1 / 22

Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji

Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji. Srđan Vukmirović Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu. Arhitektonski fakultet Beograd, 1. april 2011.

hedya
Download Presentation

Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Topologija - mogućnosti primene u arhitektonskoj geometriji Srđan Vukmirović Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Arhitektonski fakultet Beograd, 1. april 2011.

  2. Topologija je matematička disciplina koja se bavi osobinama objekata koje se ne menjaju pri deformacijama (tzv. homeomorfizmi) koje “ne kidaju i ne lepe”, odnosno čuvaju okolinu svake tačke. Tačnije, smemo da pokidamo objekat, da ga deformišemo, ali na kraju moramo da zalepimo objekat tamo gde smo ga pokidali. Šta je topologija?

  3. Dobijanje cilindra

  4. Cilindar – dva puta uvrnut

  5. Dobijanje Mebijusove trake

  6. Dobijanje torusa

  7. DobijanjeKlajnove boce

  8. Šta je (poliedarska) površ? • Okolina svake unutrašnje tačke mora da bude kao delić ravni. Dozvoljeno je da površ ima rub. • Površ ne sme da ima samopreseke (osim ako drugačije ne možemo da je smestimo u 3D prostor).

  9. 1) Rub (granica) poliedarske površi • Sfera NEMA RUB • Torus NEMA RUB • Klajnova boca NEMA RUB • Rub cilindra su dva kruga • Šta je sa dva puta uvrnutim cilindrom? • Rub Mebijusove trake je krug • Topološki iste (homeomorfne) površi imaju (topološki) isti rub

  10. 2) Ojlerova karakeristika površi • Za neki poliedarski model površi M(može i sa rubom) Ojlerova karakteristika je broj c(M) = T – I + P • c(kocka) = 8 – 12 + 6 = 2 • c(tetraedar)= 4 – 6 + 4 = 2 • c(Keopsova piramida) = 5 – 8 + 5 = 2 • c(torus)= 16 – 32 + 16 = 0 • c(Mebijusova traka)= domaći • Homeomorfne površi imaju istu Ojlerovu karakteristiku.

  11. 3) Orjentabilnost površi • Intuitivno, površ je orjentabilna ako na njoj postoji sat na kazaljke (unutrašnja definicija) • Ekvivalentno, površ je orjentabilna ako je normala definisana u svakoj tački površi (spoljašna definicija) • Svaka površ bez ruba (površ nema samopreseke) je orjentabilna. • Sfera, torus, Platonova tela, cilindar... su orjentabilni • Ako su dve površi homeomorfne one su ili obe orjentabilne, ili obe neorjentabilne.

  12. Mebijusova traka nije orjentabilna!

  13. Jednostranost Mebijusove trake

  14. Osobine neorjentabilnih površi • Na njima ne postoje satovi na kazaljke • Jednostrane su (tj. možemo ih potpuno obojiti ne podižući četkicu, odnosno ako ih uronimo u vodu sasvim će se smočiti) • Nemaju jedinstveno definisanu normalu u svim tačkama odjednom • Ako nemaju rub, tada se ne mogu “smestiti” u 3D prostor bez samopreseka (u 4D mogu!) • Svaka neorjentabilna površ sadrži neku Mebijusovu traku, i obrnuto, ako površ sadrži Mebijusovu traku, ona je neorjentabilna.

  15. Dobijanje novih površi od postojećih • Osnovni metod: lepljenje dve površi po rubu Primer: Lepljenje dve Mebijusove trake • Rub svake je krug, po kome treba da ih zalepimo. • Rezultujuća površ nema rub (jer smo po njemu zalepili) • Rezultujuća površ je neorjentabilna (jer sadrži Mebijusovu traku) • Pošto je neorjentabilna i nema rub ne u 3D prostoru mora da se samopreseče.Koja je to površ? Odgovor: Klajnova boca

  16. Sfera sa k rupa Ručka Mebijusova traka Topološka klasifikacija površi bez ruba • Želimo da vidimo kako topološki izgledaju sve površi bez ruba.

  17. k=1, torus k=2, pereca sa 2 rupe Orjentabilne površi bez ruba k=1, torus • Sve orjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što se na sferu sa k rupa nalepi k ručki. k=0, sfera

  18. k=1, Bojeva površ k=2, Klajnova boca Neorjentabilne površi bez ruba • Sve neorjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što se na sferu sa k rupa nalepi k Mebijusovih traka.

  19. Rod površi • Rod r(M) orjentabilne površi M bez ruba je “broj rupa” te površi. • c(M) = 2-2r(M) • Ako r(M) = 0 onda je M sfera • Ako r(M) = 1 onda je M torus • Ako r(M) = 2 onda je M pereca sa 2 rupe...

  20. Reference • JavaView, www.javaview.de • В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология, (выпуск 21 серии "библиотечка квант"), Наука, Москва, 1982 • S. Vukmirovic, Gluing two Moebius strips into a Klein bottle, Wolfram Mathsource, library.wolfram.com/infocenter/MathSource/823/

More Related