DINAMIKA PROCESA I DRUGIH ELEMENATA SISTEMA UPRAVLJANJA

1. DINAMIKA PROCESA I DRUGIH ELEMENATA SISTEMA UPRAVLJANJA Dinamika sistema – ponašanje sistema u nestacionarnom režimu kada dolazi do promena procesnih promenljivih u toku vremena. Analiza dinamičkog ponašanja sistema pri malim promenama ulaza u odnosu na stacionarno stanje – oko radne tačke: Vremenski domen Laplasov (kompleksni domen) Frekventni domen Diskretni domen Dinamički modeli: matematički modeli koji definišu vezu izmedju promena izlazne i ulazne promenljive (input-output) Jedna ili sistem diferencijalnih jednačina

2. Klasifikacija dinamičkih modela • Prema načinu dobijanja: • teorijski • empirijski • Na osnovu zasnovanosti (rigoroznosti): • deterministički • stohastički • Na osnovu broja nezavisno promenljivih: • sa nagomilanim parametrima (obične diferencijalne jednačine) • sa raspoređenim parametrima (parcijalne diferencijalne jednačine) • Na osnovu linearnosti • linearni • nelinearni • Na osnovu reda jednačine kojom je opisan dinamički model: • sistemi prvog reda • sistemi drugog reda • sistemi višeg reda. • Na osnovu oblasti definisanisanosti: • kontinualni • diskretni

3. Formiranje teorijskih determinističkih modela • Bilansne jednačine – najopštiji oblik: (1) Jednačina ukupnog materijalnog bilansa (jednačina kontinuiteta) (2) Jednačine materijalnih bilansa pojedinih komponenata. Za N-komponentni sistem, N-1 jednačina (plus jednačinu ukupnog materijalnog bilansa) (3) Jednačina energetskog bilansa (4) Jednačina kretanja (bilans količine kretanja) (5) Transportne jednačine (6) Jednačine hemijske termodinamike (7) Jednačine ravnoteže (hemijska ravnoteža i ravnoteža faza) (8) Jednačine hemijske kinetike

4. Ukupni materijalni bilans: Materijalni bilans za komponentu A: Formiranje teorijskih determinističkih modela Primer: Sistem sa nagomilanim parametrima Izotermni reaktor sa idealnim mešanjem: reakcija AB

5. Formiranje teorijskih determinističkih modela Primer: Sistem sa rasporedjenim parametrima Izotermni cevni reaktor (klipno strujanje): reakcija AB Ukupni materijalni bilans: Materijalni bilans za komponentu A:

6. Za nelinearnu funkciju 2 promeljive: Linearizacija nelinearnih modela • Evidentiranje nelinearnih članova u jednačinama modela • Razvoj nelinearnih članova u Tajlorov red oko radne tačke i zanemarivanje članova drugog i višeg reda:

7. Linearizacija FcAi: Linearizacija FcA: Linearizacija VkcAn: Ukupno: Linearizacija - primer • Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, reakcija n-tog reda)

8. 0 Promenljive odstupanja(perturbacione, deviacione promenljive) Primer: Materijalni bilans po komponenti A za izotermni reaktor sa idealnim mešanjem (V=const, rakcija n-tog reda)

9. Karakteristična jednačina: Promenljive odstupanja – rezultati • U rezultujućim diferencijalnim jednačinama: • Konstantni članovi postaju jednaki nuli • Svi početni uslovi su jednaki nuli ZAKLJUČAK: Posle linearizacije i prelaska na promenljive odstupanja, bilo koji model sa nagomilanim parametrima se može prikazati opštom linearnom diferencijalnom jednačinom n-og reda: Za sve realne sisteme n≥m

10. Definicija: DINAMIKA SISTEMA U LAPLASOVOM DOMENULAPLASOVA TRANSFORMACIJA f(t) – original -funkcija vremena (t); F(s) – transformacija - funkcija kompleksne promenljive s Prelazak iz vremanskog u Laplasov domen PRIMER: Stepenasta (Hevisajdova) f-ja

11. 1. Linearnost 2. Transformacija izvoda 3.Transformacija integrala LAPLASOVA TRANSFORMACIJA – SVOJSTVA

12. 4. Teorema konačne vrednosti 5. Teorema početne vrednosti 6. Translacija transformacije (teorema pomeranja) 7. Translacija funkcije (teorema kašnjenja) LAPLASOVA TRANSFORMACIJA – SVOJSTVA

13. Jedinična impulsna (Dirakova) f-ja TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIJA

14. Inverzna Laplasova transformacija Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem Laplasove transformacije; inverzna Laplasova transformacija

15. Rešavanje diferencijalnih jednačina korišćenjem Laplasove transformacije - Primer REŠENJE:

16. Laplasova transformacija p1, p2, ... polovi; z1, z2, ...nule Karakteristična jednačina Dinamički model sistema u Laplasovom domenu - Prenosnafunkcija sistema Za sve realne sisteme n≥m Prenosna funkcija sistema: Odnos Laplasove transformacije promenljive odstupanja izlaza i Laplasove transformacije promenljive odstupanja ulaza

17. Primer: Pneumatski sistem pločica - mlaznica ELEMENTARNI SISTEMI 1. Proporcionalni element 2. Sistem prvog reda (element sa vremenskom konstantom) 3. Kapacitivni element (integrator) 4. Sistem drugog reda 5. Element sa mrtvim vremenom (čisto kašnjenje) 6. Diferencijalni element 1. Proporcionalni element

18. Primer 1:Protočni rezervoar sa tečnošću (nivo sistem prvog reda) 2. Sistem prvog reda K – pojačanje sistema  – vremenska konstanta (s, min) C (m2) – kapacitet suda R (min/m2) – otpor isicanja

19. Primer 2:Termometar sa tečnošću Primer 3:Izotermni protočni reaktor sa idealnim mešanjem

20. Primer:Rezervoar za skladištenje tečnosti C (m2) – kapacitet suda (površina poprečnog preseka) 3. Kapacitivni element (integrator) C – kapacitet sistema Ovaj sistem je u stacionarnom stanju samo za F=0 (h=const) Astatizam

21.   4. Sistem drugog reda • K – pojačanje • – vremenska konstanta (s ili min) n=1/ - prirodna (sopstvena) frekvencija • - koeficijent prigušenja • Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva • Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom • Inherentni sistem II reda

22. GENERALIZACIJA: redna veza n sistema I reda • Redna veza 2 sistema I reda bez medjudejstva • Primer: 2 nivo sistema vezana na red Drugi primeri: kaskada 2 reaktora, reaktor sa 2 konsekutivne reakcije A→B→C, …

23. (2) Redna veza 2 sistema I reda sa medjudejstvom • Primer: 2 nivo sistema vezana na red • Drugi primeri: • Termometar sa zaštitnom oblogom • Kaskada 2 reaktora sa reciklom • Reaktor sa povratnom reakcijom • .....

24. (3) Inherentni sistem II reda Primer: U-manometar

25. 5. Element sa mrtvim vremenom (element sa čistim kašnjenjem) Primer: Cevovod sa klipnim strujanjem fluida D (s, min) mrtvo vreme ili čisto kašnjenje x(t) i y(t): promena koncentracije, temperature, gustine, ... Drugi primeri: cevni reaktori, razmenjivači tipa cev-u-cevi, uredjaji sa pakovanim slojem (sistemi sa rasporedjenim parametrima) Padé-ova aproksimacija:

26.  Fizički ne mogu da se realizuju ili  ili 6. Diferencijalni element Moguće je realizovati:

27. Osnovni elementi blok dijagrama BLOK DIJAGRAMI I ALGEBRA BLOK DIJAGRAMA • Osnovna pravila: • U blok ulazi 1 signal i iz njega izlazi 1 signal • U krug ulaze 2 signala, a iz njega izlazi 1 signal • Mogu se sabirati samo signali iste vrste (temperatura se sabira sa temperaturom, protok sa protokom, pritisak sa pritiskom itd.) • Signal ne menja vrednost prilikom grananja.

28. PRIMER 1:Nivo sistem prvog reda PRIMER 2:Dva sistema prvog reda sa medjudejstvom Formiranje blok dijagrama

29. Odabrane transformacije Rešavanje blok dijagrama - ekvivalentne transformacije

30. Rešavanje blok dijagrama - primeri

31. Rešavanje blok dijagrama - primeri

32. Rešavanje blok dijagrama - primeri