1 / 24

Kombinatorická pravidla II. část

22.. října 2012 VY_32_INOVACE_110202_Kombinatoricka_pravidla _ II._ cast_DUM. o br. 1. Kombinatorická pravidla II. část. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík

isra
Download Presentation

Kombinatorická pravidla II. část

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 22.. října 2012 VY_32_INOVACE_110202_Kombinatoricka_pravidla _ II._ cast_DUM obr. 1 KombinatorickápravidlaII. část Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

  2. Kombinatorika je součástí finitní matematiky, která studuje konečné soubory, tj. množiny a uspořádané k-tice, . kombinatorika obr. 2

  3. Opět si objasníme, že mnohé kombinatorické úlohy se dají řešit pomocí dvou základních pravidel: a) kombinatorického pravidla součtu b) kombinatorického pravidla součinu. kombinatorika obr. 3

  4. Nyní si připomeňme znovu obě kombinatorická pravidla, s nimiž jsme se seznámili v minulém výukovém materiálu. Kombinatorická pravidla – 1. část Kombinatorická pravidla obr. 4

  5. Jsou-li , …, konečné množiny s , , prvky a jsou-li každé dvě disjunktní, pak množina má + + … + prvků. Kombinatorické pravidlo součtu obr. 5

  6. Počet uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat způsoby a každý další člen lze po výběru všech předcházejících vybrat postupně , , …, způsoby, je roven … Kombinatorické pravidlo součinu obr. 5

  7. K názornějšímu pochopení obou kombinatorických pravidel součtu a součinu slouží opět čtyři matematické úlohy, které jsou uvedené společně s řešením. Kombinatorická pravidla – praktická část obr. 3

  8. Nabídka úloh a jejich řešení Úloha 3 Úloha 2 Úloha 1 Řešení úlohy 1 Řešení úlohy 2 Řešení úlohy 3 Řešení úlohy 4 Úloha 4

  9. zpět do nabídky úloh Úloha 1 Na obrázku je vyznačen trojúhelníkový obrazec. Určete počet všech trojúhelníků, jejichž strany leží na přímkách tohoto obrazce. A B C

  10. pokračování Množinu všech trojúhelníků se stranami na přímkách obrazce označme Následně utvořme její podmnožiny tak, že: v jsou všechny trojúhelníky o straně délky 1, v jsou všechny trojúhelníky o straně délky 2, v jsou všechny trojúhelníky o straně délky 3. Množinyjsou vzájemně disjunktní (průnikem je prázdná množina) a jejich sjednocením je celá množina . Označme počet prvků množiny. Dále označme počty prvků všech tří podmnožin. Podle kombinatorického pravidla součtu platí: Řešení úlohy 1

  11. zpět do nabídky úloh Jednoduše určíme: . Počet trojúhelníků o straně délky 2 určíme tak, že si povšimneme, že každý z bodů A, B, C je středem právě jednoho takového trojúhelníku. Platí taky obráceně, že každý z trojúhelníků o straně délky 2 má střed právě v jednom z bodů A, B, C. Počet trojúhelníků o straně délky 2 se rovná počtu těchto bodů: Pro počet trojúhelníků, jejichž strany leží na přímkách obrazce jsme vyvodili: . Počet trojúhelníků je 13. Řešení úlohy 1

  12. zpět do nabídky úloh Úloha 2 Z místa A do místa B vede 5 turistických tras. Z místa B do místa C 6 turistických tras. Určete: kolika způsoby může turista dojít z místa A do místa C, chce-li se zastavit v místě B, b) kolika způsoby může dojít z místa A jen do místa B a zpět, nechce-li jít zpátky stejnou cestou. obr. 6

  13. pokračování a) Z místa A do místa B vede 5 turistických tras, označme je . Z místa B do místa C vede 6 turistických tras, tyto trasy označme . Počet způsobů, kterými může turista dojít z místa A do místa C (se zastávkou v místě B) odpovídá počtu uspořádaných dvojic: , kde je označení pro libovolnou trasu z místa A do místa B, je označení pro libovolnou trasu z místa B do místa C. Pro 1. místo v uspořádané dvojici máme 5 možností výběru, tj. . Pro 2. místo v uspořádané dvojici máme 6 možností výběru, tj. . Počet uspořádaných dvojic:. Turista může dojít z místa A do místa C (se zastávkou v místě B) třiceti způsoby. Řešení úlohy 2 obr. 6

  14. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 2 b) Z místa A do místa B vede 5 turistických tras, označme je . Z místa B do místa A vede stejných 5 turistických tras. Počet způsobů, kterými může turista dojít z místa A do místa B a zpět, nepůjde-li zpátky stejnou cestou , odpovídá počtu uspořádaných dvojic: , kde je označení pro libovolnou trasu z místa A do místa B, je označení pro libovolnou trasu z místa B do místa A. Pro 1. místo v uspořádané dvojici máme 5 možností výběru, tj. . Pro 2. místo v uspořádané dvojici máme 4 možností výběru (podle podmínky musíme vyloučit tu trasu, kterou šel turista z místa A do místa B) tj. . Počet uspořádaných dvojic:. Turista může dojít z místa A do místa B a zpět, nepůjde-li zpátky stejnou cestou, dvaceti způsoby. obr. 6

  15. zpět do nabídky úloh Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 4, 5, 6, 7 nejvýše jednou. Úloha 3 obr. 7

  16. zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 3 Každé trojciferné přirozené číslo, které splňuje podmínky, je určeno uspořádanou trojicí sestavenou pouze z číslic 0, 4, 5, 6, 7 tak, že každé 2 její členy jsou různé a její první člen není nula. Na 1. místě v trojciferném čísle mohou být 4 možnosti výběru (4, 5, 6, 7): 4 _ _ 5 _ _ 6 _ _ 7_ _. Pro 2. místo v trojciferném čísle máme opět 4 možnosti výběru (může zde být nula, ale nesmí tady být číslice z 1. místa). Pro 3. místo v trojciferném čísle máme 3 možnosti výběru (nemohou zde být číslice vybrané pro 1. a 2. místo). Počet uspořádaných trojic je podle kombinatorického pravidla součinu při označení = 3 počtů možností výběru 1., 2. a 3. místa v trojciferném čísle:. Existuje 48 trojciferných přirozených čísel z daných číslic. obr. 7

  17. zpět do nabídky úloh Silnice vedoucí podél břehů řeky jsou mezi místem A na jednom břehu řeky a místem B na druhém břehu řeky propojeny 4 mosty. Určete, kolika způsoby je možno dojet z A do B, jestliže po každém mostu a každým bodem každé silnice smíme projet nejvýše jednou. Na obr. je vyznačen jeden ze způsobů. Úloha 4 A a a a b b b B obr. 8

  18. pokračování Označme písmenem a každý úsek mezi dvěma sousedními mosty na tom břehu řeky, na kterém se nachází místo A. Dále označme písmenem b každý úsek mezi dvěma sousedními mosty na druhém břehu. Každou cestu z A do B vyznačíme pomocí uspořádané trojice sestavené z písmen a, b podle toho, kterým z úseků a v jakém pořadí cesta povede. Např. podle úvodního obr. uspořádaná trojice (b, b, a). Takovéto uspořádané trojici odpovídá právě jedna cesta z místa A do místa B. Počet způsobů, jak dojít z místa A do místa B se rovná počtu uspořádaných trojic. Řešení úlohy 4 obr. 8

  19. zpět do nabídky úloh Počet způsobů určíme snadno: pro 1. člen máme 2 možnosti výběru (a, b), pro 2. i 3. člen máme opět 2 možnosti výběru. Výběr 2. a 3. členu není omezen výběrem 1. členu. Podle kombinatorického pravidla součinu pro počet uspořádaných trojic platí: . Počet způsobů, jak dojet z místa A do místa B, je 8. Řešení úlohy 4 obr. 8

  20. Ve čtyřech kombinatorických úlohách jsme se prakticky zaměřili na využití dvou základních kombinatorických pravidel. Volně jsme tak navázali na výukový materiál: „Kombinatorická pravidla – 1.část“. V dalších výukových materiálech se seznámíme s dalšími částmi kombinatoriky – tj. matematické vědy, která se zabývá množinami a uspořádanými k-ticemi. Závěrem obr. 1

  21. Použitá literatura: 1) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 168, 170. ISBN 80-7196-109-4. 2) POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, spol. s. r. o., 1998., s. 288. ISBN 80-85849-78-X. CITACE ZDROJŮ

  22. Použité obrázky: 1) GLIVICKÝ, Petr. File:Mathematicsgeneral.jpg – WikimediaCommons [online]. 6 September 2006 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mathematicsgeneral.jpg?uselang=cs#filehistory 2) PAJS. File:Math mnoziny cisel.png - WikimediaCommons [online]. 14 August 2006 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math_mnoziny_cisel.png 3) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - WikimediaCommons [online]. 29 January 2012 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choosing.jpg 4) BAŤHA, Matěj. File:D6 smajlik.jpg - WikimediaCommons [online]. 24 April2008 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:D6_smajlik.jpg 5) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choice.jpg - Wikimedia Commons [online]. 29 January 2012 [cit. 2012-10-22]. Dostupnépod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choice.jpg CITACE ZDROJŮ

  23. Použité obrázky: 6) LONSPA. File:Turisticky denik.jpg – WikimediaCommons [online]. 1 November 2011 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Turisticky_denik.jpg?uselang=cs 7) GALAKSIAFERVOJO. File:Math.jpg - WikimediaCommons [online]. 4 April 2006 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math.jpg 8) CAPPER, Ian. File:Greta bridges - Bridge 4 - geograph.org.uk - 771960.jpg – Wikimedia Commons [online]. 11 April 2008 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Greta_bridges_-_Bridge_4_-_geograph.org.uk_-_771960.jpg?uselang=cs Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint. CITACE ZDROJŮ

  24. Mgr. Daniel Hanzlík Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost.

More Related