Rôzne spôsoby experimentovania v teórii čísel.

1. Rôzne spôsoby experimentovania v teórii čísel. Deliteľnosť, prvočíselné rozklady, najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ.

2. Deliteľnosť • Otázka: Ako zistíme, či je prirodzené číslo n deliteľné prirodzeným číslom k bez zvyšku? • vydeliť n:k • použiť kritériá deliteľnosti pre číslo k • rozložiť číslo n na súčin prvočísel.

3. Kritériá deliteľnosti • deliteľnosť číslami 10, 2, 5, prípadne 4, 8, 100, 1000 – ich podstatu žiak ZŠ dokáže pochopiť. K objaveniu kritéria deliteľnosti číslom 4 môžu poslúžiť úlohy nasledujúceho typu: • Z cifier 2, 3, 4 utvorte trojciferné číslo deliteľné 4 – nájdite všetky riešenia! • Pre akú cifru X je číslo 315X deliteľné číslom 4? • Pre akú cifru X je číslo 31X6, 3X56, X156 deliteľné číslom 4?

4. Kritériá deliteľnosti • Deliteľnosť číslami 3, 9, 11 – nie sú zrejmé, lebo žiaci majú málo skúseností z ciferného súčtu čísel. Na osvojenie pojmu ciferný súčet a objavenie kritéria deliteľnosti aspoň na intuitívnej úrovni môžu slúžiť nasledujúce úlohy: • Nájdite všetky trojciferné čísla s ciferným súčtom 3, ktoré sú deliteľné šiestimi. • Od 4-ciferného čísla s ciferným súčtom 9 odpočítame 3-ciferné číslo s ciferným súčtom 9. Aký bude ciferný súčet ich rozdielu? • Nájdite číslo deliteľné 3, ktorého ciferný súčet nie je deliteľný 3.

5. Prvočíselný rozklad • potrebujeme poznať deliteľov čísla, aby sme ho mohli rozložiť. • žiaci používajú heuristickú metódu ilustrovanú príkladom:

6. Prvočísla • Poznámka: 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo. • Často sa zíde zoznam prvočísel menších ako 100. • Úloha: Nájdite všetky prvočísla menšie ako 100 tzv. Eratostenovým sitom. • Otázka: Je potrebné pri hľadaní prvočíselného rozkladu čísla n testovať všetky prir. čísla až po n? (stačí po odmocninu čísla n) – urobte experimenty s číslami 1147, 947.

7. Základná veta aritmetiky • Definujte a interpretujte základnú vetu aritmetiky o prvočíselnom rozklade.

8. Najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok. Na hľadanie NSD a nsn používame nasledujúce dva spôsoby: • využitie množín deliteľov a množín násobkov – táto metóda sa opiera o definíciu NSD a nsn, ale je zdĺhavá a prácna • nájdite NSD a nsn čísel 12, 28, 42! • Zapíšeme tieto množiny vymenovaním prvkov a znázorníme ich. • využitie prvočíselných rozkladov – k daným číslam priradíme ich prvočíselné rozklady, ktoré doplníme nultými mocninami ďalších prvočísel. Potom porovnávame exponenty mocnín s rovnakými základmi.

9. NSD a nsn a ich vzťah Úloha: Experimentom zistite, resp. overte vzťah, ktorý platí pre NSD a nsn! • Poznámka: Pre 3 a viac čísel podobná veta neplatí.