Elettrostatica 6 30 maggio 2011

1. Elettrostatica 630 maggio 2011 Capacità elettrica Condensatore piano Condensatore cilindrico Costante dielettrica Cariche indotte nel dielettrico Energia elettrostatica Composizione di capacità

2. Capacità elettrica • Si puo` definire per un numero arbitrario di conduttori • Noi ci limiteremo a due conduttori caricati con cariche uguali e opposte • La capacita` e` il rapporto tra la carica (in valor assoluto) presente su ciascun conduttore e la differenza di potenziale (pure in valor assoluto) tra i conduttori • Ha le dimensioni di carica diviso ddp • La sua unità è il coulomb diviso volt, cioè il farad

3. Condensatore piano • Data una carica Q, per trovare C si determina preventivamente il campo E e da questo si trova il potenziale V • Per il condensatore piano si usa anche il principio di sovrapposizione per i campi generati dalla carica +Q sul primo piatto e –Q sul secondo • Poiché le densità di carica sui due piatti sono uguali in modulo, otteniamo infine

4. Condensatore piano • Cioè il campo E è costante tra le due piastre • La ddp tra i due piatti è • E la capacità è E dl - +

5. Condensatore cilindrico • Applichiamo la legge di Gauss ad una superficie cilindrica di raggio r e lunghezza L, coassiale al conduttore interno • Da cui ricaviamo il campo + dl - E

6. Condensatore cilindrico • La ddp è • E la capacità è

7. Campo elettrico nella materia • Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel campo è una diminuzione di intensità per una costante er(maggiore di 1) che dipende dalla natura del dielettrico • Ne segue che anche la ddp diminuisce dello stesso fattore • Mentre la capacità aumenta dello stesso fattore

8. Campo elettrico nella materia • La carica libera sulle piastre del condensatore polarizza il dielettrico, che si carica superficialmente con cariche legate • La carica libera produce il campo • La carica legata produce il campo • Il campo del dielettrico diminuisce il campo delle piastre del condensatore • Si ottiene così il campo risultante

9. Campo elettrico nella materia • Poiché sappiamo che il campo totale vale • Possiamo trovare il campo dovuto alla carica legata • Dato che campo e densità superficiali sono proporzionali, otteniamo anche

10. Costante dielettrica • erprende il nome di costante dielettrica relativa, è adimensionale • Il prodotto e=e0erprende il nome di costante dielettrica del materiale • Per studiare i fenomeni elettrici nei materiali dielettrici si introduce, accanto a E, il campo D • Ove si e` evidenziato che er puo` dipendere dal punto considerato nel dielettrico

11. Energia elettrostatica • Sia data una distribuzione di carica q che genera un potenziale V. Un aumento di carica dq comporta un aumento di energia potenziale elettrica dU pari a • L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla a carica finale Q è • Espressioni alternative

12. Energia elettrostatica • Nel processo di carica di un condensatore, viene generato un campo E tra le armature • Il lavoro speso per caricare il condensatore può considerarsi come il lavoro necessario per generare il campo E • Condensatore piano di area A, distanza d e con dielettrico • Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica

13. Energia elettrostatica • La quantità Ad è il volume V compreso tra le piastre • Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo l’energia per il volume • Nel caso generale la densita` di energia puo` cambiare da punto a punto e quindi dev’essere espressa in termini differenziali • Inversamente l’energia si trova integrando la densita` nello spazio

14. Energia elettrostatica • Si puo` estendere la relazione al caso generale, di cui non diamo la dimostrazione, nella forma

15. Composizione di capacità • Composizione in parallelo. 1 e 2 hanno la stessa caduta di potenziale ai loro capi. Su 1 c’è la carica Q1 e su 2 la carica Q2 • Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che a parità di ddp V accumuli la stessa carica totale Q=Q1+Q2 • La capacità del condensatore equivalente è quindi la somma delle capacità dei condensatori 1 e 2

16. Composizione di capacità • Composizione in serie. La ddp ai capi di 1 è V1 e ai capi di 2 è V2. Su 1 si accumula la carica Q1 e su 2 la carica Q2 • Poiché tra i due condensatori la carica inizialmente è nulla, per la conservazione della carica avremo che Q1è uguale a Q2 • Vogliamo trovare un singolo condensatore di capacità C che su una ddp pari alla somma delle cadute su 1 e 2, accumuli la stessa carica Q • L’inverso della capacità del condensatore equivalente è quindi la somma degli inversi delle capacità dei condensatori 1 e 2

17. Rigidita` dielettrica • E` il massimo campo elettrico sostenibile dal dielettrico, prima che avvenga una scarica distruttiva • Normalmente sui condensatori si riporta pero` la differenza di potenziale massima sostenibile