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CÁLCULO NUMÉRICO. UNIDADE 1 – Noções básicas de erros. Introdução Representação de números 2. 1. Aritmética de ponto flutuante 3. Erros 3.1 Erros Absolutos e Relativos. 1. Introdução. O que é cálculo numérico?.
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CÁLCULO NUMÉRICO UNIDADE 1 – Noções básicas de erros • Introdução • Representação de números • 2. 1. Aritmética de ponto flutuante • 3. Erros • 3.1 Erros Absolutos e Relativos
1. Introdução O que é cálculo numérico? • Corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. • Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.
1. Introdução Exemplo: Circuito elétrico composto de uma fonte de tensãoe um resistor I V R Solução Exata Introduzindo um diodo no circuito D I R V Solução Utilizando Métodos Numéricos
1. Introdução Por que produzir resultados numéricos? 1. Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema. Exemplo: Solução de sistemas de equações lineares (cálculo de estruturas, redes elétricas etc.
1. Introdução A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente). Exemplo: Não se tem primitiva de forma simples; b) Equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.
1. Introdução • Algumas observações sobre os métodos numéricos. • Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para formulações matemáticas. • Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não e um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição. • Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação do erro, o desvio.
1. Introdução Qual a função do cálculo numérico na engenharia? “Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos, ou seja: Modelo Matemático
1. Introdução • Como pode ser visto, ainda que todas as fases da solução estejam corretas podem ocorre erros pelos seguintes motivos: • Da precisão dos dados de entrada • Da forma com que estes dados são representados no computador • Das operações numéricas efetuadas 2. Representação de Números Exemplo 2: Efetuar o somatório em calculadora e computador. Exemplo 1: Calcular a área de uma circunferência de raio 100 m. Resultados:a) A=31400 m2 b) A=31416 m2 c) A=31415.92654 m2 É possível obter exatamente esta área. Para xi=0.5 e para xi=0.11 Resultados obtidos: i) Para xi=0.5 calculadora S=15000 computador S=15000 ii) Para xi=0.11 calculadora S=3300 computador S=3299.99691 Como justificar os erros?
2. Representação de Números • Quanto maior o número de dígitos maior será a precisão obtida. • Nos trabalhamos no sistema decimal e o computador no sistema binário. Desta forma o processo de conversão de binário para decimal e vice versa constitui uma fonte de erro 2. 1. Aritmética de ponto flutuante Constitui-se da representação interna da calculadora ou do computador do número na forma: ±(.d1d2......dt) x be • Onde: • - base em que a máquina opera • t – número de dígitos da mantissa: 0≤dj≤(b-1),j=1.....t, dK0; • e – é o expoente no intervalo [1,u] Exemplo: Máquina que opera com o sistema: b=10;t=3;tX[-5,5] representação do número: 0.d1d2d3x10e,0OdjO9, eX[-5,5] Menor número: m=0.100x10-5=10-6 Maior número: M=0.999x105=99900
2. 1. Aritmética de ponto flutuante Dado um número real x= 235.89 que deve ser inserido na máquina. Pode ocorrer as seguintes situações: Caso 1: Respeitando-se os critérios da máquina e de aproximação x= 0.236 x 103 Caso 2: |x|<m ocorreria um underflow. Caso 3: |x|>M ocorreria um overflow. • 3. Erros • 3.1 Erros Absolutos e Relativos Erro absoluto constitui na diferença entre o valor exato x e o valor aproximado O erro relativo é a razão entre o erro absoluto e o valor aproximado.
3.1 Erros Absolutos e Relativos Exemplo: Seja o valor aproximado igual a 2112.9 de tal forma que |EAx|<0.1, ou seja, x X(2112.8,2113) determine o erro relativo de x.
