Prosti i složeni brojevi

1. Prosti i složeni brojevi

2. Zadatak 1. U jednoj porodici ima šestoro dece. Petoro njih je starije od najmlađeg deteta za 2, 6, 8, 12 i 14 godina. Koliko je koje dete staro ako su godine svih njih prosti brojevi?

3. Rešenje Najmlađe dete ima 5, a ostali 7, 11, 13, 17 i19 godina.

4. Zadatak 2. Marija je napisala četiri uzastopna prosta broja. Zatim ih je pomnožila i dobila proizvod čija je poslednja cifra bila 0. Koje je brojeve Marija napisala? Koliki je proizvod dobila?

5. Rešenje Kako je poslednja cifra proizvoda jednaka0, zaključujemo da je proizvod deljiv sa 10, a onda on mora biti deljiv i sa 2 i sa 5. Pošto je Marija napisala proste brojeve, oni ne mogu biti deljevi sa 2 i 5, osim ako je napisala upravo i brojeve 2 i 5. Odatle zaključujemo da je Marija napisala brojeve 2, 3, 5 i 7. Proizvod je: 2 · 3 · 5 · 7 = 210

6. Zadatak 3. Da li je rezultat donjeg izraza prost broj: 20012001 + 20072007?

7. Rešenje Zadnja cifra od 20012001 je 1. Zadnja cifra od 20072007je neparan broj jer je 2007 neparan broj, a proizvod neparnih brojeva je takođe neparan. Stoga će zadnja cifra od 20012001 + 20072007 biti parna, pa će i taj broj biti paran. Stoga je on deljiv s 2, pa ne može biti prost!

8. Zadatak 4. Danijel ima devet kartica s brojevima1,2,…, 9. Složio je te kartice u nekom redosledu i dobio devetocifreni broj. Može li se dogoditi da on tako dobije prost broj? A složen ?

9. Rešenje Zbir cifara tog broja je 1 + 2 + … + 9 = 45, a broj 45 je deljiv sa 3. Zato je i zadati broj deljiv sa 3, pa ne može biti prost. Dakle, Danijel na taj način može dobiti samo složene brojeve.

10. Zadatak 5. Učitelj je na tabli napisao devet brojeva: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 i tražio od učenika da između njih stave znakove “+” i “-” tako da rezultat budedvocifreni prost broj. Na koliko se načina može rešiti taj zadatak?

11. Rešenje Kao prvo, ne može se dobiti rezultat veći od 45 jer je 1+2+…+9 = 45. Imamo deset dvocifrenih prostih brojeva koji su manji od 45: 11,13,17,19,23,29,31,37,41,43. Evo kako ih možemo dobiti: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - 8 – 9 = 11 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 – 7 + 8 – 9 = 13 1 + 2 + 3 + 4 - 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 17

12. Rešenje (nastavak) 1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 19 1 – 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 – 9 = 23 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 - 8 + 9 = 29 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 - 7 + 8 + 9 = 31 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 37 1 - 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 41 2 – 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 43

13. Zadatak 6. • Pokušaj naći dva različita dvocifrena • prosta broja takva da oni • zadovoljavaju: • kad jednom od njih zameniš cifre, dobijaš drugi broj • razlika tih brojeva je kvadrat nekog prirodnog broja.

14. Rešenje • Dvocifreni prosti brojevi mogu se završavati • samo sa 1, 3, 7 ili 9. Stoga imamo samo četiri • dvocifrena prosta broja koja mogu biti zapisana • sa istim ciframa (ali u obrnutom redosledu): • 31 i 13, 31 – 13 = 18; • 71 i 17, 71 – 17 = 54; • 97 i 79, 97 – 79 = 18; • 73 i 37, 73 – 37 = 36 , a važi i 36 = 62. • Dakle, rešenje su brojevi 37 i 73.

15. Zadatak 7. Marko ima dve kartice sa prostim brojevima A i B. Poslednja cifra od zbira A2+B2 jednaka je 9. Možeš li otkriti koliki su A i B ?

16. Rešenje Ako zbir A2+B2 dva broja završava sa 9, onda je jedan od sabiraka (A2 ili B2) paran, a drugi neparan. Kvadrat bilo kog neparnog broja je neparan, a parnog broja paran, pa zaključujemo da je paran kvadrat zapravo kvadrat broja 2 (jer ne postoji drugi paran prost broj). Dakle, ili je A=2 ili B=2. Pretpostavimo da je A = 2.Tada je A2=4, pa zadnja cifra od B2mora biti 5. Stoga B 2 mora biti deljiv sa 5, a onda i B mora biti deljiv sa 5. Pošto je B prost broj, zaključujemo da je B = 5. Dakle, A=2 , B = 5. Tada je A2+B2 = 29 .

17. Zadatak 8. Ana ima tri kartice sa različitim ciframa.Zaključila je da od njih može složiti 6 različitih trocifrenih prostih brojeva. Dokaži da je to nemoguće!

18. Rešenje • Ako je zadnja cifra trocifrenog broja parna, onda je taj • broj deljiv sa 2, pa ne može biti prost. Odatle • zaključujemo da su sve Anine cifre neparne. • Takođe zaključujemo da na njenim karticama ne može • biti broj 5, jer je trocifreni broj koji završava sa 5, deljiv • s 5, pa ne može biti prost. • Dakle, na Aninim karticama su cifre 1, 3, 7 ili 9. • Međutim, koje god od te tri cifre ona imala, od njih ne • možemo složiti 6 prostih brojeva jer: • Ako ima 1,3,7, tada je 371 = 53 · 7; • Ako ima 1,3,9, tada je 319 = 29 · 11; • Ako ima 1,7,9, tada je 791 = 113 · 7; • Ako ima 3,7,9, tada je 793 = 61 · 13.

19. Zadatak 9. Možeš li naći prost broj A takav da su brojevi (A + 10) i (A + 14) takođe prosti brojevi? Nađi sva moguća rešenja.

20. Rešenje • Ako broj A podelimo brojem 3, ostatak tog deljenja • može biti 0, 1 ili 2. Stoga broj A možemo zapisati na • jedan od sledeća tri načina: • A = 3 · k , pri čemu je k neki prirodni broj, • A = 3 · k + 1 , pri čemu je k neki prirodni broj, • A=3 · k + 2 , pri čemu je k neki prirodni broj. • Ako je A = 3 · k, onda je A deljiv sa 3, pa može biti • prost samo ako je A=3. Tada je A+10 =13 i A+14=17, a • to su takođe prosti brojevi. • Ako je A=3·k+1, tada jeA+14=3·k+15 , a taj je broj • deljiv sa 3, pa ne može biti prost. • Ako je A=3·k+2, tada jeA+10=3·k+12 , pa je u ovom • slučaju taj broj deljiv sa 3 i ne može biti prost. • Dakle, jedino rješenje je A=3.

21. Zadatak 10. Brojevi 3, 5 i 7 su uzastopni neparni brojevi, a uz to su i prosti. Postoje li još koja tri uzastopna neparna broja koja su prosta ?

22. Rešenje Ne postoje! Dokažimo to: Pretpostavimo da imamo tri uzastopna neparna broja. Označimo ih sa A, A + 2 i A + 4. Broj A nije deljiv sa 3 jer je prost. Stoga on pri deljenju sa 3 ima ili ostatak 1 ili ostatak 2, pa ga možemo napisati ili kao A=3·k+1 ili A=3·k+2 , pri čemu je k neki prirodni broj. Ako je A= 3·k+1, tada je A+2 deljiv sa 3, pa on nije prost broj. A ako je A= 3·k+2, tada je A+4deljiv sa 3, pa on nije prost broj. Dakle, ne postoje takvi brojevi (osim 3, 5 i 7).