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Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales. Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales. Introducción Ecuación del Calor Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Método de Sobrerrelajación Problema del Condensador. DIRECTOS Ax =b x = A b Tamaño moderado

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Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

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  1. Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales

  2. Métodos iterativos para sistemas de ecuaciones lineales • Introducción • Ecuación del Calor • Método de Jacobi • Método de Gauss-Seidel • Método de Sobrerrelajación • Problema del Condensador

  3. DIRECTOS Ax =b x = A\b Tamaño moderado Modifican la estructura Error de redondeo ITERATIVOS x = Cx + d x(k+1) = Cx(k) + d Tamaño grande Conservan los ceros Error de truncamiento Métodos directos frente a métodos iterativos

  4. Convergencia y número de operaciones • Coste (para matrices densas) Directos: n3 Iterativos: k.n2 • Convergencia • Criterio de parada:

  5. Sistema de ec. lin. Matriz asociada Ecuación del Calor T0T1 T2 . . . Tn Tn+1

  6. Matriz de la Ecuación del Calor con MATLAB function A = mcalor1(n) v = ones(1,n-1); A = 2*eye(n) - diag(v,1) - diag(v,-1);

  7. El método de Jacobi • Sistema de ecuaciones lineales

  8. Ecuación de punto fijo

  9. Iteración de Jacobi

  10. Expresión matricialResolución con MATLAB • U = triu(A,1);L = tril(A,-1); • d = diag(A); • x = (b-(L+U)*x)./d

  11. Condición suficiente de convergencia • Matriz estrictamente diagonalmente dominante: para i=1,2,...,n • Si A es estrictamente diagonalmente dominante, los iterados de Jacobi convergen a la solución del sistema partiendo de cualquier estimación inicial.

  12. Iteración de Gauss-Seidel

  13. Expresión matricialResolución con MATLAB • d = diag(A); D = diag(d); • U = triu(A,1); L = tril(A,-1); • x = (L + D)\(b - U*x)

  14. ik+1 Método de sobrerrelajación xik zi xik+1

  15. Paso de sobrerrelajación

  16. Expresión matricialResolución con MATLAB • D = diag(diag(A)); • c = w*b; C = (1-w)*D - w*U • x = (wL + D)\(c + C*x)

  17. Condición suficiente de convergencia • Matriz simétrica definida positiva: AT = A, xTAx > 0 • Si A es simétrica definida positiva y 0<w<2, los iterados de SR convergen a la única solución del sistema, partiendo de cualquier estimación inicial.

  18. Ecuación del Calor en un rectángulo • VC = (VN + VS + VE + VW)/4 N C W E S

  19. Generación de la matriz con MATLAB function A = mcalor2(m,n) p = m*n; v = ones(1,p-1); for k=n:n:p-1, v(k) = 0; end w = ones(1,p-n); A = 4*eye(p) ... - diag(v,1) - diag(v,-1) ... - diag(w,n) - diag(w,-n);

  20. Resumen • Los métodos iterativos se aplican a matrices grandes y dispersas. • El coste por iteración es O(n2) o menor si se aprovecha la dispersidad • Se espera que converjan en menos de n pasos. • La matriz ha de cumplir ciertas condiciones para que el método converja.

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