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Entre nós

Entre nós. ~ tranças e números racionais ~. Jorge Picado Departamento de Matemática Universidade de Coimbra. Nós de marinheiro. Nó de oito : Nó de travagem - evita que o cabo escape. Lais de guia : o favorito dos velejadores.

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Presentation Transcript

  1. Entre nós ~ tranças e números racionais ~ Jorge Picado Departamento de Matemática Universidade de Coimbra

  2. Nós de marinheiro Nó de oito: Nó de travagem - evita que o cabo escape. Lais de guia: o favorito dos velejadores. Este nó é ideal para fazer um lacete numa ponta de corda, não escorrega e é fácil de desfazer se não estiver sobre pressão.Algumas pessoas gostam de o memorizar dizendo "o coelho sai da sua toca, dá uma volta à árvore e volta para a toca". Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 1

  3. O que é um nó “matemático” Formando um nó (matemático) com um bocado de fio: O resultado é um fio entrelaçado, sem pontas. Um nó é isto, pensando no fio como não tendo espessura, a sua secção sendo um ponto. Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 2

  4. O que é um nó “matemático” Nó: curva fechada no espaço que nunca se auto-intersecta. Trevo (Nó cego) Nó de Oito Nó trivial (Não-nó) Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 2

  5. Como manipular (desatar) um nó? Alexandre o Grande: espada Nó Górdio Matemáticos: deformações (transformações) contínuas. Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 3

  6. Disfarces do trevo 7 para 3 cruzamentos 5 para 3 cruzamentos Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 4

  7. A versão mais simples de um nó pode, em alguns casos, parecer muito diferente da sua aparência usual. 8 6 A versão de seis cruzamentos do lais de guia é a representação mais simples possível deste nó. Diz-se que o lais de guia tem número de cruzamento 6. Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 5

  8. Manipulação de nós: movimentos de Reidemeister Qualquer deformação de um nó pode ser alcançada por uma sequênciade três tipos de movimento: Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 6

  9. Quando é que dois nós são o mesmo? (envolve geralmente a transformação de um diagrama em outro diagrama) [O Monstro, L. Kauffman] Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 7

  10. E quando é que dois nós não são o mesmo? (Envolve a questão mais subtil de garantir quando é que uma tal transformação não é possível) Uma tal garantia envolve a noção de invariante • Exemplosde invariantes: • Número de cruzamento • Número de desatamento Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 8

  11. Classificação Lista dos nós primos até 9 cruzamentos. Nó primo: nó que não é composição de nós mais simples. Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9

  12. Cruzamentos -Nós TOTAL: 9 755 186 [J. Hoste, M. Thistlethwaite, J. Weeks] Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9

  13. Mais exemplosde invariantes: • Número de cruzamento • Número de desatamento • Número de coloração • Número de ponte • Polinómios: Alexander, Conway, Jones • Invariantes de Vassiliev. Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 9

  14. Polinómio de Conway Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 10

  15. Polinómio de Conway mas Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 10

  16. Polinómio de Jones invariante COMPLETO ?: problema em ABERTO Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 11

  17. Tranças Região no plano de projecção delimitada por um círculo de tal modo que o nó atravessa esse círculo precisamente em quatro pontos. 1 0 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 12

  18. Tranças Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 13

  19. Tranças Racionais - 3 + 3 -3 ,0 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 14

  20. Notação de Conway 3 , -3, 0 -3 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15

  21. Notação de Conway 3 ,-2 ,3 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 15

  22. Surpreendentemente, existe um modo muito simples de dizer quando é que duas tranças são equivalentes -2,3,2 3,-2,3 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 16

  23. Tranças 0 Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 17

  24. As tranças racionais são univocamente determinadas pelas correspondentes fracções contínuas. De facto: TEOREMA DE CONWAY: F é uminvariante completo ! Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais 18

  25. Bibliografia • D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, www.mat.uc.pt/~picado. • E ainda: • C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004. • B. Cipra, From knot to unknot, em: What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994. • J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) 300-332. • J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first 1.701.936 knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), 33-48. • R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, www.knotplot.com. • A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002. • Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, www.bangor.ac.uk/ma/CPM/. • (tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor,www.atractor.pt). Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM

  26. Bibliografia • D. Lopes e J. Picado, A álgebra das tranças, Outubro 2005, www.mat.uc.pt/~picado. • E ainda: • C. Adams, The Knot Book, AMS, 2004. • B. Cipra, From knot to unknot, em: What’s Happening in the Mathematical Sciences, Vol. 2, AMS, 1994. • J.R. Goldman e L.H. Kauffman, Rational Tangles, Advances in Appl. Math. 18 (1997) 300-332. • J. Hoste, M. Thistlethwaite e J. Weeks, The first 1.701.936 knots, The Math. Intellig. 20 (4) (1998), 33-48. • R. Scharein, KnotPlot: a program for viewing mathematical knots, Dezembro 2004, www.knotplot.com. • A. Sossinsky, Knots: Mathematics with a twist, Harvard Univ. Press, 2002. • Mathematics and Knots, Univ. Wales, Bangor, 1996, www.bangor.ac.uk/ma/CPM/. • (tradução portuguesa em: Exposição de Nós, Página do Atractor, www.atractor.pt). Janeiro 2006 Nós, tranças e números racionais FIM

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