Stereometrie

1. Stereometrie Řezy hranolu II VY_32_INOVACE_M3r0109 Mgr. Jakub Němec

2. Pravidla pro sestrojení řezu • V této lekci se soustředíme na hledání řezu tělesa podle pravidla, které využívá jednoho společného bodu tří různoběžných rovin. Ostatní pravidla však budeme využívat stále. V rámci opakování si je připomeneme: • Pokud leží dva různé body v rovině, leží v této rovině i přímka, která je těmito body určena. • Dvě různé rovnoběžné roviny protíná třetí různoběžná rovina ve dvou navzájem rovnoběžných přímkách. • Pokud jsou tři navzájem různoběžné roviny, které mají společný právě jeden společný bod, procházejí tímto bodem všechny tři průsečnice daných rovin.

3. V krychli ABCDEFGH mějme rovinu KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, BC a DH. Určete řez krychle danou rovinou.

4. Body K a L leží v jedné rovině. Tvoří tedy přímku. Nyní musíme určit přímku, která nám určí řez v zadní stěně. Využijeme k tomu třetího pravidla. Rovina dolní podstavy a rovina zadní stěny mají průsečnici, která je určena body C a D. Průsečnice dolní podstavy a roviny KLM je evidentně určena body K a L. Máme dvě různoběžné přímky (CD, KL) a není tedy problém najít jejich průsečík P.

5. Vzhledem k tomu, že tři výše uvedené roviny jsou různoběžné (a jejich průsečnice evidentně nejsou rovnoběžné) víme, že třetí průsečnice musí procházet stejným bodem P. V zadní stěně máme zadán navíc bod M. Bod M a P jednoznačně určují přímku, která je průsečnicí roviny zadní stěny a roviny KLM. Získáme tak další část řezu, která je vymezena body M a R.

6. Nyní již není problém využít prvního a druhého pravidla a dokončit řez na základě znalostí z minulé lekce.

7. Určíme viditelnost.

8. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

9. V krychli ABCDEFGH mějme rovinu XYZ, kde bod X leží na hraně BC a platí |BX| : |CX| = 2 : 1, bod Y leží na hraně CG a platí |CY| : |GY| = 1 : 2 a bod Z leží ve středu hrany AE. Určete řez krychle danou rovinou.

10. Na začátek lze spojit body X a Y, protože leží v jedné stěně (první pravidlo – body v rovině).

11. Na základě druhého pravidla (rovnoběžnost průsečnic dvou rovnoběžných rovin a k ní různoběžné roviny) lze najít rovnoběžku v bodě Z a nalézt tak část řezu PZ.

12. Na základě třetího pravidla nalezneme společný bod R pro průsečnice roviny boční stěny, roviny horní podstavy a roviny XYZ. Využijeme průsečnice roviny XYZ a roviny boční stěny.

13. Spojíme bod horní podstavy P a bod R, který musí také ležet v horní podstavě, a získáme další část řezu PS.

14. V zadní stěně lze určit část řezu SY.

15. Na základě rovnoběžnosti horní a dolní podstavy získáme část řezu TX v dolní podstavě.

16. Nakonec vytvoříme část řezu TZ (je rovnoběžná s částí řezu SY), čímž je řez hotov.

17. Určíme viditelnost.

18. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

19. V krychli ABCDEFGH mějme rovinu KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AB, CG a EH. Určete řez krychle danou rovinou.

20. V této situaci nám prozatím nepomůže ani jedno z výše uvedených pravidel. Musíme si vytvořit pomocnou rovinu, díky které najdeme společný bod přímky LM a dolní podstavy.

21. Body L a M kolmo promítneme do roviny dolní podstavy. Získáme tak body M‘ a L‘. Tomuto postupu se říká kolmý průmět do roviny.

22. Přímky LM a L‘M‘ nám určují rovinu.

23. Díky této rovině jsme schopni přesně určit bod P, v němž prochází přímka LM rovinou dolní podstavy.

24. Bod K leží v rovině dolní podstavy, stejně jako bod P. Oba body zároveň náleží rovině KLM. Přímka, která je určena body K a P, nám určuje první část hledaného řezu KR.

25. Na základě prvního pravidla můžeme spojit body R a L, protože leží ve stejné rovině.

26. Na základě druhého pravidla můžeme najít v horní podstavě rovnoběžnou přímku SM k přímce KR ležící v dolní podstavě.

27. Poté můžeme spojit body S a L, jelikož leží v jedné rovině.

28. Poté lze sestrojit přímku MT, která je rovnoběžná s přímkou LR a získáme tak další část řezu.

29. Poslední částí řezu, která nám schází, je spojnice bodů K a T v přední stěně. Je nutno poznamenat, že od té chvíle, kdy nalezneme bod R (popř. jiný bod podobným postupem) lze postupovat v jiném pořadí, než bylo naznačeno výše, ale výsledný řez musí být vždy stejný.

30. Určíme viditelnost.

31. Zde je vyznačena rovina, která nám určovala řez krychle.

32. Úkol závěrem • Urči řez krychle ABCDEFGH, který je určen rovinou: • a) KLM, kde body K, L a M jsou po řadě středy hran AD, AE a GH • b) OPQ, kde body O, P a Q jsou po řadě středy hran AE, BC a GH. • c) XYG, kde bod X je střed stěny ADH a bod L leží na hraně AB a platí |AL| : |LB| = 2 : 1.

33. Zdroje • Literatura: • POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. • Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.