Aula 08

1. Aula 08

2. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

3. seção circular torcida T dj T T T dz dz Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução As seções planas permanecem planas após a deformação Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares. Estado de Cisalhamento Puro seção não-circular torcida Exemplos: • eixos de transmissão • seções de grelhas onde o fletor é nulo

4. barra fletida com cortante (flexão simples) Vy Vy dz Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução As seções planas permanecem planas após a deformação Nas solicitações transversais esta hipótese somente é válida no caso de Torção de Seções Circulares. Estado Plano de Tensão Exemplos: • seções de vigas em geral

5. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

6. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

7. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

8. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

9. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro:

10. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado de Cisalhamento Puro: tyz tyz tyz 45º tyz tyz tyz tyz tyz

11. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

12. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

13. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

14. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

15. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

16. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0):

17. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Estado Plano de Tensão (sy = 0): tyz qc 45º smáx smin Logo, qp tyz sz tmáx sz tyz smin sz /2 smáx tyz

18. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado de Cisalhamento Puro:

19. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado Plano de Tensão (sy = 0):

20. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução Relações entre Esforços, Tensões, Deslocamentos e Deformações Estado Plano de Tensão (sy = 0):

21. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.1. Introdução III.2. Torção de Barras III.2.1. Seção Circular III.2.2. Seções Não Circulares III.3. Flexão Simples de Barras

22. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Circular T gyz dj A seção circular é simétrica em relação a qualquer eixo que contenha o seu cento geométrico. y r T ttzdA dz trzdA Assim, qualquer sistema de eixos cartesianos ortogonais com origem no centro do círculo é um sistema de eixos centrais principais. onde R é o raio externo da seção x dA r y x tyzdA y Portanto, as componentes de tensão de cisalhamento podem ser representadas segundo os eixos radial e tangencial. x dA tzxdA r y ou x

23. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Circular T gtz dj y r T ttzdA dz trzdA onde R é o raio externo da seção x dA r y x No ponto de coordenadas (-x,-y) deverá haver duas componentes trzdA e ttzdA em sentido contrário às que atuam no ponto de coordenada (x,y). r y x As componentes no sentido radial se anulam e aquelas no sentido tangencial formam um binário. trzdA ttzdA

24. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Circular T gtz dj y r T ttzdA dz onde R é o raio externo da seção x dA r y x r y x ttzdA

25. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Circular T gtz dj As tensões e as deformações variam linearmente com r y r T ttzdA dz onde R é o raio externo da seção x dA r tmáx y x ttz Wp é o Módulo de Resistência da Seção à Torção e r y x tmáx GIp é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção. ttzdA

26. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação Na superfície do contorno, não há solicitações tangenciais na direção longitudinal (z) nem direção tangencial (t) - momento atua em torno de z, isto é, no plano r-t. Portanto, nessa superfície, não há também tensões tangenciais nas direções z e t.. r tensões na seção transversal tzt plano da superfície do contorno tzr trz trt tzt z z ttr ttz tzr plano da seção longitudinal plano da seção transversal t

27. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação ttz tzt Na seção transversal, as tensões são auto-equilibradas e tangenciais ao contorno. plano da seção longitudinal z

28. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular As seções planas NÃO permanecem planas após a deformação A Teoria da Elasticidade, por outro lado, determina que, para todas as seções, Observações: e onde Para as seções circulares, e WT é o Módulo de Resistência da Seção à Torção, A constante de torção IT é também designada por J GIT é o Módulo de Rigidez da Seção à Torção e IT é a Constante de Torção da Seção

29. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Seção Retangular: A máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado do retângulo. tmáx e b a = b = 1/3, a/b>10 a >= b

30. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos Cada retângulo i absorve uma parcela do momento Ti . b1 t1 t2 b2 Em cada retângulo a máxima tensão ocorre no ponto médio do maior lado e vale t3 b3

31. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos O ângulo unitário de torção da seção é único. b1 t1 Logo, para n retângulos, t2 b2 t3 b3

32. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos Dessa expressão se conclui que b1 t1 t2 b2 t3 b3 este valor será substituído na expressão da máxima tensão e

33. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção formada por retângulos Logo, b1 t1 (máxima tensão em cada retângulo) t2 b2 t3 b3 Assim, e

34. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Abertos: a) Perfis de seção genérica Esta seção pode ser considerada como formada por infinitos retângulos de largura Ds e espessura ti. ds Assim, t onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil. e Caso t seja constante,

35. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): tyz1 T Em planos ortogonais, as tensões de cisalhamento são iguais e formam binários de sentidos opostos. t1 ds T Logo, no elemento infinitesimal, as forças resultantes no sentido longitudinal são: tyz2 dz t2 dz

36. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): tyz1 T Da condição de equilíbrio dessas forças longitudinais: t1 ds Este produto se denomina fluxo cisalhante (fc) e é constante ao longo da seção. T tyz2 dz t2 dz Daí se conclui que a máxima tensão de cisalhamento ocorre nos pontos de menor espessura.

37. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T tyz1 t1 r ds T dF tyz2 dz onde S é o comprimento da Linha Média da seção do perfil t2 dz

38. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T tyz1 t1 r ds T dF tyz2 y dz t2 dz ds Am r x Am: área delimitada pela LM da seção

39. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T tyz1 t1 r ds T dF 1º Teorema de Bredt tyz2 y dz t2 dz ds Am r x Am: área delimitada pela LM da seção

40. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T tyz1 A energia potencial de deformação acumulada no elemento de volume infinitesimal dV = t.ds.dz é t1 r ds T dF tyz2 dz t2 dz Como (1)

41. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T tyz1 Por outro lado, esta energia pode ser escrita como t1 r ds T T dF tyz2 dU dz t2 dz dj (2)

42. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T tyz1 Igualando as expressões (1) e (2) t1 r ds T dF tyz2 dz t2 dz ou

43. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Torção de Barras de Seção Não Circular Perfis Fechados (Teoremas de Bredt): T tyz1 Como t1 r ds T dF tyz2 dz Logo, t2 dz Caso t seja constante, 2º Teorema de Bredt

44. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Cálculo dos Deslocamentos T dj T dz S1 deslocamento relativo entre as seções S1 e S2 S2 z1 T z2 L deslocamento relativo entre as seções extremas da barra

45. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas Resistência e Estabilidade: e e são, respectivamente, as máximas tensões de cálculo normal e de cisalhamento onde e são, respectivamente, as tensões limites normal e de cisalhamento (funções dos estados limites considerados) e é o coeficiente de resistência

46. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas Resistência e Estabilidade: e e

47. Cap. III: Solicitações Transversais – Torção e Flexão Simples III.2. Torção de Barras Projeto de Barras Torcidas onde Rigidez: é o ângulo de torção entre duas seções é o ângulo de torção limite Se T for constante ao longo do comprimento,

48. Fim da Aula 08