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Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados

Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados. Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressão numérica), o método dos mínimos quadrados é largamente utilizado na calibração estática de sistemas de medição.

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Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados

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Presentation Transcript

  1. Ajuste de curvas - Método dos Mínimos Quadrados Devido a simplicidade dos cálculos e a extensa aplicabilidade em ajustes de curvas em pontos (regressão numérica), o método dos mínimos quadrados é largamente utilizado na calibração estática de sistemas de medição. Pode-se utilizar este método para vários tipos de curvas (funções), e aqui apresenta-se uma aplicação para medidor de vazão tangencial, calibrado através do método gravimétrico.

  2. Q Qi l/s l/s 0,09 0,09 0,20 0,20 0,31 0,30 0,39 0,40 0,48 0,50 0,57 0,60 0,65 0,70 0,74 0,80 0,84 0,91 0,93 1,00 Equacionamento: Qi = 1,105 . Q - 0,0246 Q = 0,902 . Qi + 0,0232

  3. Propagação de Incertezas Através de Módulos

  4. Motivação • Algumas vezes é necessário compor sistemas de medição reunido módulos já existentes. • O comportamento metrológico de cada módulo é conhecido separadamente. • Qual o comportamento metrológico do sistema resultante da combinação dos vários módulos?

  5. 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 6.414 Transdutores UTS Dispositivos mostradores ?

  6. Módulo 1 Módulo 2 Módulo n Composição de sistemas de medição sistema de medição ... ESM SSM

  7. Módulo 1 K(M1): sensibilidade C(M1): correção u(M1): incerteza padrão Modelo matemático para um módulo E(M1) S(M1) Idealmente: S(M1) = K(M1) . E(M1) Em função dos erros: S(M1) = K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)

  8. Módulo 1 Módulo 2 Modelo para dois módulos S(M1) E(M1) S(M2) E(M2) S(M1) = K(M1) . E(M1) - C(M1) ± u(M1) S(M2) = K(M2) . E(M2) – C(M2) ± u(M2) E(M2) = S(M1) S(M2) = K(M2) . [K(M1) . E(M1) – C(M1) ± u(M1)] – C(M2) ± u(M2) S(M2) =K(M1) . K(M2) . E(M1) - [C(M1). K(M2) + C(M2)] ± [u(M1). K(M2)+ u(M2)]

  9. ... E(SM) S(SM) Módulo 1 Módulo 2 Módulo n K(M1), C(M1), u(M1) K(M2), C(M2), u(M2) K(Mn), C(Mn), u(Mn) • Sensibilidade Equivalente Modelo matemático para n módulos sensibilidade S(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn) . E(SM) K(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn)

  10. Correção Relativa Equivalente para o módulo “k” para o sistema de medição Modelo matemático para n módulos correção Cr(SM) = Cr(M1) + Cr(M2) + ... + Cr(Mn) sendo: Cr = correção relativa, calculada por: CE(SM) = correção na entrada do SM CS(SM) = correção na saída do SM

  11. Incerteza Padrão Relativa Equivalente para o módulo “k” para o sistema de medição Modelo matemático para n módulos incerteza ur(SM)2 = ur(M1)2 + ur(M2 )2 + ... + ur(Mn )2 sendo: ur = incerteza relativa, calculada por: uE(SM) = incerteza na entrada do SM uS(SM) = incerteza na saída do SM

  12. Modelo matemático para n módulos graus de liberdade efetivos sendo: número de graus de liberdade efetivo do sistema de medição a incerteza padrão relativa combinada do sistema de medição a incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo n de graus de liberdade da incerteza padrão relativa do i-ésimo módulo

  13. para o módulo “k” para o sistema de medição Modelo matemático para n módulos • Se o número de graus de liberdade com que cada incerteza padrão é determinada é o mesmo, a equação também pode ser escrita em termos da incerteza expandida como: Ur(SM)2 = Ur(M1)2 + Ur(M2 )2 + ... + Ur(Mn )2

  14. Correção e Incerteza em Termos Absolutos Correção e Incerteza Na entrada do SM: Na saída do SM:

  15. transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro Problema: • A indicação do voltímetro abaixo é 2,500 V. Determine o resultado da medição do deslocamento, efetuado com o sistema de medição especificado abaixo, composto de: ESM= ? 2,500 V

  16. transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro ESM= ? 2,500 V transd. indutivo de deslocamentos faixa de medição: 0 a 20 mm sensibilidade: 5 mV/mm correção: - 1 mV u = 2 mV ν=16 unidade de tratamento de sinais faixa de medição: ± 200 mV (entrada) amplificação: 100 X correção: 0,000 V u = 0,2 % (VFE) ν=20 disp. mostrador: voltímetro digital faixa de medição: ± 20 V correção: 0,02% do valor indicado u = 5 mV ν=96

  17. 2,500 V 25,00 mV 5,00 mm transd. indutivo amplifi-cador voltí-metro ESM= ? 2,500 V KUTS = 0,1 V/mV CUTS = 0,000 V uUTS = 0,2 % . 0,20 V KT = 5 mV/mm CT = - 1 mV uT = 2 mV KDM = 1 V/V CDM = 0,02 % . 2,5V uDM = 5 mV CrDM = 0,0005/2,5 = 0,0002 urDM = 0,005/2,5 = 0,002 CrT = - 1/25 = -0,04 urT = 2 /25 = 0,08 CrUTS = 0,000 urUTS = 0,0004/2,5 = 0,00016

  18. sensibilidade KSM = KT . KUTS . KDM = 5 mV/mm . 0,1 V/mV . 1 V/V KSM = 0,5 V/mm correção CrSM = CrT + CrUTS + CrDM = -0,0400 + 0,0000 +0,0002 CrSM = -0,0398 na entrada: CESM = CrSM . ESM = -0,0398 . 5,000 mm = -0,199 mm CESM = -0,199 mm

  19. incerteza (urSM)2 = (urT)2 + (urUTS)2 + (urDM)2 (urSM)2 = (0,08)2 + (0,00016)2 + (0,002)2 (urSM)2 = 10-4 . [64+ 0,00026+ 0,04] urSM = 0,080025 na entrada: uESM = urSM . ESM = 0,080025. 5,000 mm uESM = 0,4001 mm

  20. graus de liberdade efetivos UESM = t . uESM = 2,169 * 0,4001 = 0,868 mm

  21. Resultado da medição RM = I + CESM ± UESM RM = 5,000 + (-0,199) ± 0,868 RM = (4,80 ± 0,87) mm

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