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Ecuaciones diferenciales. 5. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales Objetivo El alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de separación de variables en su resolución. Ecuaciones diferenciales parciales.
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Ecuaciones diferenciales 5. Introducción a las ecuaciones en derivadas parciales Objetivo El alumno conocerá las ecuaciones en derivadas parciales y aplicará el método de separación de variables en su resolución
Ecuaciones diferenciales parciales • Método de separación de variables para resolución de EDPs • Series de Fourier
Método de separación de variables Este método se utiliza para encontrar soluciones completas tipo producto de una EDP: (1) u(x,y) = f(x)g(y) El objetivo del método es convertir una EDP en un conjunto de EDOs al suponer una solución de la forma (1)
Principio de superposición Sean u1, u2, …, un soluciones de una EDP lineal homogénea, entonces la combinación lineal también es una solución
Procedimiento de solución • Suponer una solución producto de la forma (1), de acuerdo con el número de variables independientes de la EDP • Sustituir la solución supuesta en la EDP • Separar las variables • Resolver las EDOs resultantes para cada una de las funciones arbitrarias de la solución, para una constante de separación determinada (> 0, < 0, = 0) • Escribir la solución de la EDP como el producto de las funciones encontradas en 3, para cada una de las constantes de separación consideradas
Ejercicios 1 Obtenga todas las soluciones producto de 2 Resuelva la EDP considerando una constante de separación negativa 3 Para a2 > 0
Ejercicio de tarea Para a2 = 0
Series de Fourier La series de Fourier son una herramienta matemática que permite expresar cualquier función periódica, f(x), como una suma de funciones seno y coseno: Entre más términos de la serie se utilicen, mayor será la aproximación a f(x). Ejemplo: http://www.falstad.com/fourier/
¿Por qué estudiar series de Fourier? Modelo lineal del problema (c) (e) (a) (d) (b) (d) • Excitación de la EDO (señal de entrada o término no homogéneo) • Transformación de la entrada en una serie de Fourier • Solución de la EDO para las cargas armónicas (senos y cosenos) • Representación de la solución como una suma de respuestas armónicas • Suma de las respuestas armónicas para obtener la respuesta global
Espectro de amplitudes de Fourier Espectro de amplitudes de Fourier del Sismo SCT 1985 Sismo SCT 1985 Frecuencia predominante en el sismo ≈ 0.50 Hz →T ≈ 2 seg
T f(x) x Problema de valores en la frontera: flujo unidimensional de calor La solución es una serie infinita (de Fourier) :
Ortogonalidad entre funciones Se dice que las funcioenes f1(x) y f2(x) son ortogonales en el intervalo [a, b] si su producto interno, (f1, f2), en el intervalo [a, b] es cero:
Desarrollo en serie ortogonal Desarrollo en serie ortogonal de una función f(x) definida en [a, b]: donde cn, n = 0, 1, 2, … son números reales y fn, n = 0, 1, 2, … son los elementos de una base ortogonal infinita del espacio vectorial de funciones reales en el intervalo [a, b].
Serie de Fourier Una serie de Fourier es un caso particular de desarrollo en serie ortogonal de una función. Base ortogonal para el desarrollo en series de Fourier:
Haciendo una combinación lineal de los elementos de BF se llega al desarrollo en serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [-p, p] Los coeficientes de la serie están dados por:
Ejercicio Desarrolle en serie de Fourier la función
