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Alain Faye , Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM

Journées Franciliennes de Recherche Opérationnelle (24 Juin 2005) Un algorithme de coupes pour le problème de l’affectation quadratique. Alain Faye , Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM. Plan. Problèmes quadratiques en 0-1 Méthode polyédrique (PL) Programmation semi-définie (SDP)

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  1. Journées Franciliennes de Recherche Opérationnelle(24 Juin 2005)Un algorithme de coupes pour le problème de l’affectation quadratique Alain Faye , Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM

  2. Plan • Problèmes quadratiques en 0-1 • Méthode polyédrique (PL) • Programmation semi-définie (SDP) • Affectation quadratique • Inégalités valides • Résultats numériques en PL et SDP

  3. Programme quadratique en 0-1 Localisation, placement de tâches sur des processeurs, affectation quadratique, partition de graphe, recherche de sous-graphes denses de cardinal fixé, ... 3

  4. Méthode polyédrique

  5. Lf = min + + Direction du min de Lf optimum + + + + + + + + Principe Min f (x) s.c. xX  {0,1}n • LX = {(x,y): xX, yi,j = xi xj 1i<jn} • Linéariser f en posant xi xj = yi,j • P = Conv(LX) Pb: expliciter les facettes de P 5

  6. Programmation semi-définie

  7. Problème en 0-1 xi2 - xi = 0 i{1,…,n} Problème en 0-1 yii- xi = 0 i{1,…,n} min QY + ctx s.c. AiY + dit x = bi iI ait x = bii{1,…,p} Y=xxt Relaxation semi-définie ≽ (SDP) ≽ Y≽xxt ≽ = 7

  8. Affectation quadratique Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Un algorithme de coupes pour l’affectation quadratique. INFOR 41 n°1 (2003). Roupin. From linear to semidefinite programming: an algorithm to obtain semidefinite relaxations for bivalent quadratic problems. Journal of Combinatorial Optimization. Vol.8(4) (2004). Faye, Roupin. A cutting planes algorithm based upon a semidefinite relaxation for the Quadratic Assignment Problem. Conférence ESA 2005. A paraître dans Lectures notes in computer science.

  9. n= 4 x= Affectation quadratique Polytope affectation quadratique Pn (Padberg, Rijal 96) 9

  10. Enveloppe affine O(n3) contraintes On peut « économiser » O(n2) contraintes (description minimale) Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker.Une famille de facettes pour le polytope de l’affectation quadratique. Rapport de recherche 330 CNAM (2002) 10

  11. Famille d’inégalités valides Soit i, h, l 3 indices de lignes distincts et {j}, A, B une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, A={2}, C={3,4} 11

  12. Propriétés • Inégalité induit une facette de Pn si C est un sous-ensemble propre de B • Pb de séparation NP-difficile (Max-Cut se réduit à ce pb en temps polynomial) • Résolution du pb de séparation par une heuristique 12

  13. Recherche d’ inégalités violées Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3} On a A={2}, on va compléter C ={3}  C={3,4} 13

  14. PL initial PL de Resende, Ramakrishnan, Drezner 95 14

  15. SDP initial ≽ 15

  16. Propriété de SDP initial Spectral Bundle method (Helmberg) SB atteint solution quasi-optimale en assez peu d ’itérations Ex: Nug20. valeur optimale de SDP initial = 2503 (~15h) en 1h30 valeur atteinte = 2492 > borne de Rendl-Sotirov 16

  17. PL SDP Quelques résultats numériques 17

  18. Comparaison des approches au niveau temps de calcul 18

  19. PL initial (Resende, Ramakrishnan, Drezner 95) SDP initial SB method pour SDP Synthèse des résultats numériques CPLEX9.0 pour PL sur Pentium IV 19

  20. L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDP meilleure convergence de SB 20

  21. Conclusion • Ajout des coupes • améliore les relaxations classiques PL et SDP au niveau de la borne • améliore la relaxation classique SDP au niveau du temps de calcul • Travaux futurs • attaquer problèmes plus gros n>30 • améliorer le démarrage à « chaud » en SDP 21

  22. FIN

  23. Linéarisation produit(Adams, Sherali 86) • remplacer produit xixj par une variable wi,j (1) w i,j  0 (1i<jn) (2) xi - wi,j  0 (1i<jn) (3) xj - wi,j  0 (1i<jn) (4) 1 - xi - xj + wi,j  0 (1i<jn) • multiplication des contraintes par xi (1in) 1j<in Aj wj,i + 1i<jn Ajwi,j  (b-Ai) xi • multiplication des contraintes par 1 - xi (1in) 1j<in Aj (xj - wj,i ) + 1i<jn Aj(xj - wi,j )  b (1 - xi) 24

  24. Problème en 0-1 xi2 - xi = 0 i{1,…,n} Relaxation semi-définie (SDP) min QX + ctx s.c. AiX + dit x = bi iI ait x = bii{1,…,p} X≽xxt Relaxation lagrangienne de (Pb) = dual de (SDP) (Lemaréchal, Oustry 99) 25

  25. Recherche d’ inégalités valides violées Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3} On a A={2} maintenant on va compléter C ={3} Finalement C={3,4} 26

  26. ≽ ≽

  27. L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDP meilleure convergence de SB had14 31

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