Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia) • Nazwa szkoły: Gimnazjum im. ks. Zdzisława Peszkowskiego w Krążkowach • ID grupy: 98/47 • Opiekun: Anna Koziarz • Kompetencja: Matematyka-Fizyka • Temat projektowy: Średnie liczb dodatnich. • Semestr/rok szkolny: V/2011/2012

3. Średnie liczb dodatnich

4. Średnia arytmetyczna

5. Średnią arytmetyczną n liczb dodatnich nazywamy liczbę: • Inaczej mówiąc jest to iloraz sumy n liczb i n (gdzie n to ilość sumowanych liczb).

6. Średnia arytmetyczna jest najbardziej intuicyjną miarą oceny populacji stosowaną w codziennym życiu. Możemy mówić o średniej ocen z przedmiotu, średniej płacy w firmie, średnim wzroście pewnej grupy ludzi. • Trzeba jednak uważać w badaniach statystycznych posługując się średnią arytmetyczną. Jeśli liczby w konkretnym badaniu układają się w pobliżu wartości centralnej, to średnia arytmetyczna jest dobrym sposobem wskazywania średniego wyniku. Jednak gdy liczby rozłożone są bardzo nierównomiernie, wówczas średnia arytmetyczna może wprowadzać w błąd i zamiast niej powinny być użyte inne miary

7. ciekawostka • Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka przechodzącego przez punkty C i D, które są środkami ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw.

8. Przykłady zastosowania • Zad. 1 Oblicz średnią liczb: -5,-3, 0 i 12. • (Średnia arytmetyczna jest właśnie tym, co w potocznym języku określa się mianem średniej.) • Odp. Średnia arytmetyczna liczb wynosi 1.

9. Zad. 2. Oblicz średnią ocen z matematyki ucznia szkoły podstawowej, który otrzymał następujące noty: 2, 4, 4, 5, 6. • Odp. Średnia ocen ucznia wynosi 4,2.

10. Zad. 3. Uczeń gimnazjum ma następujące oceny na koniec semestru: 5, 3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 4. Oblicz średnią jego ocen. • Odp. Średnia ocen ucznia wynosi 4,1.

11. Zad. 4. Średnia arytmetyczna wzrostu czterech chłopców jest równa 170 cm. Chłopcy mają 150 cm, 170cm, 185cm , x cm. Ile mierzy najwyższy chłopiec? • Wyznaczając x otrzymujemy: • A stąd: • odp. Chłopiec ma 175 cm wzrostu.

12. Zad. 5. Średnia arytmetyczna liczb a, b, c, d, 22 jest równa 14. Ile wynosi średnia arytmetyczna liczb a, b, c, d? • Odp. Średnia liczb a, b, c, d, wynosi 12.

13. Średnia geometryczna • Średnia geometryczna n liczb dodatnich, to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu tych liczb.

14. Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich to pierwiastek kwadratowy z iloczynu tych liczb. • Jeśli liczba x jest średnią geometryczną liczb a i b, to zachodzi równanie ax = xb

15. ciekawostka • Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne jest równa średniej geometrycznej.

16. Przykłady zastosowania • Zad. 1. Oblicz średnią geometryczną liczb 2, 2, 5 i 7. • Odp. Średnia geometryczna tych liczb wynosi około 3,44.

17. Zad. 2. Oblicz średnią geometryczną liczb 1, 2, 4, 3, 7. • Odp. Średnia geometryczna tych liczb wynosi ok. 2,79.

18. Zad. 3. Średnia geometryczna liczb 3, 5 i z wynosi 3,1072. Oblicz z. • Korzystając z wzoru na średnią geometryczną mamy: • stąd: • Odp. Liczba z wynosi 2.

19. Zad. 4. Podczas sezonowej pracy na plantacji truskawek Kasia zebrała 40 kobiałek, Tomek 72 kobiałki, a Zosia 75 kobiałek truskawek. Dziwnym trafem średnia liczba kobiałek truskawek zebranych przez pozostałe osoby stanowiła średnią geometryczną liczb kobiałek Kasi, Tomka i Zosi. Oblicz, ile wszystkich osób pracowało na tej plantacji, wiedząc, że średnia liczba zebranych przez nich kobiałek truskawek była równa 61.

20. Wprowadźmy oznaczenia: • x - ilość osób poza Kasią, Tomkiem i Zosiąx+3 - ilość wszystkich osób • Obliczmy ilość kobiałek zebranych przez x osób • 60x - ilość kobiałek zebranych przez x osób • Ze średniej arytmetycznej mamy:

21. A stąd: • I dalej: • A zatem: • Odp. Na plantacji pracowało 7 osób.

22. Średnia ważona • Czasem przy obliczaniu średniej niektóre z danych wejściowych mają większe znaczenie (większą wagę) niż inne. Tu z pomocą przychodzi średnia ważona. • Średnia ważona n liczb dodatnich a1, a2, ..., an o wagach równych odpowiednio w1, w2, ..., wn to suma iloczynów elementów przez odpowiednie wagi podzielona przez sumę wag.

23. Przykłady zastosowania • Zad. 1. Uczeń ma takie oto oceny: 4, 2, 4, 5, 3, 5.Prace klasowe: 4, 2, kartkówki: 4, 3, praca domowa: 5, 5.Uczeń domaga się czwórki. Nauczyciel jednak wprowadził wagi dla ocen i tak za prace klasowe waga wynosi 5, dla kartkówek waga wynosi 3, a dla prac domowych waga wynosi 1. Oblicz jaką ocenę powinien dostać uczeń. • Stąd otrzymujemy: • Odp. Uczeń powinien otrzymać trójkę.

24. Zad. 2. Na pewnej uczelni w trakcie rekrutacji obliczana jest średnia ważona z ocen z matematyki (waga 3), fizyki (waga 2) i języka obcego (waga 1). Asia otrzymała na świadectwie następujące oceny: matematyka 5, fizyka 4, język obcy 6. Oblicz średnią ważoną. • Odp. Średnia ważona wynosi około 4,8.

25. Śladem średniej ważonej • 24 marca 2012r. nasza grupa projektowa wybrała się do Zespołu Szkół Ponadgimnazjalnych nr 1 w Kępnie. Zostaliśmy tam miło przywitani. W pracowni gastronomicznej uczniowie przygotowali dla nas poczęstunek oraz pokazali metodę składania serwetek. W każdej z klas, w której byliśmy nauczyciele przedstawiali siatkę godzin lekcyjnych oraz krótko omówili dany profil. Na koniec zebraliśmy się w świetlicy. Pani wicedyrektor opowiedziała nam, na czym polega średnia ważona oraz jak samodzielnie możemy ją obliczać.

27. Wagi ocen w Zespole Szkół Ponadgimnazjalnych nr 1 • Praca klasowa lub test: 10 • Sprawdzian powyżej 3 lekcji: 8 • Sprawdzian niezapowiedziany lub odpowiedź ustna: 5 • Praca domowa: 3 • Przygotowanie do lekcji lub aktywność na lekcji: 3 • Osiągnięcia w konkursach lub olimpiadach: • Szkolne: 5 • Powiatowe:10

28. Średnia harmoniczna • Średnią harmoniczną n liczb dodatnich a1, a2, ..., an nazywamy liczbę:

29. Średnia harmoniczna dwóch liczb a i b równa jest

30. ciekawostka • Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzącego przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej.

31. Przykłady zastosowania • Zad. 1. Oblicz średnią harmoniczną liczb 2, 2, 5 i 7. • Odp. Średnia harmoniczna tych liczb wynosi około 2,98.

32. Zad. 2. Drogę z A do B samochód przebył z prędkością v1 = 60 km/h, a z B do A z prędkością v2 = 40 km/h. Jaka jest średnia prędkość na trasie A-B-A? • Odp. Średnia prędkość na trasie wynosiła 48 km/h.

33. Zależności pomiędzy średnimi

34. Niech a1 i a2 będą długościami odcinków. Narysujmy okrąg o średnicy a1+a2. Promień tego okręgu jest równy: • Jest więc to jest średnia arytmetyczna liczb a1 i a2.

36. W miejscu styku odcinków a1 i a2 narysujmy odcinek prostopadły do średnicy (czyli połączonych odcinków a1 i a2). Przetnie on okrąg w punkcie C. Mamy w ten sposób odcinek CD. Jeśli końce średnicy półokręgu połączymy z punktem C otrzymamy trójkąt prostokątny, którego wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną jest właśnie odcinek CD. • Długość CD jest średnią geometryczną a1 i a2

38. Widać, że średnia arytmetyczna liczb jest większa od średniej geometrycznej tych liczb. • Twierdzenie: • Dla dodatnich liczb a1, a2, …, an zachodzi równość:

39. Jeśli wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.

40. Średnią harmoniczną (dla liczb różnych od zera) nazywamy odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb.

41. literatura • Encyklopedia matematyczna • Podręczniki: Matematyka 2001, • Strony internetowe: • http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arednia_arytmetyczna • http://www.math.edu.pl/srednia-arytmetyczna • http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arednia_geometryczna • http://www.math.edu.pl/srednia-geometryczna • http://www.bazywiedzy.com/srednia-geometryczna.php

42. http://www.bazywiedzy.com/srednia-wazona.php • http://www.math.edu.pl/srednia-wazona • http://www.math.edu.pl/srednia-harmoniczna