ACH, TEN SZEŚCIAN!

1. ACH, TEN SZEŚCIAN! Martyna Nytko Remigiusz Makuch Marek Pustelnik Klaudia Riemel autorPerhelion , 24-cell.gif, CC BY-SA 3.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:24-cell.gif

2. Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez ściany są równe.

3. Wielościany foremne znali już Pitagorejczycy w VI w. p.n.e. i pod postaciami sześcianu, ośmiościanu, czworościanu i dwudziestościanu wyobrażali cztery żywioły: ziemię, powietrze, ogień i wodę, a od czasów Platona uważano piąty wielościan foremny – dwunastościan za postać wszechświata. Wielościany te noszą nazwę brył platońskich

4. Dla Platona bryły te miały zasadnicze znaczenie, uznawał bowiem, że materia zbudowana jest z całostek i nie jest podzielna, a całostki te mają charakter idealny. Nie są bowiem ciałami stałymi, lecz figurami geometrycznymi. Idealną najprostszą figurą geometryczną jest trójkąt, czyli płaszczyzna ograniczona najmniejszą liczbą linii prostych. Według Platona trójkąty są najprostszym elementem budulcowym, podstawową cegiełką, z której zbudowany jest Kosmos.

5. Platon (427 p.n.e.-347 p.n.e.) - grecki filozof. Jako pierwszy odnotował fakt istnienia ściśle określonej liczby wielościanów foremnych.  Do jego czasów znane były tylko cztery z nich (nie znano dwunastościanu - został on odkryty przez Teajtetosa, ucznia Platona) . Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączył go do swojego systemu jako symbol wszechświata. autor Tomisti, Platon-2.jpg, CC BY-SA 3.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Platon-2.jpg

6. Istnieją następujące wielościany foremne Czworościan (tetraedr) 4 ściany trójkątne, 4 wierzchołki, 6 krawędzi Każda z jego ścian jest trójkątem równobocznym. Jest on szczególnym przypadkiem ostrosłupa prawidłowego rójkątnego. autor DTR, Tetrahedron.jpg, CC BY-SA 3.0 http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremny#mediaviewer/Plik:Tetrahedron.svg

7. Sześcian (heksaedr)6 ścian kwadratowych, 8 wierzchołków, 12 krawędzi. Sześcian foremny to wielościan foremny o sześciu ścianach w kształcie identycznych kwadratów. Kąt między ścianami sześcianu jest kątem prostym. Sześcian foremny jest szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, prostopadłościanu i romboedru. P=6a2 V=a3 autor DTR, Hexahedron.jpg, CC BY-SA 3.0 http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremny#mediaviewer/Plik:Hexahedron.svg

8. Ośmiościan (oktaedr)8 ścian trójkątnych, 6 wierzchołków, 12 krawędzi Ośmiościan foremny to wielościan foremny o ośmiu ścianach w kształcie identycznych trójkątów równobocznych. Ma cztery pary ścian do siebie równoległych. Jest także antygraniastosłupem. autor DTR, Octahedron.jpg, CC BY-SA 3.0 http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremny#mediaviewer/Plik:Octahedron.svg

9. Istnieje wreszcie piąta bryła foremna - dodekaedr, którą Platon uznał za zespolenie całości, bryłę łączącą wszystkie elementy. Dwunastościan (dodekaedr)12 ścian pięciokątnych, 20 wierzchołków, 30 krawędzi Na obrazku dwunastościan. Każda z jego ścian jest pięciokątem foremnym. autor DTR, Dodecahedron.jpg, CC BY-SA 3.0 http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremny#mediaviewer/Plik:POV-Ray-Dodecahedron.svg

10. Dwudziestościan (ikosaedr)20 ścian trójkątnych, 12 wierzchołków, 30 krawędzi Na obrazku dwudziestościan którego ściany są trójkątami równobocznymi. Ten jest jednak najbardziej z nich złożony, bo ma aż 20 ścian. autor DTR, Icosahedron.jpg, CC BY-SA 3.0 http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremny#mediaviewer/Plik:Icosahedron.svg

11. Bryły te, według Platona, odpowiadają trzem elementom (ogień, powietrze, woda) Czwarty element - ziemię, reprezentuje sześcian (heksaedr), którego każda ściana da się podzielić na dwa trójkąty, jest więc zbudowany z trójkątów

12. Te wielościany to tzw. bryły platońskie, będące wyczerpującym zestawem wielościanów foremnych. Platon uznał, że cała rzeczywistość jest zorganizowana jako odbicie owych podstawowych figur geometrycznych, czyli form najdoskonalszych.

13. Johannes Kepler(1571-1630) - niemiecki matematyk, astronom i astrolog. Użył wielościanów foremnych do swojego modelu kosmologicznego. Jeśli bowiem na sferze o promieniu orbity Merkurego opisać ośmiościan, a na nim następną sferę to jej promień będzie odpowiadać promieniowi Wenus. Jeśli na tej drugiej sferze opisać dwudziestościan, a na nim trzecią sferę to jej promień odpowiada promieniowi orbity Ziemi. I tak kolejno dla następnych wielościanów foremnych i planet: dwunastościan - Mars, czworościan - Jowisz, sześcian - Saturn. Było to pierwsze z odkrytych przez Keplera praw ruchu planet, nie uznane jednak za prawo natury w dzisiejszym rozumieniu nauki. autor Unknown, Johannes Kepler 1610.jpg, CC BY-SA 3.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Johannes_Kepler_1610.jpg

14. Dlaczego tylko pięć brył? Pitagoras udowodnił, że płaszczyzna dookoła punktu może być zapełniona jednolicie tylko trzema rodzajami wielokątów foremnych: trójkątami, kwadratami albo pięciokątami. Żeby powstało naroże potrzebne są co najmniej trzy ściany oraz suma kątów płaskich w wierzchołku musi być mniejsza od kata pełnego. Wszystkie ściany w przypadku brył platońskich są jednakowe. Zatem jeśli wielokąty foremne tego samego rodzaju maja utworzyć naroże, to takich kombinacji jest właśnie pięć.

15. Wzór na objętość sześcianu: V = a3 = a . a . a

16. Wzór na całkowite pole powierzchni sześcianu S = 6a2 Wzór na długość przekątnej sześcianu d = Wzór na sumę długości krawędzi sześcianu Sk= 12a

17. Poniżej przedstawiamy ilustracje powstawanie wszystkich 11-tu siatek sześcianu poprzez przesuwanie odpowiedniego kwadratu. autor Matrix0123456789, Siatki szescianuCC BY-SA 3.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Siatki_szescianu.svg

18. ILUZJE Z SZEŚCIANU Szwajcarski naukowiec, Louis Albert Necker, opublikował w 1832 ryciny przedstawiające sześcian, który zmieniał swoje położenie podczas oglądania. Było to spowodowane tym, że z ilustracji zostały usunięte wszelkie wskazówki dotyczące głębi. Patrząc na sześcian Neckera widzimy układ linii, ale spodziewamy się zobaczyć sześcian. Nasz mózg musi zatem rozwiązać pewną dwuznaczność – musi ustalić, który z rogów sześcianu leży bliżej. Rozwiązanie tego problemu może być odmienne u różnych obserwatorów, jak też może zmieniać się w czasie u jednego obserwatora. autor: Guam, Necker cube ,CC BY-SA 3.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Necker_cube.jpg?uselang=pl#filelinks

19. Co jest w tym sześcianie dziwnego? autor: Uploader, Necker cube, CC BY-SA 3.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Impossible_cube.svg?uselang=pl#filelinks

20. Niesamowity sześcian z bardzo ciekawym wcięciem. pixabay.com/pl/z%C5%82udzenie-optyczne-niemo%C5%BCliwy-iluzja-152517/

21. Kostka Rubika – popularna zabawka logiczna wynaleziona przez Ernő Rubika w 1974 roku. Zabawa kostką polega na takim ułożeniu kwadratów, aby na każdej ścianie wszystkie posiadały jeden kolor. Składa się ona z 26 sześcianów i przegubu umieszczonego w środku. Przegub ten umożliwia każdej z zewnętrznych warstw kostki obrót wokół osi prostopadłej do danej warstwy i przechodzącej przez środek kostki. autor: Acdx, Rubik's Cube cropped.jpg, CC BY-SA 3.0 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Rubik%27s_Cube.jpg?uselang=pl

22. Źródła informacji http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielo%C5%9Bcian_foremnyhttp://www.math.edu.pl/wielosciany-foremnehttp://www.zobaczycmatematyke.krk.pl/Nagrody2011/01-Ciosek/foremne.htmlhttp://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Necker_cube.svghttp://www.zludzenia.pl/galeria-bryly,5,29,kostka-1.htmlhttp://www.gigante.pl/zludzenia-10-2-0

23. DZIĘKUJEMY ZA UWAGĘ.