17. Metalógica en LPO 2. La completud de la lógica clásica de primer orden. Fue una suposición inicial que esta difícil prueba no hace parte de el tipo de clase que nos ocupa. (Luego tampoco lo hacen los teoremas de compacidad, y de Löwenheim-Skolem). Por supuesto, puede y debe mencionarse que LPO es completa, sin ofrecer una prueba. ¿Por qué debe mencionarse? No solamente para hacer la analogía y desanalogía con LP y LSO, como para adelantar lo que se estudiaría en un curso mas avanzado.

18. Metalógica en LPO 3. La no-decidibilidad de la LPO. Este es otro hecho metalógico acerca de LPO que, aunque su prueba (el teorema de Church) esté fuera del alcance del curso, pues requiere elementos de la teoría de funciones recursivas, es importante mencionar. De hecho, es difícil evitar mencionarlo, pues salta a la vista que, a diferencia de LP, no existe en PLO un método que garantice determinar, en todos los casos, si un argumento es válido o inválido. Si además de no ser decidible, PLO no fuera completa, su utilidad deductiva, y lo que es más, su estatus como lógica, se verían comprometidos.

19. Metalógica en LPO 3. La no-decidibilidad de la LPO. Aunquela prueba de no-decidibilidad de LPO no forme parte del curso, no es difícil ver que el hecho de que la invalidez de ciertos argumentos sólo puede ser demostrada apelando a modelos cuyo universo tiene cardinalidad infinita hace imposible formular un algoritmo efectivo que arroje en todos los casos un veredicto de validez.

20. Metalógica en LPO 3. La no-decidibilidad de la LPO. La discusión de lo anterior puede incluir mención – ya que no la prueba – del hecho que si el lenguaje de primer orden únicamente contiene predicados monádicos (e identidad), la lógica correspondiente sí es decidible (el teorema de Löwenheim-Behmann).