La LOGICA

1. La LOGICA Un aspetto essenziale del pensiero umano con profonde influenze sullo sviluppo delle civiltà

2. E’ possibile darne una definizione precisa? • la molteplicità degli aspetti rende praticamente impossibile un accordo generale sulla definizione • anche dall’etimologia (la parola grecaλόγος) emerge una diversità di interpretazione secondo che ci si riferisca al significato: discorso o ragionamento

3. La sintesi di questi due aspetti si trova nella concezione di Aristotele • “la logica tratta del discorso inteso come espressione di un pensiero razionale “(Aristotele – Analitici primi – E. Agazzi – La logica simbolica)

4. La LOGICA: scienza del ragionamento • Argomento :Si occupa del modo in cui l’uomo ragiona (ragionamento) • Metodo : scientifico • Logica matematica : scienza del ragionamento matematico ,quindi la matematica è come argomento e come metodo

5. LE TRE VIE PER ARRIVARE ALLO STUDIO DELLA LOGICA • DIALETTICA • PARADOSSI • DIMOSTRAZIONI

6. 1. Dialettica • Iniziata dai sofisti( seconda metà V sec. a.C): Protagora e Gorgia (protagonisti di dialoghi platonici) • sofista nel linguaggio comune è sinonimo di persona che fa discorsi capziosi • I sofisti in realtà si occupavano dell’arte del discorso e quindi ne studiavano le regole • per questo motivo si possono intravvedere nel loro pensiero le origini della logica

7. 2. Paradossi ragionamenti apparentemente corretti, ma che portano a conclusioni che contraddicono l’opinione corrente: παρά-δοξα (che porta ad una contraddizione) La logica studierà che cosa sta dietro questo tipo di ragionamento, come analizzarlo , come riformularlo. I più famosi paradossi della antichità: • Mentitore ( cretese Epimenide –VI sec.a.C): Tutti i cretesi sonobugiardi

8. PARADOSSI .B) Achille e la tartaruga(Zenone 490-430 a.C): Achille sembra che non possa raggiungere mai la tartaruga.

9. 3. Dimostrazioni • La matematica nasce senza dimostrazioni (v. papiro di Rhind) Poiché i risultati venivano riportati senza giustificazione non si poteva avere la sicurezza della correttezza della intuizione • Verso il 600 a.C. i greci, inventarono “ un nuovo modo di fare matematica” : la dimostrazione. • La logica si occupa di che cosa rende corretta una dimostrazione • furono stimolati nello studio delle dimostrazioni da due famosi risultati :

10. Dimostrazioni Il teorema di Pitagora intuito dalle civiltà precedenti , come riportato da Euclide prevede una dimostrazione molto complessa -

11. Dimostrazioni • Irrazionalità della radice di 2 Scoperta dai pitagorici rompe il connubio tra costruzione e misura: la realtà si mostra più estesa di ciò che è razionale . • Rappresenta il primo esempio di dimostrazione per assurdo.

12. Periodi della Logica • Antichità :Platone Aristotele Crisippo • Era moderna : Leibniz Boole Frege • Era contemporanea : Post- Wittgensein Godel Turing

13. Età antica Platone (Accademia ) nei suoi Dialoghi appare il primo tentativo di isolare una delle più grandi leggi della logica: il principio di non contraddizione

14. Aristotele Aristotele (Liceo ) Fu il più grande logico e fondatore della logica moderna, studiò l’uso delle leggi che regolano i quantificatori cioè le particelle: nessuno, qualcuno, tutti

15. I TRE PRINCIPI DELLA LOGICA ARISTOTELICA La logica, secondo Aristotele, si applica ai concetti universali (astratti dalla mente umana partendo dalle cose sensibili) e si fonda su 3 principi • Principio di identità: ogni oggetto del pensiero logico è identico a se stesso • Principio di non contraddizione: è impossibile che la stessa proprietà si addica e non si addica allo stesso oggetto e nello stesso senso • Principio del terzo escluso: datauna affermazione ed una negazione di uno stesso giudizio, una di esse è vera e l’altra è falsa (Aristotele, Οργανον, che rappresenta l’atto di nascita della logica formale)

16. Crisippo ( Stoà) Ritenuto l’altro fondatore della scuola stoica dopo Zenone Logica proposizionale Connettivi: non, e, o, se…, allora. Crisippo (Stoà

17. Medioevo • La logica medioevale si presenta come sintesi della logica aristotelica e di quella stoica • risalgono agli Scolastici le leggi sulla negazione della congiunzione e sulla negazione della disgiunzione

18. Definizione medioevale tramandataci da Pietro Ispano (1205-1277) che evidenzia i diversi aspetti della logica come suprema arte, scienza, metodologia: ”la logica è l’arte delle arti e la scienza delle scienze, che domina la via ai principi di tutti i metodi “ (Summulae logicales)

19. Logica minor e maior I filosofi scolastici distinguevano • una LOGICA MINOR in cui si considerano solo le forme corrette di ragionamento prescindendo dalla verità delle premesse • una LOGICA MAIOR in cui si studiano i criteri che permettono di giudicare della verità delle asserzioni che fanno parte dell’argomentazione

20. Analoga distinzione opererà Kant (1724-1804) fra LOGICA FORMALE che si occupa della correttezza della deduzione LOGICA TRASCENDENTALE che si occupa delle condizioni a priori che rendono possibile la conoscenza

21. Età moderna LEIBNIZ(1646-1716) ebbe la visione filosofica (cioè precorse i tempi della logica moderna) di costruire una lingua formale adatta ad esprimere tutti i contenuti delle scienze: la “ characteristica universalis”

22. Nell’Ottocento la logica matematica esce dal bozzolo con BOOLE (1815-1864) introdusse una algebra che prese il suo nome e si fonda sull’idea di usare solo 0 e 1 come se fossero analoghi rispettivamente al falso e al vero . • Le leggi che regolano il vero e il falso sono le stesse leggi che algebricamente regolano il comportamento di 0 e di 1. Con Boole si chiude un’epoca perché con l’algebra booleana si possono descrivere sia i quantificatori aristotelici sia i connettivi di Crisippo

23. La logica moderna nasce con FREGE (1879) che introdusse LA LOGICA PREDICATIVA cioè la logica dei predicati e delle relazioni multiple con la costruzione di un linguaggio formale in grado di analizzare e riprodurre la struttura logica del linguaggio matematico senza la logica predicativa il sogno di Leibniz non si sarebbe mai realizzato.

24. Età contemporanea2200 anni dopo Post (1920) dimostrò la completezza della logica proposizionale • quindi l’analisi che Crisippo aveva fatto circa 2200 anni prima era conclusa • Boole l’aveva solo riformulata in termini algebrici

25. Le tavole di verità Wittgenstein (1921) in maniera indipendente scopre lo stesso teorema A lui si devono anche le tavole di verità: rappresentazione della individuazione della verità o falsità di una proposizione composta partendo da proposizioni semplici.

26. GÖDEL (1906-1978) raggiunse due risultati fondamentali • la completezza della logica predicativa (oltre Frege non si poteva andare) • Incompletezza della aritmetica : qualunque sistema di assiomi aritmetici non si potrà mai completare Per la logica delle proposizioni e la logica dei predicati siamo arrivati al completamento Per quanto riguarda la matematica siamo arrivati ad un muro che indica li nostri limiti

27. Turing (1936) elaborò la cosiddetta Macchina di Turing cioè il computer. Una macchina di Turing (o più brevemente MdT) è una macchina ideale in grado di eseguire algoritmi e dotata di un nastro infinito su cui può leggere e/o scrivere dei simboli. L’idea del computer venne a questo geniale logico-matematico studiando i teoremi di Godel per affrontare il problema delladecidibilità # della logica predicativa (#per la logica predicativa non esistono tavole di verità come per la logica proposizionale che permettano di decidere la verità di una proposizione)

28. Di che cosa ci occuperemo noi? della LOGICA FORMALE intesa come studio delle inferenze deduttive con una mentalità e un simbolismo matematici

29. Compiti della logica • STUDIARE il nesso di conseguenza logica tra proposizioni, predisponendo delle tecniche per determinare quando la verità di una conclusione consegue necessariamente dalla verità delle premesse 2. DETERMINARE, date certe premesse, altre proposizioni che sono loro conseguenza logica.

30. LA DEDUZIONE un potente strumento di verifica della correttezza dei ragionamenti MA ANCHE un potente mezzo di ricerca come dimostrano le innumerevoli applicazioni alle scienze del ragionamento matematico

31. La logica si propone di realizzare il sogno leibniziano del “calculemus”. Un suo obiettivo come disciplina è quindi stabilire quali ragionamenti sono corretti e quali no e individuare dei “calcoli logici” che consentano di meccanizzare l’attività deduttiva e di “dominare” l’insieme delle conseguenze di un insieme di premesse, in modo da poter ragionare sulle teorie assiomatiche nel loro complesso

32. Una sola logica? Attualmente sono state sviluppate molteplici “logiche” che si propongono di studiare aspetti sempre più ampi dell’attività inferenziale

33. LA LOCICA CLASSICA e i suoi limiti IN CUI • si prendono in considerazione solo alcuni tipi di inferenze • si assume il principio di bivalenza: una proposizione può assumere soltanto uno ed uno solo dei valori di verità - vero (V) o falso (F) Contrariamente a quanto accade molto spesso alle proposizioni del linguaggio naturale CFR. molte delle “logiche” elaborate attualmente sono nate proprio per superare tale limite della logica classica

34. Non si ragiona correttamente anche senza lo studio sistematico della logica? La capacità di analizzare le regole di inferenza della logica classica non matura spontaneamente negli esseri umani, ma deve essere oggetto di un apprendimento mirato (magari solo con l’obiettivo limitato di preparare gli alunni a cimentarsi in test di tipo logico ad esempio per le prove di selezione dalla ammissione a facoltà universitarie a partecipazione a concorsi pubblici) La logica si colloca all’intersezione di tre aree differenti: la filosofia, la matematica, l’informatica

35. Le Caratteristiche dei Teste in particolare di quelli logica • Sono composti da • una sezione verbale, che verifica la comprensione linguistica • una parte matematica che verifica la capacità di risolvere problemiche richiedano ragionamento logico-matematico • Molto spesso vogliono verificare la capacità di utilizzare abilità acquisite per risolvere problemi nuovi cioè valutano la capacità di: • comprendere il significato preciso dei termini, di cogliere termini simili e analogie etimologiche • capire quale categoria mentale (causa – effetto, contrapposizione …) stabilisce il rapporto tra le coppie di parole • ritenere le informazioni appena lette, interpretarle • trarre delle conclusioni conseguenti e scartare conclusioni errate, arbitrarie o non rigorosamente giustificate Luca Mari (Ordinario scienza della misurazione alla LIUC)

36. QUALI CAPACITÀ PER I TEST DI LOGICA? La soluzione dei test di capacità logica richiede capacità di • concentrazione • analisi • sintesi • vagliare i dati forniti e di distinguere ciò che è possibile, necessario o logicamente inammissibile I

37. UN ESEMPIO EMBLEMATICO DI LOGICA PROPOSIZIONALE • Il beffardo mago Atlante ha rinchiuso in un castello fatato Angelica, l’intelligente principessa cinese. • Angelica è confinata in una stanza con cinque porte contrassegnate UNO, DUE, TRE, QUATTRO, CINQUE • davanti a ciascuna porta sta un aiutante di Atlante, con il contrassegno della porta ricamato sul cappello. • La principessa sa che quattro mentono sempre e uno solo dice la verità. • Dietro la porta dei mentitori c’è un drago, dietro la porta di chi dice la verità c’è la via di fuga. • Angelica riceve queste informazioni: • UNO dice che TRE, QUATTRO e CINQUE mentono • TRE dice che UNO O DUE dicono il vero • QUATTRO dice che TRE dice il vero Da quale porta deve uscire Angelica: UNO, DUE, TRE, QUATTROO CINQUE?

38. Come procedere? La prima cosa da fare è individuare la STRUTTURA DEL QUESITO Tralasciando tutti gli orpelli inutili il problema può diventare: DATE CINQUE PROPOSIZIONI, QUATTRO FALSE E UNA VERA, INDIVIDUARE QUELLA VERA Le tre indicazioni precedenti si possono rappresentare simbolicamente così • 1 = ¬ 3Λ ¬4Λ ¬5 (tre, quatto e cinque mentono) • 3 = 1 V 2 (uno o due dicono il vero) • 4 = 3 (tre dice la verità ) La simbologia che avvicina la logica alla matematica presenta vari vantaggi: • Riduce le ambiguità delle espressioni • Consente di “ calcolare la verità” di proposizioni composte a partire dalla verità delle proposizioni componenti

39. Risoluzione q.1 • La verità della 4 implicherebbe la verità della 3 , impossibile perché due proposizioni sarebbero vere • Quindi ¬4 e perciò ¬ 3 allora ¬ (1 V 2) = (per la prima legge di De Morgan) ¬ 1 Λ¬ 2 • Poiché ¬ 1 allora ¬ (¬ 3 Λ ¬4 Λ¬5 ) = per la 2° legge di De Morgan ¬(¬ 3) V ¬(¬ 4 )V ¬(¬5)= 3V4V5 • Per la tavola di verità la disgiunzione inclusiva lè vera se almeno una delle proposizioni è vera • 3 è falsa, 4 è falsa, allora 5 sarà vera.

40. Un quesito della prova d’ingresso della facoltà di Medicina del 1999 • Marco: ”Giorgio suona il sassofono meglio di tutti, è lui il campione del nostro gruppo” • Giorgio: ”Alessandro suona il sassofono meglio di tutti, è lui il campione del nostro gruppo” • Alessandro: ”Io non suono il sassofono meglio di tutti, non sono io il campione del gruppo” • Matteo: ”Io non suono il sassofono meglio di tutti, non sono io il campione del gruppo” • SE solo UNA di queste affermazioni è VERA, chi è il campione nel suonare il sassofono? A)  Marco B)  Giorgio C)  Alessandro D)  Matteo

41. Come procedere? In primo luogo proviamo a riscrivere le “frasi” nel modo seguente, del tutto equivalente a prima, ma molto più maneggevole: • “Giorgio èil campione” • “Alessandro èil campione” • “Alessandro non è il campione” • “Matteo non è il campione”

42. Che cosa è stato fatto? Per ciascuna affermazione è stato eliminato il nome di chi la pronuncia INFATTI sapere chi pronuncia una data affermazione non è un elemento rilevante per decidere se tale affermazione sia VERA o FALSA.

43. RISOLUZIONE q.2 A questo punto, è essenziale notare la peculiarità logica dei 2 enunciati centrali evidenziati in rosso: Giorgio è il campione Alessandro è il campione Alessandro non è il campione Matteo non è il campione In che rapporto sono tra loro questi due enunciati? A condizione di riconoscerne la caratteristica fondamentale, la soluzione del quesito non è lontana. I due enunciati, infatti, sono contraddittori. • Il principio di non contraddizione prescrive che necessariamente uno deve essere VERO e l’altro FALSO (tertium non datur, cioè non è ammessa alcuna terza possibilità). In altre parole, delle due l’una:o Alessandro è il campione, o non lo è!

44. Risoluzioneq.2 • A questo stadio del ragionamento, noi in realtà non siamo in grado di dire con certezza quale dei due enunciati sia vero e quale falso, ma sappiamo con assoluta certezza che uno dei due enunciati è VERO. Sarà pertanto sufficiente risalire alla domanda all’inizio, che ci informa che dei 4 enunciati UNO SOLO è VERO… e ora noi sappiamo che è necessariamente uno dei due enunciati centrali. • Dunque, non sappiamo quale dei 2 enunciati centrali sia l’unico VERO dei 4, in compenso però la conclusione logica che possiamo trarne è che sono certamente FALSI il primo e l’ultimo enunciato, perché un solo enunciato dei 4 è vero ed è uno dei 2 centrali aventi Alessandro come soggetto.

45. SOLUZIONE • Dalla falsità del primo enunciato (“Giorgio è il campione”), segue chiaramente che Giorgio non è il campione. • Dalla falsità dell’ultimo enunciato, segue che Matteo è il campione (infatti è falso che non lo sia!).

46. UN ALTRO ESEMPIO Nel diario del giovane Andrea è scritto: “ Nonno Giorgio dice che quando era giovane ha attraversato l‘Oceano Atlantico a nuoto e che riusciva a battere in velocità le balene. Secondo me è una bugia “ Si dica che cosa si può dedurre correttamente dalla convinzione di Andrea. • Se nonno Giorgio riusciva a battere in velocità le balene, allora non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto. • Nonno Giorgio ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto, ma non riusciva a battere in velocità le balene • Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto, ma riusciva comunque a battere in velocità le balene • Nonno Giorgio non ha attraversato l’Oceano Atlantico a nuoto e non riusciva a battere in velocità le balene

47. RISOLUZIONE q.3 Ponendo p = ha attraversato a nuoto l’Oceano Atlantico q = batte in velocità il testo può essere rappresentato così ¬ ( p Λ q) = ¬ p V ¬ q per la legge di De Morgan, QUINDI

48. Risoluzione q.3 le quattro possibilità di risposta diventano q → ¬ p p Λ¬ q ¬ pΛq ¬ pΛ¬q ¬ p V ¬ q è sempre vera tranne quando entrambe le proposizioni sono false, quindi la proposizione che si può correttamente dedurre deve essere una tautologia SOLUZIONE: la risposta corretta è la a

49. Soluzione q.3

50. Quarto esempio L’affermazione “ quando bevo troppo mi si gonfia lo stomaco” implica che A ) Non mi si gonfia lo stomaco pur avendo bevuto troppo B) A volte capita che non mi si gonfi lo stomaco pur avendo bevuto troppo C ) Se non mi si gonfia lo stomaco allora non ho bevuto troppo D) Se mi si gonfia lo stomaco allora vuol dire che ho bevuto troppo E) o bevo troppo o mi si gonfia lo stomaco.