درس کنترل ديجيتال مهر 1391

1. بسم ا... الرحمن الرحيم درس کنترل ديجيتال مهر 1391 دکتر حسين بلندي/دکتر سید مجید اسماعیل زاده/ دکتر بهمن قربانی واقعی

2. Discretization of Continuous-Time State Space در كنترل ديجيتال سيستم هاي پيوسته- زمان نيازمند تغيير سيستم هاي پيوسته- زمان به گسسته- زمان هستیم. اينگونه تغيير توسط نمونه گيري هاي مصنوعي انجام مي پذيرد. خطاي بوجود آمده را مي توان با انتخاب Sampling پريود كوچك از بين برد. گسسته- زمان نمودن سيستم هاي پيوسته- زمان فرض مي كنيم كه فقط در لحظات مشخص شده و بطور مساوي تغيير پيدا مي كند. در نظر داشته باشيد كه عمل نمونه گيري بطور مصنوعي انجام مي پذيرد.

3. سيستم گسسته زمان معادل برابر خواهد بود با: بستگي به مقدار زماني نمونه گيري يعني دارند. و ماتريس هاي ، fixed باشد، آنگاه اين دو ماتريس ثابت خواهند بود. وقتي كه

4. ، نمونه گيري شده باشد و به يك Zero-Order-Hold فرض مي كنيم كه در بين Interval دو لحظه نمونه گيري ثابت وارد شده است. بنابراين اجزاء خواهند بود:

5. كم كنيم داريم: ضرب نموده و از معادله را در اگر معادله ، لذا مي توانيم در معادله براي از آنجاكه عوض كنيم. را با كه در آن .

6. خيلي كوچك يعني اگر بايد توجه داشت اگر به سمت ماتريس Identity سوق خواهد داشت. در نظر گرفته شده باشد،

7. مثال: سيستم معادل گسسته زمان را در حاليكه T=1 است بدست آوريد؟ حل:

8. If

9. «تحليل پايداري» مقدمه : • پايداري همانند موضوعات كنترل‌پذيري و مشاهده‌پذيري يك خاصيت كيفي از سيستم مهندسي است. بدون شك مهمترين مشخصه يك سيستم كنترل مي‌تواند پايداري آن باشد.نكته‌اي كه حائز اهميت است آن است كه در سيستم‌هاي عملي موضوع طراحي جدا از درنظر گرفتن موضوع پايداري نيست. • درجة پيچيدگي تحليل پايداري سيستم‌هاي ديناميكي با تغيير مدلهاي سيستم از LTI به سيستم‌هاي غيرخطي يا TV بسرعت تغيير مي‌كند و لذا بدست آوردن روشهايي كه بتواند به اين سيستم‌ها پاسخگو باشند از اهميت ويژه‌اي برخوردار است.

10. تعاريف پايداري : بطور كلي اگر سيستمي بدون اعمال ورودي و هرگونه اغتشاشي داراي خروجي باشد كه در يك حالت باقي مانده است سيستم را در حالت تعادلمي‌گوئيم. حال اگر يك سيستم كنترل خطي مستقل از زمان تحت تأثير يك اغتشاش قرار گيرد و خروجي آن بالاخره به حالت تعادل بازگردد سيستم را پايدارمي‌خوانيم. در مقابل اگر سيستم LTI تحت تأثير اغتشاش قرار گرفته و خروجي براي هميشه نوسان كند آنگاه سيستم را ناپايدار مي‌خوانيم. مثال: G,F,E,A و فيمابين D,B را نقاط تعادل گويند. نقاطي مانند F,A نقاط ناپايدار هستند. نقاطي مانند E,G نقاط پايدار هستند. فيمابين D,B نقاط پايدار طبيعي مي‌گوييم. (به نقطه تعادل باز نمي‌گردد اما كمي جلو رفته دوباره مي‌ايستد)

11. لياپونف دو ديدگاهرا مطرح مي‌كند : روش اول :روشهاي موجود به پاسخ سيستم بستگي دارند. روش دوم :روشهايي هستند كه به حل معادلات سيستم بستگي نداشته و بدين علت است كه از روشهاي كاربردي محسوب مي‌شوند. تعاريف :

12. حالت تعادل : اگرسيستم L T I باشد : آنگاه اگر Anonsingular باشد تنها يك حالت تعادل و اگر Asingular باشد تعداد بيشماري حالت تعادل خواهيم داشت.براي تعيين حالتهاي تعادل لازم نيست كه معادله ديفرانسيل (1) را حل كنيم بلكه حل (2) كافي خواهد بود.

13. پايداري از ديد لياپونف : در اينجا يك ناحيه كروي با شعاع k حول حالت تعادل بصورت زير مشخص می کنيم :

15. پايداري مجانبي از ديد لياپونف : تذکر : در عمل پايداري مجانبي مهمتر از پايداري مطلق است. همچنين از آنجا كه پايداري مجانبي يك مفهوم موضعي است صرف برقرار كردن پايداري مجانبي به معناي درست كار كردن سيستم نمي‌باشد. اگر كه انحرافات اوليه حالت سيستم از حالت تعادل زياد باشد آنگاه پايداري مجانبي اطلاعات زيادي را از رفتار سيستم نخواهد داد و در واقع با انحراف زياد ممكن است سيستم حتي ناپايدار شود. بنابراين در عمل عموماً داشتن اندازة بزرگترين محدودة پايداري مجانبي لازم است كه به اين بزرگترين محدودة پايداري، حوزه جذبمي‌گوييم.

16. ـ پايداري مجانبي بزرگ مقياس( Enlarge(: اگر پايداري مجانبي به ازاي همة حالتهاي شروع مسيرهاي برقرار باشد آنگاه حالت تعادل را پايدار مجانبي بزرگ مقياس مي‌گوييم. ناپايداري :

17. روش مستقيم لياپانوف اگر انرژي کل يک سيستم مکانيکي(الکتريکي)غيرپيوسته زايل شود، بايد سرانجام در يک نقطه تعادل استقرار پيدا کند.لذا ميتوانيم در خصوص پايداري يک سيستم با بررسي تغييرات توابع اسکالر اقدام کنيم. مثال:

18. فرض ميکنيم که جرم را توسط يک فاصله زيادتر از حد طول معمول فنر بکشيم و بعد رها کنيم، سئوال اينست که پاسخ نهايي(حرکت نهايي)پايدار است يا خير؟ بدست آوردن اين سئوال در مورد پايداري بسيار مشکل است،چرا که حلgeneral اين معادله موجود نيست،روش خطي سازي نيز کامل نيست،چرا که اين حرکت خارج از محدوده خطي اتفاق افتاده است.اما آزمايش انرژي سيستم ميتواند پاسخگوي سئوال ما باشد.

19. مقايسه تعاريف پايداري و انرژي مکانيکي،ارتباط بين اين دو کليت را مشخص ميکند. 1-نقطه تعادل= انرژي صفرx(0) ، 2-پايداري مجانبي═» converge نمودن انرژي مکانيکي به صفر 3-ناپايداري═»رشد انرژي مکانيکي روابط فوق نشان ميدهند که انرژي مکانيکي بطور غير مستقيم قدر مطلق بردار حالت را Reflect ميکند. يعني پايداري سيستم را ميتوان با مشخص کردن ضرايب انرژي مکانيکي سيستم بررسي نمود.

20. اين بدين معناست که انرژي سيستم از يک نقطه شروع شده است و بطور پيوسته در حال تنزل کردن ميباشد تاجائيکه جرممستقر شود، يعني :

21. پايداري سيستم‌هاي LTI

22. آنگاه پاسخ سيستم به هر حالت اوليه را مي‌توان بصورت زير نشان داد : براي سيستم‌هاي قطري ناپذيراين عبارت شامل قسمتهاي اضافي بصورت زير می باشد : قضيه 1: سيستم خطي LTI زير را درنظر بگيريد. اين سيستم پايدار به مفهوم لياپونف است اگر و فقط اگر :

23. الف :كلية مقادير ويژه A قسمتهاي حقيقي غيرمثبت داشته باشند. ب :آن دسته از مقادير ويژه A كه قسمتهاي حقيقي آن صفر هستند، صفرهاي ساده چند جمله‌اي معادله مشخصه A باشند. بعبارت ديگر در صورت تبديل شدن A به بلوك جردن، درجة بلوك جردن متناظر با مقدار ويژه‌اي كه قسمتهاي حقيقي آن صفر است، يك باشد. اثبات(CT CHEN) :

25. قضيه 2: سيستم خطی زير پايدار مجانبي است اگر و فقط اگر كليه مقادير ويژه A داراي قسمتهاي حقيقي منفي باشند. قضيه 3: سيستم خطی زير پايدار مجانبي است نهايي است اگر و فقط اگر پايدار مجانبي باشد. قضيه 4: سيستم خطی به مفهوم لياپانوفپايدار است اگر و فقط اگر : الف ـكليه مقادير ويژه A قسمتهاي حقيقي غير مثبت داشته باشند (قسمت حقيقي منفي يا صفر ) . ب ـآن دسته از مقادير ويژه A كه قسمتهاي حقيقي آنها صفر هستند، صفرهاي ساده چند جمله‌اي مشخصه A(minimal Polynomial)باشند .

26. . روش دوم لياپونف : بدون استفاده از حل معادلات و همچنين بدون بدست آوردن معادله مشخصه در خصوص پايداري بحث كنيم. مي‌دانيم هر قطب G(s) مقدار ويژه A است اما بالعكس آن صحيح نيست. شرط پايداري: سيستم تعريف شده با ماتريس تبديلG(S) پايدار BIBO است اگر و فقط اگر قطبهاي هر عنصر G(S) قسمتهاي حقيقي منفي داشته باشد.

27. مثال: not A.S.YStable

28. قضيه 6 : اگر سیستم خطی، كنترل‌پذير و مشاهده‌پذير باشند آنگاه عبارات زير معادل هستند: 1) سيستم كاملاً پايدار است. 2) پاسخ حالت صفر BIBO است. 3) پاسخ حالت صفر پايدار مجانبي است. 4) كليه قطبهاي ماتريس تبديل داراي قسمتهاي حقيقي منفي هستند. 5)كليه مقادير ويژه A داراي قسمتهاي حقيقي منفي مي‌باشند.

29. روش دوم لياپونف: روش دوم يا مستقيم لياپونف بدون بدست آوردن پاسخ سيستم يعني x(t) پايداري سيستمهاي خطي و غيرخطي را تعيين مي‌كند. اين روش برعكس روش اول كه تعيين مقدار ويژه معادلات خطي الزامي است، بوده و بدون حل معادلاتسيستم مي‌تواند به تعيين پايداري بپردازد. اين روش با جامعيتي كه دارد براي سيستمهاي با ورودي (بدون ورودي )LT / LTI ، خطي / غيرخطي قابل اعمال است. در اين روش با انتخاب يك تابع اسكالر (v(xبه تعيين پايداري سيستم مي‌پردازيم. وقتي كه (v(x شرايط لياپونف را برآورده كند آن را تابع كانديداي لياپونف مي‌ناميم. مشكل اساسي موجود در اين روش آن است كه تعيين يك تابع لياپونف مناسب به راحتي مسير نمي‌باشد. و عدم برآورده شدن شرايط پايداري به معناي عدم پايداري يا عدم وجود يك تابع كانديداي لياپونف نيست.

30. تعاريف • معين مثبت بودن توابع اسكالر: تابع اسكالر v(x) را در ناحيه كه در برگيرنده مبدأ فضاي حالت است، P.D مي‌گوييم كه هرگاه به ازاي تمام حالتهاي غيرصفر داشته باشيم : • معين منفی بودن توابع اسكالر: تابع اسكالر v(x) را معين منفیمی گوييم، هرگاه v(x)- ، معين مثبت باشد . • نيمه معين مثبت PSD تابع اسكالر v(x) را PSD گوييم هرگاه جزء در مبدأ و در برخي حالتهاي ديگر ناحيه مثبت باشد. كه تابع صفر است در بقيه حالتهاي ناحيه

31. نيمه معين منفیN.S.D تابع اسكالر (v(x را N.S.D گوييم اگر كه (PSD , -v(x باشد. • نامعين بودن اسكالر هم مقادير مثبت و هم مقادير منفي را دارا باشد آنرا نامعين مي‌گوييم. اگر تابع اسكالر (v(x در ناحيه مثال: مثال:

32. مثال: مثال:

33. صورتهاي درجه 2: دسته مهمي از توابع اسكالر كه داراي نقش در تعيين پايداري هستند (لياپونف روش دوم ) صورتهاي درجه 2 مي‌باشند. صورت درجه 2 يك چند جمله‌اي همگون و حقيقي از متغيرهاي حقيقي بصورت زير مي‌باشد.

34. زمستان 1382

35. ماتريس p را ماتريس مثبت معين يا مثبت نيمه معين مي‌گويند اگر هر كدام از شرايط زير برآورده شود : 1)تمام مقادير ويژ ه p مثبت باشند. 2)تمام كهادهاي اصلي مقدم مثبت باشند. (كليه كهادي اصلي ) غيرمنفي باشند. كهادهاي اصلي

36. كهادهاي اصليمقدم

37. آنگاه : 1) 2) 3)شرط لازم و كافيبراي آنكه صورتهاي درجه 2P .S. D, باشد آن است كه Pويژهبوده و كليه كهادهاي اصلي غير منفيباشند. 4)شرط لازم و كافيبراي آنكه صورتهاي درجه 2 N.S.D باشد آن است كه Pويژه بودهو كليه كهادهاي اصلي مرتبه زوج غيرمنفي و مرتبة فرد غيرمثبتباشند. در حالتهاي ديگر صورتهاي درجه 2 نامعين است.

38. مثال :

39. مثال :

40. برگشت به روش دوم لياپونف : از تئوري كلاسيك مكانيك مي‌دانيم كه سيستم ارتعاشي در صورتي پايدار است كه كل انرژي آن كه يك تابع P.D باشد تا رسيدن به حالت تعادل به طور پيوسته كاهش پيدا كند يعني آنكه مشتق زماني مجموع انرژي بايد N.D باشد، تا اينكه سيستم به حالت تعادل برسد. روش دوم لياپونف بر اين واقعيت بنا شده كه اگر سيستم داراي حالت تعادل پايدار مجانبي باشد آنگاه انرژي ذخيره شده در سيستم كه در حوزه جذب جابه‌جا شده با گذشت زمان كاهش پيدا مي‌كند، تا سرانجام به حداقل مقدار خود در حالت تعادل برسد. هر تابع اسكالري كه قضاياي لياپونف را برآورده كند يك تابع كانديداي لياپونف است كه رفتار اين تابع و مشتق آن تعيين كننده پايداري ازI.S.L است.

41. قضيه پايداري مجانبي يكنواخت: اگر كه سيستم به شكل زير تعريف شده باشد كه : داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد : آنگاه اگر تابع اسكالر آنگاه حالت تعادل در مبدأ داراي پايداري مجانبي يكنواخت است.

42. قضيه پايداري لياپونف : اگر سيستم به شكل زير باشد كه : داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد : آنگاه اگر تابع اسكالر حالت تعادل داراي پايداري يكنواخت است.

43. قضيه ناپايداري اگر سيستم به شكل زير باشد كه : Dr. H. Bolandi داراي مشتقات جزئي اول پيوسته باشد و شرايط زير را برآورده سازد : آنگاه اگر تابع اسكالر آنگاه سيستم ناپايدار است.

44. در خصوص پايداري سيستم تحقيق كنيد. مثال : حل :

45. جمع‌بندي براي سيستم‌هاي غيرخطي : 1)در بكارگيري قضيه‌هاي لياپونف براي سيستمهاي غيرخطي بايد توجه داشت كه شرايط پايداري بدست آمده از يك تابع خاص لياپونف فقط شرط كافي است و در برگيرنده شرط لازم نمي‌باشد. 2)بدست آوردن تابع لياپونف براي اين سيستم unique واحد نيست بنابراين اگر نتوان تابع لياپونف خاص و صحيحي را تعريف كرد آنگاه نمي‌توان در خصوص پايداري بحث كرد. 3)براي حالت تعادل پايدار / پايدار مجانبي همواره يك تابع لياپونف وجود دارد.

46. تحليل پايداري سيستم‌هاي L T I با استفاده از روش لياپونف : سيستم زير را درنظر بگيريد: فرض مي‌كنيم كه A ناويژه است يعني در واقع تنها حالت تعادل، مبدأ يعني x=0 است حال با توجه به مفروضات فوق به تحليل پايداري از ديدگاه لياپونف مي‌پردازيم: برای سيستم فوق يك تابع احتمالي لياپونف v را درنظر مي‌گيريم بطوريكه :

47. از آنجا كه v(x) را P.D انتخاب كرديم لذا براي پايداري مجانبي لازم است كه مشتق تابع لياپانوف N.Dباشد. بنابراين :

48. براي اثبات پايداري مجانبي سيستم کافيست : قضيه سيلوستر: آنست كه دترمينان تمام كهادهاي شرط لازم و كافي براي آنكه ثابت كنيم كه اصلي متوالي آن مثبت باشند. حال به جاي آنكه ابتدا ماتريس مثبت معين P را مشخص كرده و تعيين كنيم كه آيا Q، P.D هست يا خير، راحتتر است كه ابتدا ماتريس Q را P.Dانتخاب كنيم و سپس بررسي كنيم كه آيا P بدست آورده شده از معادلة زير مثبت معين است يا خير ؟

49. قضيه:

50. Remarks