Fibonacci

1. Fibonacci Leonardo de Pisa

2. Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 - 1250) • También llamado Fibonacci, fue un matemático italiano, famoso por la invención de la sucesión de Fibonacci, surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos, y por su papel en la popularización del sistema de numeración posicional en base 10 (o decimal) en Europa.

3. El apodo de Guglielmo (Guillermo), padre de Leonardo, era Bonacci (simple o bien intencionado). Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci ( por filius Bonacci, hijo de Bonacci). Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajo allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe.

4. Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la numeración de posición, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

5. Conocido por Fibonacci, hijo de Bonaccio, no era un erudito, pero por razón de sus continuos viajes por Europa y el cercano oriente, fue el que dio a conocer en occidente los métodos matemáticos de los hindúes.

6. La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales¸donde el primer elemento es 0, el segundo es 1 y cada elemento restante es la suma de los dos anteriores. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos.

7. Fórmula explícita • La definición de la sucesión de Fibonacci es recurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requiere calcular términos anteriores): • Relación de recurrencia:

8. El polinomio característico de esta relación de recurrencia es t2 − t − 1 = 0, y sus raíces son:

9. De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tiene la forma:

10. Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes b y d satisfacen la ecuación anterior cuando n = 0 y n = 1, es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones:

11. Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene:

12. Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puede ser expresado como:

13. Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo φ

14. de manera que la ecuación se reduce a:

15. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracionalφ.

16. Forma matricial • Se puede representar mediante su notación matricial como:

17. Conociendo f0y f1al aplicar la fórmula anterior n veces se obtiene:

18. Los números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicaciones de diferentes áreas. Por ejemplo, en modelos de la crianza de conejos o de plantas, al contar el número de cadenas de bits de longitud n que no tienen ceros consecutivos y en una vasta cantidad de contextos diferentes.

19. Algunas de las propiedades de esta sucesión son las siguientes: • La razón entre un término y el inmediatamente anterior varía, pero tiende al número áureo.

20. Joaquín Torres García

21. "He dicho Escuela del Sur; porque en realidad, nuestro norte es el Sur. No debe haber norte, para nosotros, sino por oposición a nuestro Sur. Por eso ahora ponemos el mapa al revés, y entonces ya tenemos justa idea de nuestra posición, y no como quieren en el resto del mundo. La punta de América, desde ahora, prolongándose, señala insistentemente el Sur, nuestro norte.” • Joaquín Torres García. Universalismo Constructivo, Bs. As.,1941. • Joaquín Torres García nació en Montevideo el 28 de julio de 1874.