Álgebra y Genética Cursillo

1. Álgebra y GenéticaCursillo “La falta de relación entre la Matemática y la Biología es o una tragedia o un escándalo o un reto, es difícil decidir cual de las tres” Gian Carlo Rota Dr. Jesús Hernando Pérez Universidad Sergio Arboleda Stefany Moreno Instituto Alberto Merani XVI Encuentro de Geometría y IV de Aritmética 23 a 25 de Junio de 2005

2. Biomatemática • La Biomatemática es la ciencia mediante la cual se analiza un fenómeno biológico desde los modelos matemáticos, y se obtienen modelos matemáticos a partir de fenómenos biológicos. • La Sucesión de Fibonacci.

3. Contenido del Cursillo • Primera Parte: • Introducción al Cursillo. • Tema: La Estructura Algebraica de la Herencia Genética. • Segunda Parte: • Tema: El Código Genético como un Álgebra de Codones. • Conclusiones Generales del Cursillo.

4. Proyecto en proceso • Modelo Hawk – Dove. • Condiciones Generales: • Dos individuos (especies) compiten por un recurso. • Los individuos son de dos tipos: Hawk (Halcón) o Dove (Palomas). • Se utiliza el Modelo Hawk - Dove de la Teoría de Juegos en el cual los dos individuos son los jugadores. • Corroboración Experimental con larvas de Ischnura elegans (Odonato).

5. PRIMERA PARTE

6. Conceptos Biológicos Necesarios • Gen: Es la unidad fundamental de la herencia cuya existencia se puede confirmar por variantes alélicas y que ocupa un locus cromosómico concreto. • Cromosoma: Molécula de DNA, RNA y proteínas que forma una estructura filamentosa donde se encuentra la información genética en una secuencia lineal.

9. Conceptos Biológicos Necesarios • Alelos: Uno de los posibles estados de un gen, diferente de otros alelos por sus efectos fenotípicos. • Diploidía: Doble dotación cromosómica (2n) en la cual los cromosomas se hallan en parejas.

10. Conceptos Biológicos Necesarios • Haploidía: Dotación cromosómica simple (n). • Meiosis: Proceso de división celular en el cual de una sola célula diploide (2n) se pasa a cuatro haploides (n).

11. Conceptos Biológicos Necesarios • Gameto: Célula reproductora Haploide (n) cuyo núcleo se fusiona con otra (n). • Zigoto: La célula diploide (2n) que resulta de la fusión de los gametos masculinos y femeninos.

13. Conceptos Biológicos Necesarios • Homozigotos: Organismo diploide (2n) que lleva alelos idénticos en uno o más loci genéticos. • Heterozigotos: Organismo diploide que lleva dos alelos diferentes en uno o más loci genéticos.

15. Conceptos Biológicos Necesarios • Genotipo: La constitución genética de un individuo. • Fenotipo: Características observables de un individuo.

16. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un conjunto G es un grupo si tiene una operación + (se nota (G,+)) tal que: 1. Para a, b, c  G a + (b + c) = (a + b) + c. 2. Existe un e  G tal que para todo a  G e + a = a + e = a. 3. Para todo a  G existe un a-1 tal que a + (-a) = (-a) + a = e. 4. Si + es conmutativa se dirá que el grupo es abeliano.

17. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un conjunto A es un anillo si tiene dos operaciones +, · (se nota (A, + , ·) ) las cuáles cumplen lo siguiente: 1. (A ,+) es un grupo abeliano. 2. Para a, b, c  G a · (b + c) = (a · b) + (a · c). (b + c) · a = b · a + c · a

18. Conceptos Matemáticos Necesarios • Dado un grupo G y un subconjunto H de G, se dice que H es un subgrupo de G si • e  H (El neutro de G es neutro de H) • Para a, b  H, a + b  H. • Para a  H, (-a)  H. • Dado un anillo A y un subconjunto R de A, se dice que R es un subanillo de A si • R es un subgrupo de (A,+) • Para a, b  R, a · b  R

19. Conceptos Matemáticos Necesarios • Para dos subconjuntos A y B de un anillo M, A·B esta definido como: {a·b| a  A y b  B} • Si A es un subconjunto de un anillo M, <A> es el subanillo más pequeño que contiene al conjunto A.

20. Potencias Principales Para un anillo C, un x  C y un subanillo U de C las potencias principales están definidas inductivamente como: • x1 = x. • U1= U • xi = xi-1x i  N. • Ui = <Ui-1U>i  N. • Una población Pi representa el cruce entre Pi-1 y P.

21. Potencias Enteras Para un anillo C, un x  C y un subanillo U de C las potencias enteras están definidas inductivamente como: • x[1] = x. • U[1]= U • x[i] = x[i-1]x[i-1] i  N. • U[i]= <U[I-1] U[I-1]>i  N. • Una población P[i] representa el cruce entre P[I-1] y P[I-1] .

22. Potencias Enteras y Principales • Ejemplos: • x4 = x3 x = (x2 x) x = ((x x) x) x • x[4] = x[3] x[3] = (x[2]x[2])(x[2]x[2]) = ((x x)(x x)) ((x x)(x x)).

23. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un anillo (C, + , ·) es un cuerpo si satisface además las siguientes propiedades: • Es un Anillo en el cual la operación · tiene un elemento unidad (notado como 1), es conmutativa y asociativa. • Para todo a  C, a ≠0, existe un a-1 tal que a · a-1 = a-1· a = 1.

24. R x M M r ·m (r, m) Conceptos Matemáticos Necesarios • Si R es un anillo, un R-módulo M es un grupo abeliano junto con una operación que satisface las siguientes propiedades: • a (b x) = (a b) x • a (x + y) = a x + a y • 1 x = x (Si el anillo tiene unidad) • (a + b) x = a x + b x Para todo a, b  R y todo x, y  M.

25. Conceptos Matemáticos Necesarios • Si R es un anillo, una R-álgebra es un R – módulo A, tal que A es también un anillo y satisface la siguiente propiedad: (a x) y = a (x y) = x (a y) para todo a  R y todo x, y  A.

26. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un Homomorfismo entre grupos es una función f de un grupo A en un grupo B para la cual • f (a + b) = f (a) + f (b), con a, b ∈ A

27. Conceptos Matemáticos Necesarios • Un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo B es inyectivo si f(a) = f(b) implica que a = b. ∀ a,b ∈ A. • Un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo B es sobreyectivo si ∀ b ∈ B existe un a ∈ A tal que f(a) = b. • Un Homomorfismo es un isomorfismo si es inyectivo y sobreyectivo.

28. Conceptos Matemáticos Necesarios • Para un Homomorfismo f de un grupo A en un grupo B el núcleo (Kernel) esta definido como el siguiente subgrupo: • Ker (f) = {a ∈ A | f(a) = e}, donde e es el elemento neutro de B. • Para un anillo A, un elemento a ∈ A es nilpotente si an = 0 (Potencias Principales) para algún n ∈ Z+ (El menor n que cumple esta condición se denomina el índice de a) Para B subanillo de A, decimos que B es nilpotente si existe n ∈ N tal que el producto de cualesquiera n elementos de B es igual a 0.

29. Conceptos Matemáticos Necesarios • Idempotentes: • Para un anillo A y un m ∈ A, m ≠0, m es idempotente si m2 = m. • Un subconjunto P de un anillo es idempotente si P · P = P. • Genéticamente, esto ultimo se interpreta como una población que independientemente de sus características genotípicas es estable.

30. Conceptos Matemáticos Necesarios • Dado un Modulo W, un submòdulo H de W, es un subconjunto cerrado para las operaciones de W. • Si W1 y W2 son submódulos de un módulo W se define la suma interna como W1 + W2 = {w1 + w2 : wi∈Wi} • Si W1 + W2 = W, y si W1 ∩W2 = 0, W se dice que es la suma directa de W1 conW2 y se escribe W = W1 ⊕W2

31. Álgebras con Realización Genética • Álgebras Gaméticas. • Álgebras Zigóticas.

32. Tabla para un álgebra gamética A a A A ½(A+a) a ½(A+a) a

33. Tabla para un álgebra zigótica AA Aa aa AA AA ½(AA+Aa) Aa Aa ½(AA+Aa) ¼AA+½Aa+¼aa ½(Aa+aa) ½(Aa+aa) aa aa Aa

34. Carácter No Asociativo de la Herencia Genética • (P x Q) x R ‡ P x (Q x R) • Ejemplo: • A x (A x a) = ¾A + ¼a • (A x A) x a = ½ A +½a • Los elementos del Álgebra son sumas de la forma: w AA + y Aa + z aa

35. Álgebras Gaméticas • Población con n alelos {a1,a2,...,an} . n aiaj = ∑ cijkak K=1 Tal que 0 ≤ cijk ≤ 1 i,j,k = 1,...,n n ∑ cijk = 1i,j= 1,...,n K=1 cijk = cjik i,j,k = 1,...,n

36. Álgebras Zigóticas n • aijapq =∑ cij,pq,ksaks K ≤ s Tal que 0 ≤ cij,pq,ks ≤ 1 i,j,k,p,q,s = 1,...,n n ∑ cij,pq,ks= 1i,j,p,q= 1,...,n K=1 cij,pq,ks = cpq,ij,ks i,j,k,p,q,s = 1,...,n

37. Álgebras con Realización Genética (Generalización) • Supongamos que A es un álgebra sobre R de dimensión n. • {a1,a2,...,an} una base de A sobre R. aiaj = ∑ cijkak K=1 Tales que 0 ≤ cijk ≤ 1 i,j,k = 1,...,n n ∑ cijk = 1i,j= 1,...,n K=1

38. Álgebras Báricas • Un álgebra A sobre un campo k es un álgebra bárica si admite un homomorfismo no trivial w: A→ k. • w es llamado el homomorfismo de peso o la función bárica. • En algunos casos w no es único.

39. Álgebras Báricas • Teorema 1. Tomemos A como una álgebra n- dimensional con realización genética sobre ℝ. Entonces A es un álgebra bárica.

40. Álgebras Báricas • ¿Tiene solo un homomorfismo de peso un álgebra bárica? a1 a2 a3 a1 a1+a2 a2 a2 a2 a2 a2 a2 a3 a2 a2 a2+a3

41. Álgebras Báricas • w1: A → ℝ • w1(a1)=1 y w1(a2)=w1(a3)=0 • w2: A → ℝ • w2(a3)=1 y w2(a1)=w2(a2)=0

42. Potencias Enteras y Principales • Teorema 2: Tomemos A un álgebra bárica sobre un campo k, con función de peso w. Si N = Ker w es nilpotente, entonces w es único.

43. Idempotentes • Teorema 3. Tomemos A un álgebra bárica sobre un campo k con función de peso w. Supongamos que A contiene un idempotente e tal que w(e)=1. Entonces, A = ke ⊕ Ker w.

44. T - álgebras • Tomemos A un álgebra bárica sobre un campo k. Tomemos {a1,a2,..,an} una base de A. Existe un polinomio llamado el rango polinomial que anula todos los elementos de A: • f(x) = xr + θ1xr-1+ θ2xr-2+... + θr-1x. • Donde θpes un polinomio homogéneo de grado p en las coordenadas eipara x= ∑ni=1 eiai

45. T - álgebras • Rango Polinomial --- Relevancia Genética. • Tomemos A un álgebra bárica con función de peso w y rango polinomial f(x) = xr + θ1xr-1+ θ2xr-2+... + θr-1x. A es una T-Álgebra de rango r si los coeficientes θpdel rango polinomial de A son funciones de w(x).

46. T - álgebras • Teorema 4. Tomemos A una T-Álgebra de rango r con función de peso w: A→ k. Entonces todo elemento en N = Ker w es nilpotente de un índice menor o igual que r. • Corolario. Una T-Álgebra tiene una única función de peso.

47. T-Álgebras Especiales • Una Álgebra bárica con función de peso w es llamada T-Álgebra Especial si N= Kerw es nilpotente

48. Aplicaciones : Autofertilización • Autofertilización: Es el poceso en el cual se forma un zigoto a partir de los gametos tanto femeninos como masculinos de un mismo individuo. En este caso corresponde a el cruce de una poblacion consigo misma. • P = wAA+yAa+zaa • w + y + z = 1

49. Autofertilización • P es un elemento de un álgebra zigotica con dos alelos. El interés esta cuando P se cruza con P reiteradamente. • F1 = P x P • F1= w(AA x AA) + y(Aa x Aa) + z(aa x aa) = wAA + y(¼AA +½Aa+¼aa) + zaa = (w + ¼y) AA + ½yAa + (z + ¼y) aa

50. Autofertilización Fn= wnAA + ynAa + znaa. ? • Un: Diferencia Genética de la población Fn con Fn-1, es decir , Un = Fn– Fn-1 U1 = F1 – P, U2 = F2 – F1. • Para el primer caso tendríamos: U1 = ¼y AA - ½yAa + ¼y aa = ½y (½AA – Aa + ½aa )