FUNDAMENTOS DO CÁLCULO Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹ Orientadora: Ximena Mujica Serdio ²

1. FUNDAMENTOS DO CÁLCULO Aluno: Reinaldo Ançay Junior ¹ Orientadora: Ximena MujicaSerdio ² Departamento de Matemática ¹ reinaldo.anc@ufpr.br ² xmujica@ufpr.br Resumo Este trabalho versa sobre vários assuntos que fundamentam o estudo de resultados sobre funções reais. Iniciando com operações sobre conjuntos, relações binárias e seu uso para definir o conceito de função, o uso de funções para estudar a cardinalidade de conjuntos e, em particular, o uso de sequências para o estudo de conjuntos infinitos. Finalmente, no conjunto do reais, as consequências do axioma do supremo. • 1. Operações sobre conjuntos • Sejam e dois conjuntos: • Reunião: ; • Interseção: ; • Diferença: ; • Dizemos que é subconjunto de , e escrevemos , se para cada em , está em ; se e dizemos que é subconjunto próprio de . • 2. Relações binárias • Sejam e dois conjuntos não vazios, uma relação binária entre e , é um subconjunto de . Por exemplo se • e , • algumas relações entre e são: • , • ,, • , , , • Se , dizemos que é uma relação em . • 2.1 Propriedades das relações binárias • Reflexiva:, para cada em; • Simétrica: Se então ; • Antissimétrica: Se e (, então ; • Transitiva: Se , , então ; • Se , , então . • Diremos que é uma relação de equivalência sobre um conjunto se satisfaz as propriedades transitiva, simétrica e reflexiva. Já uma relação de ordem sobre um conjunto é uma relação que satisfaz as propriedades transitiva, antissimétrica e pode ou não ser reflexiva. Dizemos que um conjunto é totalmenteordenadose existe uma relação de ordem definida sobre e para cada , têm-se ou . Dizemos que é uma função se satisfaz a propriedade v. • 3. Funções • No item 2.1 definimos função, mas a notação acima é pouco utilizada de modo que vamos redefini-la. Sejam e dois conjunto não vazios. Uma função de em é uma regra que associa a cada elemento um único elemento , denotado por . Algumas nomenclaturas são: • Domínio: o conjunto recebe o nome de domínio de e é denotado por ; • Contradomínio: o conjunto recebe o nome de contradomínio de e é denotado por ; • Imagem: a imagem de , denotada por ,define-se como o conjunto • Gráfico: o gráfico de é definido por: • , • Note que corresponde à relação definida em 2.1. Uma notação usual para a dada função é • 3.1 Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas • Considere uma função . Dizemos que é uma função injetiva se, para quaisquer , . • A função é dita sobrejetiva se . • No caso de ser, ao mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva, diz-se que é uma função bijetiva. • 3.2 Imagem direta por uma função • A imagem direta de um conjunto pela função é definida por • 5.2 Conjuntos infinitos • Um conjunto é infinito quando não é vazio e não existe uma função bijetiva com . • 5.3 Conjuntos enumeráveis • Dizemos que um dado conjunto é enumerável se é equivalente ao conjunto ,isto é, se existe uma função bijetora . • 5.4 Conjuntos não enumeráveis • Suponha que determinado conjunto assume a seguinte propriedade: todo subconjunto enumerável de é subconjunto próprio de (). Neste caso, diz-se que é um conjunto não enumerável. Note que, isto equivale a não existir função bijetiva de em nem de em . • 6. Conjuntos limitados • Sejam um conjunto ordenado e com . Dizemos que é limitado superiormente se existe tal que . é chamado cota (ou limitante) superior. De forma análoga, dizemos que é limitado inferiormente se existe tal que . A chamamos de cota inferior. • Denomina-se como um conjunto limitado se possui limitantes superior e inferior. • 6.1 Mínimo, máximo, ínfimo e supremo • Seja . Dizemos que é um mínimo de se é uma cota inferior de e . Da mesma forma, dado um , diz-se que é um máximo de se for uma cota superior de e . • Denotam-se, respectivamente, o máximo e o mínimo de por e .O máximo e o mínimo de determinado conjunto, quando existem, são únicos. • Considere um elemento . é dito ínfimo de (denotado por ) se: • é cota inferior de ; • Se é cota inferior de , então, ( é a maior das cotas inferiores de ). • De forma análoga, é dito supremo de () se: • é cota superior de ; • Se é cota superior de , então, ( é a menor das cotas superiores de ). • Assim como no caso do máximo e mínimo, o supremo e o ínfimo, quando existem, são únicos. • 7. O axioma do supremo • Todo conjunto não vazio de , limitado superiormente, possui supremo. • 7.1 Consequências do axioma do supremo • não é limitado superiormente; • Propriedade de Arquimedes: se e são dois números reais quaisquer, então existe pelo menos um número natural tal que ; • Propriedade dos intervalos encaixantes: sejam intervalos fechados e limitados tais que , então • 8. Tópicos de estudo futuro • Como este projeto ainda está em andamento, estudaremos ainda o uso de sequências para estudar a continuidade de funções reais e também estudaremos alguns teoremas, como o teorema do confronto e o teorema do valor médio. • 9. Referências • 1. DOMINGUES, HyginoHugueros. Espaços Métricos e Introdução à Topologia. Atual Editora LTDA, 1982. • 2. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo Volume 1. LTC Editora, 2001. • Sejam uma função, e conjuntos. A imagem direta assume as seguintes propriedades: • ; • Se é não vazio, também o é; • Se , então, ; • ; • . • 3.4 Imagem inversa por uma função • A imagem inversa de um conjunto pela função é definida por • Sejam uma função, e conjuntos. A imagem inversa assume as seguintes propriedades: • ; • Se , então, ; • ; • ; • . • 4. Os números reais • No conjunto dos números reais (denotado por ) estão definidas duas operações, adição () e multi-plicação () e uma relação de ordem (). • 4.1 Propriedades da adição e multiplicação • Nos reais, adição e a multiplicação, respectivamente, seguem as propriedades abaixo. Dados e : • Associatividade: • e • Comutatividade: • e • Distributiva: • Existência de elemento neutro: • e • Existência de elemento oposto / inverso: • e , • Compatibilidade da ordem com as operações: • e • 4.2 O corpo ordenado dos reais • Admitiremos que a quádrupla é um corpo ordenado, isto é, satisfaz todas as propriedades descritas no item 4.1 e possui uma relação de ordem definida sobre si. • 5. Sequências numéricas • Uma sequência numérica é uma função , onde e é um conjunto numérico previamente definido. • 5.1 Conjuntos finitos • Um conjunto é finito se ou se existe uma função com (sequência) bijetiva. Note que as funções bijetivas definem uma relação de equivalência no conjunto de todos os conjuntos.