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Lezione n° 23 Problema del Massimo Flusso: Formulazione Matematica

Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Lezione n° 23 Problema del Massimo Flusso: Formulazione Matematica Teorema flusso massimo / taglio minimo Algoritmo del Grafo Ausiliario. Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili – Dott. Carrabs.

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Lezione n° 23 Problema del Massimo Flusso: Formulazione Matematica

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  1. Lezioni di Ricerca OperativaCorso di Laurea in Informatica Università di Salerno Lezione n° 23 Problema del Massimo Flusso: • Formulazione Matematica • Teorema flusso massimo / taglio minimo • Algoritmo del Grafo Ausiliario Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili – Dott. Carrabs

  2. Il Problema del Massimo Flusso Sia G = (V,A) un grafo orientato su cui sia definito un vettore u = [uij] delle capacità associate agli archi del grafo; inoltre, siano s e t due nodi distinti, detti rispettivamente sorgente (o origine) e pozzo (o destinazione). Il problema del flusso massimo consiste nel determinare la massima quantità di flusso che è possibile inviare da s a t attraverso G. Capacità: uij 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 Nodo pozzo: t 10 Nodo sorgente: s

  3. Il Problema del Massimo Flusso Nodo sorgente fornisce flusso f Nodo destinazione assorbe flusso -f Tutti gli altri nodi sono nodi di transito Voglio spedire dalla sorgente la massima quantità di flusso f fino al pozzo senza violare i vincoli di capacità

  4. Il Problema del Massimo Flusso: formulazione Parametri di input: - Grafo orientato G=(V,A) - Nodo sorgente s - Nodo destinazione t Variabili decisionali:

  5. Il Problema del Massimo Flusso: formulazione

  6. Il Problema del Massimo Flusso: esempio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10

  7. Il Problema del Massimo Flusso: esempio 3,15 2 3 3,10 3,4 12 5 6 6 1 8 1,15 1,6 4 5 1,10

  8. Il Problema del Massimo Flusso: concetti fondamentali 4 4 s s 2 2 3 3 t t 10 10 8 8 9 9 6 6 Il flusso massimo su questo grafo è pari a 6 (corrispondente alla capacità minima degli archi del cammino).

  9. Il Problema del Massimo Flusso: concetti fondamentali 4 s 2 3 t 10 8 9 6 La retta in figura mostra un taglio del grafo, ossia un partizionamento dei vertici del grafo in due sottinsiemi V1={s,2,3}e V2={4,t} tali che: - Il nodo sorgente appartiene a V1 - Il nodo pozzo appartiene a V2 - V1  V2 = V - V1 ∩ V2 = Ø Estendiamo questo concetto di taglio ad un grafo più complesso

  10. Taglio di un grafo e archi del taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Taglio 1: V1 ={1,2,3} V2 = {4,5,6}  archi del taglio ={(1,4) (2,4) (2,5) (3,6)} Taglio 2: V1 ={1,3,5} V2 = {2,4,6}  archi del taglio ={(1,2) (1,4) (3,6) (5,6)} Taglio 3: V1 ={1,4,5} V2 = {2,3,6}  archi del taglio ={(1,2) (4,3) (5,3) (5,6)}

  11. Capacità di un taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Dato il taglio (V1, V2) la capacità del taglio è pari alla somma delle capacità degli archi del taglio.

  12. Capacità di un taglio 15 2 3 10 4 12 5 6 6 1 8 15 6 4 5 10 Taglio 1: V1 ={1,2,3} V2 = {4,5,6}  archi del taglio ={(1,4) (2,4) (2,5) (3,6)} Capacità = 6 + 5 + 12 + 4 =27 Taglio 2: V1 ={1,3,5} V2 = {2,4,6}  archi del taglio ={(1,2) (1,4) (3,6) (5,6)} Capacità = 10 + 6 + 4 + 15 = 35 Taglio 3: V1 ={1,4,5} V2 = {2,3,6}  archi del taglio ={(1,2) (4,3) (5,3) (5,6)} Capacità = 10 + 8 + 6 + 15 = 39

  13. Relazionetrailmassimoflusso e la capacitàdi un taglio Proprietà 1: Il valore di un qualunque flusso ammissibile è minore o uguale alla capacità di un qualunque taglio. Dim. Sia X un flusso ammissibile e (V1,V2 ) un qualunque taglio del grafo. Sommando i vincoli di bilanciamento del flusso relativi ai nodi in V1 otteniamo:

  14. Relazionetrailmassimoflusso e la capacitàdi un taglio

  15. Relazionetrailmassimoflusso e la capacitàdi un taglio La capacità di un taglio mi fornisce un limite superiore al valore del flusso f che posso spedire dalla sorgente al pozzo Se ho un flusso ammissibile di valore f e riesco a trovare un taglio la cui capacità è uguale ad f allora posso concludere che il flusso che ho trovato è massimo Teorema (Max Flow- Min Cut) Il flusso massimo che può essere spedito dalla sorgente al pozzo su un grafo orientato G è uguale alla capacità del taglio minimo di G.

  16. AlgoritmodeiCamminiAumentanti L’algoritmo dei cammini aumentanti risolve il problema del flusso massimo utilizzando il grafo delle capacità residue (o grafo ausiliario) per decidere come spedire il flusso sulla rete dove ad ogni arco è associata una capacità residua pari a . Consideriamo un grafo G=(V,A) bi-orientato ed un flusso ammissibile x(inizialmente il metodo considera il flusso nullo ossia ). I passi principali dell’algoritmo dei cammini aumentanti sono: Trovare (sul grafo ausiliario) un qualsiasi path p dal nodo sorgente al nodo pozzo su cui è possibile far transitare una quantità di flusso ∆ > 0(pathaumentante). Se non esiste tale path l’algoritmo si arresta. Determinare il valore del flusso, sul path aumentante p trovato, che sarà pari alla capacità minima tra gli archi di p ( i.e. ∆=min{: (i,j) appartiene a p} ). Sottrarre il valore ∆ dalla capacità di ogni arco (i,j)∈ p e sommarlo alla capacità dell’arco (j,i) definendo in questo modo le nuove capacità residue del grafo ausiliario.

  17. Grafo ausiliario e capacità residue • Dato un grafo G=(V,A) ed un flusso ammissibile x su G, il grafo ausiliario G(x)=(V,A’) è così costruito: • V’=V • A’ definisce un grafo bi-orientato. Il valore della capacità sugli archi in A’ sono così determinati: • se (i,j) ∊ A (i,j) ∊ A’ con capacità residua rij = uij – xij • se (i,j) A (j,i) ∊ A’ con capacità residua rij = xij • Se un arco ha capacità residua maggiore di zero, significa che posso spedire ancora del flusso utilizzando l’arco. • Poiché voglio spedire flusso dalla sorgente al pozzo, allora se riesco ad individuare un cammino da s a t sul grafo ausiliario posso spedire del flusso addizionale dalla sorgente al pozzo. • Un cammino da s a t sul grafo ausiliario viene definito cammino aumentante. • Fino a quando nel grafo ausiliario esistono cammini aumentanti allora posso incrementare il flusso da s a t, altrimenti il flusso è massimo.

  18. Algoritmo del Grafo Ausiliario 3 2 4 1 2 10 5 4 8 1 1 1 5 7 6 6 3 1 4 3 6 5 2 3 2 4 0 10 0 1 1 f = 0 0 5 0 4 8 0 1 5 7 6 3 4 1 1 0 0 3 0 6 6 5 0

  19. Algoritmo del Grafo Ausiliario 2 3 Un path aumentante è un path da s a t sul grafo ausiliario. Viene chiamato ‘’aumentante’’ perché permette di aumentare il flusso sul grafo da s a t utilizzando gli archi del path. Il flusso che posso spedire è uguale alla minima capacità residua degli archi del path. 2 4 0 10 0 1 1 0 5 0 4 8 0 1 5 7 6 3 4 1 P = 1-5-4-7 1 0 0 3 0 6 ∆=4 f = 4 6 5 0 2 3 2 4 0 6 4 1 P = 1-2-4-7 1 4 5 0 0 ∆=3 f = f+∆ = 7 4 4 1 5 7 6 3 4 1 1 0 0 3 6 0 6 5 0

  20. Algoritmo del Grafo Ausiliario 2 3 0 6 4 1 P = 1-2-4-7 1 4 5 0 0 ∆=3 f = f+∆ = 7 4 4 6 3 4 1 1 0 0 0 6 5 0 5 0 2 2 4 4 3 3 4 1 P = 1-3-6-7 1 7 2 0 0 ∆=4 f = f+∆ = 11 4 4 1 1 5 5 7 7 6 3 4 1 1 0 0 3 3 6 6 0 6 5 0

  21. Algoritmo del Grafo Ausiliario 5 0 3 3 4 1 P = 1-3-6-7 1 7 2 0 0 ∆=4 f = f+∆ = 11 4 4 6 3 4 1 1 0 0 0 6 5 0 5 0 2 2 4 4 3 3 4 1 P = 1-5-6-7 1 7 2 0 0 ∆=2 f = f+∆ = 13 4 4 1 1 5 5 7 7 6 3 0 5 1 0 0 3 3 6 6 4 2 1 4

  22. Algoritmo del Grafo Ausiliario 5 0 3 3 4 1 P = 1-5-6-7 1 7 2 0 0 ∆=2 f = f+∆ = 13 4 4 6 3 0 5 1 0 0 4 2 1 4 5 0 2 2 4 4 3 3 4 1 P = 1-5-6-4-7 1 7 2 0 0 ∆=1 f = f+∆ = 14 2 6 1 1 5 5 7 7 4 3 0 7 1 0 2 3 3 6 6 4 0 1 4

  23. Algoritmo del Grafo Ausiliario 5 0 3 3 4 1 P = 1-5-6-4-7 1 7 2 0 0 ∆=1 f = f+∆ = 14 2 6 4 3 0 7 1 0 2 4 0 1 4 5 0 2 2 4 4 3 2 4 Non riesco ad individuare un cammino aumentante  Il flusso che ho individuato è ottimo 1 2 8 2 0 0 1 7 1 1 5 5 7 7 3 3 0 7 0 0 3 3 3 6 6 4 0 1 4

  24. Algoritmo del Grafo Ausiliario 3 Grafo iniziale Grafo finale 5 0 2 4 3 2 4 2 10 5 1 2 4 8 2 0 0 8 1 1 7 1 1 1 5 7 3 3 6 6 3 0 7 0 0 1 3 4 3 6 4 0 5 1 4 Il valore delle variabili decisionali, per ogni arco del grafo di partenza, è pari alla differenza tra la capacità originale dell’arco meno quella residua nell’ultimo grafo ausiliario (il valore viene ignorato se negativo). Ad esempio per l’arco (1,2) abbiamo una capacità iniziale pari a 5 e una finale pari a 2 quindi x12=3 . Analogamente abbiamo x15=8-1=7 , x13=4-0=4, x25=1-1=0, x24=3-0=3 ecc.ecc. 2 4 1 5 7 3 6

  25. Dettagli per la correttezza e l’implementazione Si noti che nello schema generale del metodo di Ford e Fulkerson ci sono dei dettagli che devono essere meglio chiariti: • Come si identifica un cammino aumentante o come si mostra che non esiste un cammino aumentante? • Come certificare che il flusso ottenuto è quello massimo? La risposta a queste domande puo’ essere ottenuta considerando una particolare implementazione dell’algoritmo del cammino aumentante che da luogo al Labeling Algorithm di Ford and Fulkerson

  26. Labeling Algorithm di Ford and Fulkerson Idea Principale: • Per cercare un cammino si effettua una visita del grafo ausiliario a partire dalla sorgente e si etichettano (label) tutti i nodi che possono essere raggiunti • Se il pozzo viene etichettato, allora esiste un cammino aumentante e si puo’ incrementare il flusso da s a t attraverso il cammino trovato • Se il pozzo non viene etichettato allora si costruisce un taglio nel seguente modo: • in V1 si inseriscono i nodi etichettati • in V2 si inseriscono i nodi non etichettati • Poichè la capacità del taglio così costruito è pari al flusso f inviato fino a quel momento, dal teorema MinCut/MaxFlow tale flusso f è massimo.

  27. Individuazione taglio minimo 3 Grafo iniziale Grafo finale 5 0 2 4 3 2 4 2 10 5 1 2 4 8 2 0 0 8 1 7 1 1 1 1 5 7 3 3 6 6 3 0 7 0 0 1 3 4 3 6 4 0 5 1 4 Capacità = 14 Taglio : V1 ={1,2,3,5,6}, V2 = {4,7} 2 4 Per poter individuare il taglio minimo, la cui capacità sarà uguale al flusso massimo f=14, è sufficiente controllare quali sono i nodi raggiungibili dalla sorgente 1 attraverso archi con capacità residua >0 nell’ultimo grafo ausiliario. 1 5 7 3 6

  28. L’algoritmo del cammino aumentante Dato un grafo G=(V,A,u): 1.1 definisci un flusso iniziale X ammissibile, in particolare il flusso nullo: xij=0 per ogni (i,j) in A 1.2 f=0 2. Costruisci il grafo ausiliario G(X) 3. Cerca in G(X) un cammino aumentante p dalla sorgente al pozzo 3.1 Se non esiste alcun cammino allora STOP: il flusso corrente è massimo 3.2 Altrimenti sia p il cammino aumentante trovato su G(X): - Sia =min{rij: (i,j) appartiene a p } - Aggiorna le capacità residue sugli archi del cammino trovato: and - torna al passo 3. 4. Calcola il valore del flusso ottimo trovato: - )

  29. Complessità dell’algoritmo del grafo ausiliario 21000 21000 1 21000 21000

  30. Approcci alternativi Per migliorare la complessità dell’algoritmo ci sono diversi approcci: • cercare un cammino con il numero minimo di archi (shortest augmenting path algorithm ) • posso cercare un cammino con una capacità almeno pari ad una quantità  fissata di volta in volta (capacity scaling algorithm) • algoritmi di preflow push

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