FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů

1. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů S T A T I K A P Ř E D N Á Š K A 2 STATIKA HMOTNÝCH OBJEKTŮ Přednáška 2.

2. Geometrický objekt s přiřazenou hmotností a)hmotný bod b)hmotná křivka c)hmotné těleso d)zvláštní případ - deska FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika STATIKA HMOTNÝCH OBJEKTŮ Statikou hmotných objektů (konstrukcí, soustav) rozumíme rozbor různých typů podepření hmotných objektů a výpočet reakcí v podporách. Hmotný objekt je obecně objekt s přiřazenou hmotností. Podle velikosti je můžeme rozdělit podle následujícího schématu Přednáška 2

3. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Ve statice se obvykle bere zřetel na hmotnost geometrických objektů v technické praxi v případě, že je třeba uvážit ve výpočtu a posouzení konstrukce účinek vlastní tíhy. Vlastní tíha konstrukce se potom projevuje jako konstantní silový účinek podobně jako jiná síla působící na konstrukci. V dynamicese hmotnost objektu uvažuje vždy (dokonce záleží na jejím rozložení v tělese) v souvislosti se zrychlením pohybu, neboť se tím vyvozují dynamické silové účinky v konstrukcích nebo na ně působících . Přednáška 2

4. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Používaná terminologie Volné hmotné objektynejsou ve svém pohybu nijak omezeny. Počtem stupňů volnosti rozumíme počet nezávislých parametrů , jimiž je poloha objektu v prostoru jednoznačně určena. Vázaný hmotný objekt má možnost změny polohy omezenou nebo zcela zrušenou vazbami. Vazba je zařízení, které pohyb objektu omezuje (pohyb dán předem zadanou funkcí) nebo dokonce znemožňuje. Říkáme, že vazby ruší stupně volnosti hmotného bodu (někdy se vazby nazývají vedení). Působí-li na vázaný hmotný objekt vnější síly vznikají ve vazbách určité síly takové, aby nastala silová rovnováha. Tyto síly nazýváme reakcemi. Jednoduchá a vícenásobná vazba podle toho, jaký počet (r) stupňů volnosti vazba ruší. Reakce, která vzniká v určité vazbě, je určena tolika parametry - složkami, kolik stupňů volnosti uvažovaná vazba ruší (odebírá). Přednáška 2

5. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Na hmotném objektu (konstrukci) ve statice požadujeme, aby byla zajištěna vazbami jeho nepohyblivost při zatížení vnějšími silami. Potom z podmínek rovnováhy můžeme z daného zatížení vypočítat neznámé reakce. Je to možné, je-li hmotný objekt pevně podepřen. Zda je objekt pevně podepřen zjistíme rozborem počtu stupňů volnosti objektu, rozborem účinku vazeb a dostaneme tak kritérium podepření. Označujeme: m - počet stupňů volnosti volného hmotného objektu r - počet stupňů volnosti, které jsou schopny odebrat (zrušit) použité vazby - kritérium podepření jako číslo, které charakterizuje polohovou variabilitu hmotného objektu. Přednáška 2

6. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Podle hodnoty kritéria podepřenís rozlišujeme objekty (konstrukce) dle následující tabulky. Počet stupňů volnosti volného objektu a počet stupňů volnosti odebraných vazbami nám určují i počet rovnic rovnováhy a počet reakcí, jinak řečeno tedy: m - počet podmínek rovnováhy r - počet neznámých sil (reakcí) v rovnovážné soustavě vnějších sil V případě, že , nemá soustava rovnic pro výpočet rekcí řešení a nastal výjimkový případ podepření. Přednáška 2

7. z n m1 r = 1 y x FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika STATIKA HMOTNÉHO BODU Volný hmotný bod má v prostoru 3 stupně volnosti, neboť jeho poloha je určena třemi parametry ( souřadnicemi ), m=3 v rovině má hmotný bod 2 stupně volnosti, m=2. Vazby Vazba na plochu (vedení po ploše) - zamezuje pohyb ve směru normály k vodící ploše, odebírá 1 stupeň volnosti (SV). Vyvozuje 1 složku reakce. Nemá - li plocha křivost, mluvíme o vedení po rovině (např. rovina daná osami xy) Přednáška 2

8. R1 r m1 R2 R FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Vazba na křivku - fixuje v prostoru 2 souřadnice, umožňuje pohyb hmotného bodu po křivce, odebírá 2 stupně volnosti. Je to vazba dvojnásobná a vyvozuje 2 složky reakce. V rovině zamezuje vedení po křivce pohyb ve směru normály a odebírá 1 stupěn volnosti. Kyvný prut - dokonale tuhá přímá tyč opatřená na koncích dokonalými kulovými klouby. Realizujeme vlastně vazbu na kulovou plochu nebo kružnici (rovině). Odebírá 1 stupeň volnosti a vyvozuje 1 složku reakce, která má směr osy kyvného prutu. Přednáška 2

9. z F1 F2 Fn y R3 x R2 R1 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Podepření hmotného bodu a výpočet reakcí Hmotný bod lze pevně podepřít 3 kyvnými pruty v prostoru a 2 kyvnými pruty v rovině. Na hmotný bod potom působí svazek sil, ve kterém jsou: primární vnější síly - známá zatížení sekundární vnější síly - neznámé reakce Kritérium podepření (v prostoru) Jedná se tedy o staticky určitý případ. Přednáška 2

10. z F1 F2 Fn y R3 x R2 R1 FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Postup výpočtu 1) Přerušíme vazby a nahradíme reakcemi , o kterých předpokládáme, že vyvolávají v prutu tah (značíme šipkou vektoru síly směrem od bodu). Vyjdou-li reakce záporné, působí v obráceném smyslu a vyvolávají tedy v prutu tlak. 2) Nahradíme-li svazek zatěžovacích sil výslednicí platí 3) Výslednice musí být v rovnováze s neznámými silami reakcí s podmínkou kde členy matice jsou směrové kosiny sil známého zatížení členy matice jsou směrové kosiny neznámých reakcí Přednáška 2

11. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika STATIKA TUHÉHO TĚLESA Tuhé těleso se účinkem sil nedeformuje. Směr, resp. působiště vektoru síly se tedy nemění vlivem deformací tělesa. Změnu polohy ( přemístění ) lze popsat posuvem ( translací ) libovolného bodu tělesa a otočením ( rotací ) kolem osy procházející tímto bodem. Vektor posunutí má v prostoru 3 složky posunutí kolem ve směru os x,y,z a 3 složky pootočení kolem os x,y,z. To znamená, že volné tuhé těleso má v prostoru 6 stupňů volnosti ( m = 6 ). Přednáška 2

12. Ry R Rx Rz FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Vazby tuhého tělesa 1) Kyvný prut – jednoduchá vazba, odebírá 1 stupeň volnosti (r = 1). 2) Kulový kloub – kloub připouštějící otáčení v libo-volném směru, ruší 3 stupně volnosti (r = 3). Vyvozuje 3 složky reakcí, např. ve směru x,y,z. Lze jej nahradit 3 kyvnými pruty. Přednáška 2

13. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika 3) Válcový kloub a) posuvný – ruší 4 stupně volnosti (r = 4). Umožňuje tělesu posun ve směru osy kloubu a pootočení kolem této osy. Vyvozuje 4 složky reakcí – 2 silové a 2 momentové. b) neposuvný – ruší 5 stupňů volnosti (r = 5). Ponechává tělesu jen pootočení kolem osy kloubu. Vyvozuje 5 složek reakcí, 3 silové a 2 momentové. 4) Vetknutí – vazba, která ztotožňuje část tělesa s podporou, znemožňuje jakýkoli pohyb, ruší všech 6 stupňů volnosti (r = 6). Vyvozuje 6 složek reakcí, 3 silové a 3 momentové. Přednáška 2

14. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Před výpočtem je třeba posoudit polohovou variabilitu tuhého tělesa, protože zrušení 6 stupňů volnosti lze realizovat mnoha kombinacemi vazeb. Obvykle lze jednotlivé vazby nahradit kyvnými pruty. Výpočet reakcí Na tuhé těleso působí soustava mimoběžných sil . 1) Přerušíme vazby a jejich působení nahradíme složkami reakcí . 2) Sestavíme podmínky rovnováhy zatížení a složek reakcí Z toho řešením dostaneme vektor složek reakcí přičemž Když nastává výjimkový případ, a to pokud: • existuje přímka protínající paprsky všech 6 složek reakcí, • protíná-li se více než 3 složky reakcí v jediném bodě, • leží-li více než 3 složky reakce v jediné rovině. Přednáška 2

15. b t a FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika STATIKA TUHÉ DESKY Tuhá deska je tuhé těleso, které má 1 rozměr (tloušťku) výrazně menší než zbývající dva rozměry ( ). Tuhá deska má ve své rovině 3 stupně volnosti (m = 3). V této rovině působí i vektory vnějších sil a reakcí. V tomto případě nazýváme úlohu tuhé desky rovinnou úlohou nebo 2D úlohou (dvojdimenzionální). Přednáška 2

16. y b R1y a R2 R1 R1x x FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika 1) Kyvný prut – odebírá 1 stupeň volnosti (r = 1) 2) Pevný kloub (označen a ) – ruší 2 stupně volnosti (dvojná vazba), (r = 2). Umožňuje pootočení. Vyvozuje 2 složky reakcí a lze jej nahradit 2 kyvnými pruty. 3) Posuvný kloub (označen b ), tzv. vedení po přímce – ruší 1 stupeň volnosti (r = 1), umožňuje posun a pootočení. Vyvozuje 1 složku reakcí v normále k přímce (resp. ke křivce) posunu. Lze jej v jistých mezích nahradit kyvným prutem. 4) Vetknutí – pevné spojení tuhé desky s podkladem. Ruší všechny 3 stupně volnosti (r = 3) tuhé desky v rovině. Přednáška 2

17. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Výpočet reakcí desky 1. Posouzení statické určitosti. 2. Přerušíme vazby a nahradíme jejich působení složkami reakcí. 3. Sestavíme podmínky rovnováhy Je-li jedná se o výjimkový případ. Přednáška 2

18. F F kulový kloub kyvný prut neposuvný válcový kloub vedení po křivce vedení po ploše FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika PODEPŘENÍ HMOTNÉHO OBJEKTU Vhodnou kombinací vazeb můžeme dosáhnout podepření tuhého tělesa nebo tuhé desky, které je staticky a tvarově určité. Podepření tuhého tělesa v prostoru – 6 stupňů volnosti Přednáška

19. F kyvný prut F vedení po ploše kulový kloub kyvný prut kyvný prut kyvný prut posuvný válcový kloub FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika c) d) Přednáška 2

20. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Výjimkové případy Příklady výjimkového případu podepření tělesa nastanou, když těleso v prostoru při zrušení všech 6 stupňů volnosti může konat virtuální (tj. malý, možný, myšlený) nebo reálný posun, eventuelně pootočení. Výjimkový případ nastane, když existuje tzv. nulová přímka soustavy sil, tj. přímka, ke které je statický moment reakcí nulový. nulová přímka nulová přímka nulová přímka Přednáška 2

21. vetknutí neposuvný kloub neposuvný kloub kyvný prut posuvný kloub FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Podepření tuhé desky v rovině • Používají se tyto typy podepření: • kyvný prut – odebírá 1 stupeň volnosti a vyvolává 1 složku reakce • posuvný kloub – odebírá 1 stupeň volnosti a vyvolává 1 složku reakce • neposuvný kloub – odebírá 2 stupně volnosti a vyvolává 2 složky reakce • vetknutí – odebírá všechny 3 stupně volnosti a vyvolává 2 složky reakce Přednáška 2

22. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Nastane-li u staticky a tvarově určitého podepření tuhé desky případ, u něhož v důsledku nevhodného uspořádání vazeb může dojít k přemístění, hovoříme o výjimkovém případu. Přednáška 2

23. Statické schéma Statické schéma FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Příklady realizace Přednáška 2

24. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Kloubové uložení paty stožáru Kloubové uložení trubkové konstrukce Přednáška 2

25. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Uložení ocelového nosníku na sloup Přednáška 2

26. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Uložení vazníku Přednáška 2

27. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Typizované mostní ložisko Přednáška 2

28. FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Patní kloub rámu Uložení rohových sloupů bruselského pavilonu Přednáška 2

29. Uložení stojek Žďákovského mostu FD ČVUT - Ústav mechaniky a materiálů - Statika Přednáška 2