250 likes | 401 Views
22.. října 2012 VY_32_INOVACE_110202_Kombinatoricka_pravidla _ II._ cast_DUM. o br. 1. Kombinatorická pravidla II. část. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík
E N D
22.. října 2012 VY_32_INOVACE_110202_Kombinatoricka_pravidla _ II._ cast_DUM obr. 1 KombinatorickápravidlaII. část Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace. Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám, registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
Kombinatorika je součástí finitní matematiky, která studuje konečné soubory, tj. množiny a uspořádané k-tice, . kombinatorika obr. 2
Opět si objasníme, že mnohé kombinatorické úlohy se dají řešit pomocí dvou základních pravidel: a) kombinatorického pravidla součtu b) kombinatorického pravidla součinu. kombinatorika obr. 3
Nyní si připomeňme znovu obě kombinatorická pravidla, s nimiž jsme se seznámili v minulém výukovém materiálu. Kombinatorická pravidla – 1. část Kombinatorická pravidla obr. 4
Jsou-li , …, konečné množiny s , , prvky a jsou-li každé dvě disjunktní, pak množina má + + … + prvků. Kombinatorické pravidlo součtu obr. 5
Počet uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat způsoby a každý další člen lze po výběru všech předcházejících vybrat postupně , , …, způsoby, je roven … Kombinatorické pravidlo součinu obr. 5
K názornějšímu pochopení obou kombinatorických pravidel součtu a součinu slouží opět čtyři matematické úlohy, které jsou uvedené společně s řešením. Kombinatorická pravidla – praktická část obr. 3
Nabídka úloh a jejich řešení Úloha 3 Úloha 2 Úloha 1 Řešení úlohy 1 Řešení úlohy 2 Řešení úlohy 3 Řešení úlohy 4 Úloha 4
zpět do nabídky úloh Úloha 1 Na obrázku je vyznačen trojúhelníkový obrazec. Určete počet všech trojúhelníků, jejichž strany leží na přímkách tohoto obrazce. A B C
pokračování Množinu všech trojúhelníků se stranami na přímkách obrazce označme Následně utvořme její podmnožiny tak, že: v jsou všechny trojúhelníky o straně délky 1, v jsou všechny trojúhelníky o straně délky 2, v jsou všechny trojúhelníky o straně délky 3. Množinyjsou vzájemně disjunktní (průnikem je prázdná množina) a jejich sjednocením je celá množina . Označme počet prvků množiny. Dále označme počty prvků všech tří podmnožin. Podle kombinatorického pravidla součtu platí: Řešení úlohy 1
zpět do nabídky úloh Jednoduše určíme: . Počet trojúhelníků o straně délky 2 určíme tak, že si povšimneme, že každý z bodů A, B, C je středem právě jednoho takového trojúhelníku. Platí taky obráceně, že každý z trojúhelníků o straně délky 2 má střed právě v jednom z bodů A, B, C. Počet trojúhelníků o straně délky 2 se rovná počtu těchto bodů: Pro počet trojúhelníků, jejichž strany leží na přímkách obrazce jsme vyvodili: . Počet trojúhelníků je 13. Řešení úlohy 1
zpět do nabídky úloh Úloha 2 Z místa A do místa B vede 5 turistických tras. Z místa B do místa C 6 turistických tras. Určete: kolika způsoby může turista dojít z místa A do místa C, chce-li se zastavit v místě B, b) kolika způsoby může dojít z místa A jen do místa B a zpět, nechce-li jít zpátky stejnou cestou. obr. 6
pokračování a) Z místa A do místa B vede 5 turistických tras, označme je . Z místa B do místa C vede 6 turistických tras, tyto trasy označme . Počet způsobů, kterými může turista dojít z místa A do místa C (se zastávkou v místě B) odpovídá počtu uspořádaných dvojic: , kde je označení pro libovolnou trasu z místa A do místa B, je označení pro libovolnou trasu z místa B do místa C. Pro 1. místo v uspořádané dvojici máme 5 možností výběru, tj. . Pro 2. místo v uspořádané dvojici máme 6 možností výběru, tj. . Počet uspořádaných dvojic:. Turista může dojít z místa A do místa C (se zastávkou v místě B) třiceti způsoby. Řešení úlohy 2 obr. 6
zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 2 b) Z místa A do místa B vede 5 turistických tras, označme je . Z místa B do místa A vede stejných 5 turistických tras. Počet způsobů, kterými může turista dojít z místa A do místa B a zpět, nepůjde-li zpátky stejnou cestou , odpovídá počtu uspořádaných dvojic: , kde je označení pro libovolnou trasu z místa A do místa B, je označení pro libovolnou trasu z místa B do místa A. Pro 1. místo v uspořádané dvojici máme 5 možností výběru, tj. . Pro 2. místo v uspořádané dvojici máme 4 možností výběru (podle podmínky musíme vyloučit tu trasu, kterou šel turista z místa A do místa B) tj. . Počet uspořádaných dvojic:. Turista může dojít z místa A do místa B a zpět, nepůjde-li zpátky stejnou cestou, dvaceti způsoby. obr. 6
zpět do nabídky úloh Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 4, 5, 6, 7 nejvýše jednou. Úloha 3 obr. 7
zpět do nabídky úloh Řešení úlohy 3 Každé trojciferné přirozené číslo, které splňuje podmínky, je určeno uspořádanou trojicí sestavenou pouze z číslic 0, 4, 5, 6, 7 tak, že každé 2 její členy jsou různé a její první člen není nula. Na 1. místě v trojciferném čísle mohou být 4 možnosti výběru (4, 5, 6, 7): 4 _ _ 5 _ _ 6 _ _ 7_ _. Pro 2. místo v trojciferném čísle máme opět 4 možnosti výběru (může zde být nula, ale nesmí tady být číslice z 1. místa). Pro 3. místo v trojciferném čísle máme 3 možnosti výběru (nemohou zde být číslice vybrané pro 1. a 2. místo). Počet uspořádaných trojic je podle kombinatorického pravidla součinu při označení = 3 počtů možností výběru 1., 2. a 3. místa v trojciferném čísle:. Existuje 48 trojciferných přirozených čísel z daných číslic. obr. 7
zpět do nabídky úloh Silnice vedoucí podél břehů řeky jsou mezi místem A na jednom břehu řeky a místem B na druhém břehu řeky propojeny 4 mosty. Určete, kolika způsoby je možno dojet z A do B, jestliže po každém mostu a každým bodem každé silnice smíme projet nejvýše jednou. Na obr. je vyznačen jeden ze způsobů. Úloha 4 A a a a b b b B obr. 8
pokračování Označme písmenem a každý úsek mezi dvěma sousedními mosty na tom břehu řeky, na kterém se nachází místo A. Dále označme písmenem b každý úsek mezi dvěma sousedními mosty na druhém břehu. Každou cestu z A do B vyznačíme pomocí uspořádané trojice sestavené z písmen a, b podle toho, kterým z úseků a v jakém pořadí cesta povede. Např. podle úvodního obr. uspořádaná trojice (b, b, a). Takovéto uspořádané trojici odpovídá právě jedna cesta z místa A do místa B. Počet způsobů, jak dojít z místa A do místa B se rovná počtu uspořádaných trojic. Řešení úlohy 4 obr. 8
zpět do nabídky úloh Počet způsobů určíme snadno: pro 1. člen máme 2 možnosti výběru (a, b), pro 2. i 3. člen máme opět 2 možnosti výběru. Výběr 2. a 3. členu není omezen výběrem 1. členu. Podle kombinatorického pravidla součinu pro počet uspořádaných trojic platí: . Počet způsobů, jak dojet z místa A do místa B, je 8. Řešení úlohy 4 obr. 8
Ve čtyřech kombinatorických úlohách jsme se prakticky zaměřili na využití dvou základních kombinatorických pravidel. Volně jsme tak navázali na výukový materiál: „Kombinatorická pravidla – 1.část“. V dalších výukových materiálech se seznámíme s dalšími částmi kombinatoriky – tj. matematické vědy, která se zabývá množinami a uspořádanými k-ticemi. Závěrem obr. 1
Použitá literatura: 1) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 168, 170. ISBN 80-7196-109-4. 2) POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, spol. s. r. o., 1998., s. 288. ISBN 80-85849-78-X. CITACE ZDROJŮ
Použité obrázky: 1) GLIVICKÝ, Petr. File:Mathematicsgeneral.jpg – WikimediaCommons [online]. 6 September 2006 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mathematicsgeneral.jpg?uselang=cs#filehistory 2) PAJS. File:Math mnoziny cisel.png - WikimediaCommons [online]. 14 August 2006 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math_mnoziny_cisel.png 3) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choosing.jpg - WikimediaCommons [online]. 29 January 2012 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choosing.jpg 4) BAŤHA, Matěj. File:D6 smajlik.jpg - WikimediaCommons [online]. 24 April2008 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:D6_smajlik.jpg 5) SOUL, Obsidian. File:Stick figure - choice.jpg - Wikimedia Commons [online]. 29 January 2012 [cit. 2012-10-22]. Dostupnépod licencí CreativeCommonsz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stick_figure_-_choice.jpg CITACE ZDROJŮ
Použité obrázky: 6) LONSPA. File:Turisticky denik.jpg – WikimediaCommons [online]. 1 November 2011 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Turisticky_denik.jpg?uselang=cs 7) GALAKSIAFERVOJO. File:Math.jpg - WikimediaCommons [online]. 4 April 2006 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math.jpg 8) CAPPER, Ian. File:Greta bridges - Bridge 4 - geograph.org.uk - 771960.jpg – Wikimedia Commons [online]. 11 April 2008 [cit. 2012-10-22]. Dostupné pod licencí CreativeCommons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Greta_bridges_-_Bridge_4_-_geograph.org.uk_-_771960.jpg?uselang=cs Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint. CITACE ZDROJŮ
Mgr. Daniel Hanzlík Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost.