Generaci ón jerárquica de puntos, curvas d-offset y ploteo de curvaturas

1. Generación jerárquica de puntos, curvas d-offset y ploteo de curvaturas asociado a un A-spline cúbico Wilfredo Morales Lezca Facultad de Matemática y Computación Universidad de la Habana

2. Antecedentes Desarrollodebases teóricas de un esquema A-spline cúbico a partir del cual se aporta un conjunto de algoritmos que resuelven eficientemente un conjunto de problemas de CAGD.

3. Bondades • Interpolación de puntos con vectores tangentes y valores de curvatura prescritos, sin imponer restricciones como las que aparecen en trabajos anteriores ( (Baj01), (Meek03), etc.) • Cada sección del A-spline cuenta con un parámetro libre empleado para interpolar un punto adicional oparacontrolar la distancia de la sección del • A-spline al segmento que une sus puntos extremos. • Control local del cálculo de los parámetros que determinan cada sección del • A-spline lo que aporta una gran flexibilidad para cambiar los datos de entrada • y, consecuentemente, actualizar la curva A-spline . • Solución del problema y graficación de su solución secuencialmente en tiempo real.

4. Pendientes • Contar con herramientas apropiadas para el ploteo de curvaturas de las curvas A-spline. • Cálculo de las curvas d-offset asociadas al • A-spline. • Estudio del “fairness”.

5. Inconvenientes • Los puntos sobre la curva son generados sin respetar el orden del recorrido de la curva. • Para generar una buena aproximación del gráfico de la curva es necesario calcular un número muy grande de puntos.

6. Objetivos del Trabajo • Elaboración de un nuevo algoritmo para generar puntos sobre la curva A-spline de forma jerárquica. • Resolver los dos inconvenientes ya señalados. • Generar eficientemente una sucesión de aproximaciones • lineales a la curva A-spline, al gráfico de su ploteo de • curvatura y a la curva d-offset asociada.

7. Algoritmo de Trabajo Subproblemas • Dados dos puntos del A-spline, generar un punto intermedio sobre la curva, de forma jerárquica . • Dado un punto de la curva, calcular puntos sobre la curva d-offset. • Dado un punto sobre la curva, calcular la curvatura en dicho punto.

8. Invarianza Teorema La relación de paralelismo entre dos rectas que pasan por puntos interiores de un triángulo es invariante al cambio de coordenadas baricéntricas uv (respecto al triángulo) a coordenadasrealesxy y viceversa. Dada una curva cúbica y un punto sobre la curva, expresados ambos en coordenadas baricéntricas, la recta tangente a la curva en el punto en este sistema de coordenadas tiene como imagen la recta tangente a la curva en el punto, expresados ahora ambos en coordenadas reales.

9. Subproblema 1 • Dados dos puntos del A-spline, generar un punto intermedio sobre la curva.

10. Subproblema 1 • Dados dos puntos del A-spline, generar un punto intermedio sobre la curva.

11. Subproblema 1

12. Subproblema 1

13. Subproblema 1 Blossom Jerárquico Triángulos 7701 Puntos 3879 Triángulos 1276 Puntos 93

14. Subproblema 1

15. Subproblema 1 Proposición

16. Subproblema 2 • Dado un punto de la curva, calcular puntos sobre la curva d-offset. } }

17. Subproblema 3 • Dado un punto sobre la curva, calcular la curvatura en dicho punto.

18. Ajuste Una matriz en la que el valor de en un píxel es el nivel de gris correspondiente [Her02] FITTING A CONIC A-SPLINE TO CONTOUR IMAGE DATA V. Hernández Mederos, D. Martínez Morera y J. Estrada Sarlabous Técnicas clásicas (segmentación, dilatación condicional, erosión) de procesamiento de imágenes , para mejorar la calidad , para obtener puntos que describen el contorno Se calculan los utilizando un método de detección de bordes y se ordenan en la dirección del movimiento de la curva de contorno. [Sah88], [Dou92] , [Gon92]

19. Ajuste Cálculo de los puntos representativos del contorno de una imagen digital Datos de entrada [Her02] Cálculo de las direcciones tangentes en cada vértice de la poligonal. Hallazgo del polígono de control del A-spline cúbico Cálculo de los valores de curvatura asociados a cada vértice de la poligonal. Ajuste de los datos dentro de cada triángulo del polígono de control.

20. Ajuste

21. Ajuste

22. Ajuste

23. Ajuste

24. Ajuste Selecionados los quepertenecen a la región de interés Ecuación de cuartogrado en variable por [Beh09], susoluciónexiste y esúnica Evaluamosen la ecuación del A-spline Sea el centro de masa del triángulo si si

25. ¿A-splineFair? • [Lev09]Interpolating Splines: Which is the fairest of them all? RaphLevienand Carlo H. Séquin • Extensionalidad (al adicionar datos, la curva original no varía significativamente) • Redondez (reproducción de arcos de círculos) • Curvatura monótona • Alto grado de continuidad

26. ¿A-splineFair? En estesentidonuestroalgoritmo de generaciónjerárquicapermite sin mucho costocalcularunabuenaaproximación de la energíaelástica. Unabuenaaproximaciónsería

27. Conclusiones En este trabajo se presentan nuevos algoritmos para graficar curvas A-spline cúbicas y para el ajuste de contornos de imágenes digitalizadas se logró una versión más actual y poderosa con ventajas sobre los a realizados anteriormente dentro del grupo de investigación. Las soluciones obtenidas para los tres subproblemas en que se subdividió este algoritmo permiten, sin mucho costo computacional, obtener aproximaciones del gráfico de la curva A–spline, del ploteo de curvaturas y del de la curva d-offset del A-spline. Los resultados de este trabajo encuentran aplicación en la solución de diversos problemas del CAGD.

28. FIN Gracias

29. Respuestas a la oponencia • ¿Puede explicar la relación entre la Ck-continuidad y la Gk-continuidad en los casos k=1,2? • Gk-continuidad: para k arbitrario todos los invariantes geométricos de orden menor o igual que k varían continuamente a lo largo de la curva. • G1-continuidad: la tangente varia continuamente. • G2-continuidad: la curva es G1 • y la curvatura varia continuamente. • No está vinculada a ninguna parametrización

30. Respuestas a la oponencia • ¿Puede explicar la relación entre la Ck-continuidad y la Gk-continuidad en los casos k=1,2? • Ck-continuidad : sea una curva pararmétrica si son k veces diferenciables respecto a t para la paramertización de la curva Depende de la parametrización

31. Respuestas a la oponencia • ¿Puede explicar la relación entre la Ck-continuidad y la Gk-continuidad en los casos k=1,2? No presenta singularidades No presenta singularidades

32. Respuestas a la oponencia ¿Puede explicar la importancia de la invarianza de la relación de paralelismo en el cambio de coordenadas reales a baricéntricas y viceversa?

33. Ajuste • ¿Puede explicar la relación entre la Ck-continuidad y la Gk-continuidad en los casos k=1,2? • ¿Puede explicar la importancia de la invarianza de la relación de paralelismo en el cambio de coordenadas reales a baricéntricas y viceversa?